Степаньянц Г.А. Теория динамических систем Изд. 3, стереотип. (2-му, испр. и доп.)

2026. 312 с.

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 2 варианта от 799 ₽ ››

Аннотация

Настоящая книга посвящена изложению основ общей теории динамических систем, созданной трудами ряда выдающихся отечественных и зарубежных математиков. Знакомство с этой теорией позволяет правильно формулировать задачи исследования динамических систем и иметь обоснованное представление о качественной стороне протекающих в них процессов, правильно выбирать конкретные методы анализа и синтеза. Книга состоит из двух частей: в первой... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				3
ЧАСТЬ I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ				7
Глава 1. Теория множеств				7
1.1. Множества и операции над ними				7
1.2. Отображения и функции				12
1.3. Соотношения эквивалентности и порядка				15
1.4. . Теоремы Цермело и Цорна				17
1.5. Кардинальные и порядковые числа				20
Глава 2. Основные топологические понятия				25
2.1. Топологические пространства				25
2.2. Задание топологии с помощью метрики				28
2.3. Фильтры и пределы. Полные пространства				30
2.4. Связность и компактность				33
2.5. Непрерывные функции и топологическое подобие				39
Глава 3. Линейная алгебра				43
3.1. Группы, поля, векторные пространства				43
3.2. Топологические векторные пространства				47
3.3. Линейные функционалы и сопряженные пространства				51
3.4. Линейные операторы				54
3.5. Линейные операторы в конечномерных пространствах				58
3.6. Собственные векторы и собственные значения. Нильпотентность и теоремы о разложении				61
Глава 4, Теория меры				67
4.1. Кольца и a-кольца. Мера на кольцах				67
4.2. Полукольца множеств и их строение. Измеримые множества				70
4.3. Измеримые пространства и пространства с мерой				73
4.4. Пределы последовательностей измеримых функций				74
4.5. Теория интеграла				76
4.6. Пространство простых измеримых функций на компактах и слабая сходимость вероятностных мер				81
ЧАСТЬ II. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Глава 5. Динамические системы				85
5.1. Понятие свободной динамической системы				85
5.2. Гладкие динамические системы				89
5.3. Линейные стационарные динамические системы				90
5.4. Простейшая классификация движений и траекторий стационарных динамических систем. Изоморфные системы				95
5.5. . Динамические системы на гладких многообразиях				103
Глава 6. Устойчивость по Ляпунову				106
6.1. Локальное исследование состояния равновесия				106
6.2. Устойчивость невозмущенного движения. Устойчивость состояния равновесия нестационарных систем				111
6.3. Функции Ляпунова для линейных стационарных систем. Суждение об устойчивости по уравнениям первого приближения				115
Глава 7. Особые траектории				121
7.1. Предельные точки и предельные траектории				121
7.2. Орбитная устойчивость и особые траектории				124
7.3. Качественная картина разбиения пространства состояний динамической системы				126
7.4. Предельные циклы и точечные отображения				129
7.5. Особенности поведения траекторий на плоскости				135
7.6. Грубые динамические системы				142
Глава 8. Необратимые и кусочно-гладкие системы				149
8.1. Кусочно-гладкие необратимые системы и строение их фазового пространства				149
8.2. Продолжение решений на поверхности перехода				153
8.3. Исследование кусочно-гладких систем на фазовой плоскости методом точечных отображений				157
8.4. Особенности исследования кусочно-линейных систем				161
8.5. . Подсистемы динамической системы. Погружение дискретной системы в непрерывную				165
Глава 9. Инвариантные множества и рекуррентные движения				168
9.1. Устойчивость по Лагранжу и Пуассону. Неустойчивые системы				168
9.2. Минимальные инвариантные множества				171
9.3. Рекуррентные движения				172
9.4. Почти периодические движения				175
9.5. . Устойчивость по Ляпунову и свойство почти периодичности				177
9.6. . Рекуррентные движения в дискретных системах				180
Глава 10. Эргодическая теория				181
10.1. Системы с инвариантной мерой				181
10.2. Возвращаемость. Неустойчивые системы				184
10.3. Эргодическое свойство почти периодических движений				186
10.4. Метрически транзитивные движения и перемешивание				189
10.5. . Эргодическая теорема Биркгофа				191
10.6. . Изоморфные динамические системы с инвариантной мерой				197
Глава 11. Применение прямого метода Ляпунова для оценки устойчивости инвариантных множеств				201
11.1. Обобщенное определение устойчивости				201
11.2. Оценка области притяжения инвариантных множеств				205
11.3. Устойчивость по отношению к малым возмущениям правых частей уравнений движения				208
11.4. Функции Ляпунова и установившиеся движения				211
Глава 12. Устойчивость управляемых систем				213
12.1. Управляемые динамические системы и допустимые управления				213
12.2. Управляемость стационарных линейных систем				215
12.3. Задача обеспечения устойчивости управляемой системы и прямой метод Ляпунова				219
12.4. Расщепляющие отображения и структура оптимальных по устойчивости законов управления				222
12.5. Задача обеспечения качества и оптимальные по устойчивости законы управления» линейные при малых отклонениях				227
Глава 13. Динамические системы в пространстве множеств и преобразование областей начальных условий				231
13.1. Пространство замкнутых множеств				231
13.2. Динамические системы на пространстве замкнутых множеств				233
13.3. Движения в пространстве множеств, порожденные динамическими системами. Преобразование областей начальных условий				237
13.4. Некоторые задачи управления группой однотипных объектов				241
Список литературы				245
Приложение. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА ГЛАДКИХ ОРИЕНТИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЯХ				246
Введение				246
Глава 1. Гладкие многообразия и касательные расслоения				247
1.1. Гладкие многообразия				247
1.2. Касательные векторы и касательные пространства				250
1.3. Прикрепленные векторы. Векторное поле				253
1.4. Ориентируемые многообразия				256
1.5. Касательные расслоения				260
1.6. Метрика на гладком многообразии. Геодезические линии				261
Глава 2. Движение динамических систем на гладких ориентируемых многообразиях				269
2.1. Движение динамических систем и их дифференциальные уравнения				269
2.2. Локальные координаты, связанные с точками многообразия Параллельный перенос координатного репера				275
2.3. Достаточные условия устойчивости, основанные на прямом методе Ляпунова				279
Глава 3. Управление динамическими системами на гладких ориентируемых многообразиях				287
3.1. Уравнения кинематики. Геодезические отклонения				287
3.2. Уравнение динамики. Управление ускорением				292
Приложение. Коммутативные диаграммы, счетные всюду плотные множества и непрерывные функции на компактах				302
Литература				305

