Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел 2024 Изд. 4

2024. 504 с. СОСТОЯНИЕ: Блок текста: 5. Обложка: 4+.

Твердый переплет

Стереотипное издание 3-му дополненному 1985-го года.

Аннотация

Излагается ряд методов современной теории чисел. Изложение иллюстрируется рассмотрением большого числа конкретных теоретико-числовых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное место занимают также геометрический и аналитический методы.

Книга не предполагает у читателя больших знаний; для понимания большей ее части вполне достаточно двух курсов университета... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к третьему изданию				7
Глава I. Сравнения				9
§ 1. Сравнения по простому модулю				11
1. Суммы степеней вычетов				11
2. Теоремы о числе решений сравнений				12
3. Квадратичные формы по простому модулю				14
§ 2. Тригонометрические суммы				16
1. Сравнения и тригонометрические суммы				16
2. Суммы степеней				19
3. Модуль гауссовой суммы				22
§ 3. р-адические числа				25
1. Целые р-адические числа				25
2. Кольцо целых р-адических чисел				28
3. Дробные р-адические числа				31
4. Сходимость в иоле р-адических чисел				32
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел				40
1. Метризованные поля				40
2. Метрики поля рациональных чисел				45
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа				48
1. Сравнения и уравнения в кольце Zp				48
2. О разрешимости некоторых сравнений				50
§ 6. Квадратичные формы с р-адическими коэффициентами				58
1. Квадраты в поле р-адических чисел				58
2. Представление нуля р-адическими квадратичными формами				59
3. Бинарные формы				62
4. Эквивалентность бинарных форм				66
5. Замечания о формах высших степеней				68
§ 7. Рациональные квадратичные формы				75
1. Теорема Минковского — Хассе				75
2. Формы от трех переменных				77
3. Формы от четырех переменных				83
4. Формы от пяти и более переменных				85
5. Рациональная эквивалентность				86
6. Замечания о формах высшихстепеней				87
Глава II. Представление чисел разложимыми формами				91
§ 1. Разложимые формы				92
1. Целочисленная эквивалентность форм				92
2. Построение разложимых форм				94
3. Модули				97
§ 2. Полные модули и их кольца множителей				99
1. Базис модуля				99
2. Кольца множителей				103
3. Единицы				105
4. Максимальный порядок				108
5. Дискриминант полного модуля				110
§ 3. Геометрический метод				112
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел				112
2. Решетки				117
3. Логарифмическое пространство				121
4. Геометрическое изображение единиц				123
5. Первые сведения о группе единиц				124
§ 4. Группа единиц				126
1. Критерий полноты решетки				126
2. Лемма Минковского				127
3. Структура группы единиц				131
4. Регулятор				133
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел полными разложимыми формами				136
1. Единицы с нормой +1				136
2. Общий вид решений уравнения N(μ) = а				137
3. Эффективное построение системы основных единиц				138
4. Числа модуля с данной нормой				142
§ 6. Классы модулей				143
1. Норма модуля				143
2. Конечность числа классов				146
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами				149
1. Квадратичные поля				149
2. Порядки в квадратичном поле				150
3. Единицы				152
4. Модули				155
5. Соответствие между модулями и формами				158
6. Представление чисел бинарными формами и подобие модулей				161
7. Подобие модулей в мнимом квадратичной поле				164
Глава III. Теория делимости				175
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма				175
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители				175
2. Кольцо Z[ζ]				177
3. Теорема Ферма в случае однозначности разложения на множители				180
§ 2. Разложение на множители				184
1. Простые множители				184
2. Однозначность разложения				185
3. Примеры неоднозначного разложения				187
§ 3. Дивизоры				190
1. Аксиоматическое описание дивизоров				190
2. Единственность				192
3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров				195
4. Связь теории дивизоров с показателями				195
§ 4. Показатели				202
1. Простейшие свойства показателей				202
2. Независимость показателей				203
3. Продолжение показателей				206
4. Существование продолжений				211
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения				214
1. Существование				214
2. Норма дивизоров				216
3. Степень инерции				220
4. Конечность числа разветвленных простых дивизоров				226
§ 6. Дедекиндовы кольца				231
1. Сравнения по модулю дивизора				231
2. Сравнения в дедекиндовых кольцах				232
3. Дивизоры и идеалы				234
4. Дробные дивизоры				236
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел				241
1. Абсолютная норма дивизора				241
2. Классы дивизоров				244
3. Приложение к теореме Ферма				250
4. Вопросы эффективности				253
§ 8. Квадратичное поле				262
1. Простые дивизоры				262
2. Закон разложения				264
3. Представление чисел бинарными квадратичными формами				267
4. Роды дивизоров				273
Добавление при корректуре				279
Глава IV. Локальный метод				280
§ 1. Поля, полные относительно показателей				280
1. Пополнение поля по показателю				280
2. Представление элементов в виде рядов				282
3. Конечные расширения полного поля с показателем				285
4. Целые элементы				287
5. Поля формальных степенных рядов				290
§ 2. Конечные расширения поля с показателем				295
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с показа-телем				301
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел				306
1. Описание метрик				306
2. Соотношение между метриками				310
§ 5. Аналитические функции в полных полях				312
1. Степенные ряды				312
2. Показательная и логарифмическая функция				314
§ 6. Метод Сколема				319
1. Представление чисел неполными разложимыми формами				319
2. Связь с локальными аналитическими многообразиями				321
3. Теорема Туэ				324
4. Замечания о формах с большим числом переменных				329
§ 7. Локальные аналитические многообразия				331
Глава V. Аналитический метод				339
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров				339
1. Дзета-функция Дедекинда				339
2. Фундаментальная область				343
3. Вычисление объема				345
4. Принцип Дирихле				350
5