Предисловие

Книга посвящена изложению основ общей теории динамических систем, созданной трудами ряда выдающихся отечественных и зарубежных математиков. В настоящее время наблюдается повышенный интерес к задачам и методам этой теории, связанный с появлением новых проблем, возникающих при управлении современными движущимися объектами. Знакомство с этой теорией позволяет правильно формулировать задачи исследования динамических систем и иметь обоснованное представление о качественной стороне протекающих в них процессов, правильно выбирать конкретные методы анализа и синтеза.

Новые, так называемые "качественные", а точнее – топологические, геометрические – методы исследования динамических систем появились в последней четверти XIX в. и связаны с именами А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре. В 1881–1886 гг. А.Пуанкаре поставил задачу возможно более полного исследования движений, определяемых дифференциальным уравнением, на основе анализа его правой части, не интегрируя само уравнение. А.М.Ляпунов в своей докторской диссертации, опубликованной в 1829 г., поставил и в очень широком классе случаев разрешил важную задачу качественной теории – задачу исследования устойчивости движения.

Большое влияние на развитие теории сыграли работы по исследованию рекуррентных движений немецкого математика Г.Биркгофа, завершившиеся доказательством в 1931 г. знаменитой эргодической теоремы. В 1937 г. академиками А.А.Андроновым и Л.С.Понтрягиным было введено понятие грубых динамических систем и тем самым открыто новое направление в развитии теории.

Впервые математическое определение динамической системы было предложено в 1931 г. А.А.Марковым. Оно легло в основу развитого В.В.Немыцким аксиоматического построения теории свободных динамических систем. Дальнейшее развитие такой подход, уже применительно к управляемым системам, получил во второй половине 60-х годов в работах Р.Калмана.

Несколько угасший в конце 40-х годов интерес к эргодической теории снова возродился в 1958 г. после введения академиком А.Н.Колмогоровым важного понятия энтропии динамической системы. Развитие эргодической теории в этом направлении завершилось решением в 1978 г. Д.Орнстейном проблемы изоморфизма для так называемых бернуллиевых эргодических систем.

В настоящее время качественная теория динамических систем является сложившейся и хорошо разработанной дисциплиной, знакомство с которой необходимо каждому специалисту, работающему в области теории автоматического управления и управления движущимися объектами.

Качественная теория динамических систем является одним из основных и наиболее трудно усваиваемых разделов курса "основы теории автоматического управления" и читается студентам старших курсов, специализирующихся в области автоматического управления.

Предлагаемая книга может быть полезна также преподавателям и аспирантам для повышения квалификации, что повлияло на отбор материала и характер его изложения.

Упражнения, приведенные в конце каждого раздела, можно разбить на две категории: простые упражнения, носящие в основном иллюстративный характер, выполнение которых не должно вызывать затруднений, если понят основной текст раздела, и задачи типа дополнительных теорем, в которых зачастую вводятся вопросы, способствующие лучшему усвоению последующего материала.

Особо трудные разделы и упражнения отмечены звездочкой.

Методы, используемые в теории динамических систем, по существу являются методами теории множеств и функционального анализа. В ряде технических вузов эти предметы включены в учебные планы или же частично затрагиваются в курсах математического анализа, линейной алгебры и вариационного исчисления. Для восполнения возможных пробелов в математической подготовке в первой части книги помещено изложение необходимых математических сведений, пригодное даже для первоначального изучения.

Собственно теории динамических систем посвящена часть II, т.е. гл.5 ... 13, так что читатели, владеющие необходимыми математическими понятиями, могут сразу обратиться к части второй, используя первые 4 главы книги как справочник.

Традиционные вопросы качественной теории, ориентированные на обязательное изучение в курсах теории автоматического управления и в курсах дифференциальных уравнений, сосредоточены в гл.5 ... 8 (за исключением разд. 5.5, 8.2 и 8.5) и в разд. 9.1 гл.9. Главы 12 и 13 (за исключением разд. 12.3, 13.1 и 13.2) можно использовать в качестве дополнительного материала при учебно-исследовательской работе студентов. Наконец, оставшиеся разделы могут послужить основой для спецкурсов. Например, гл.5, 7, 9 и 10 ориентированы на изложение основ эргодической теории динамических систем, а гл.5 ... 8 или 11 и 12 – на изучение вопросов, связанных с применением прямого метода Ляпунова в теории устойчивости.

Многолетний опыт преподавания теории динамических систем в МАИ показывает, что ее изучение доступно студентам старших курсов и способствует лучшему осуществлению принципа непрерывности математического образования. Постоянно проявляемый слушателями факультета повышения квалификации преподавателей интерес к постановке преподавания качественной теории динамических систем в МАИ показывает, что необходимо издание учебного пособия такого плана.

Всюду в тексте начало и конец доказательств отмечены знаками "белый квадрат" и "черный квадрат". В списке литературы приведены книги, рекомендуемые для дальнейшего ознакомления с предметом [3 ... 10], или для более углубленного изучения математических основ [1, 2, 11].

Об авторе

Степаньянц Георгий Аркадьевич

Доктор технических наук, профессор. В 1959 г. окончил Московский авиационный институт (МАИ). В 1964 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1973 г. — докторскую. В настоящее время работает на кафедре систем автоматического управления МАИ в должности профессора. Научно-педагогический стаж — более 65 лет. Автор более 100 научных трудов, более 10 учебных пособий, среди которых: «Основы качественной теории динамических систем (динамические системы с инвариантной мерой)» (1980), «Применение прямого метода Ляпунова в качественной теории динамических систем» (1982), «Теория динамических систем» (1985), «Динамические системы на гладких ориентируемых многообразиях» (1995), «Необходимые условия экстремума (теорема Дубовицкого—Милютина)» (2002), «Вращение векторного пространства и простейшие задачи управления пространственным разворотом твердого тела» (2007) и др. За годы работы в МАИ были прочитаны курсы для студентов, аспирантов и преподавателей: «Основы теории множеств», «Математическая логика и комбинаторика», «Теория эргодических систем», «Теория автоматического управления» и др.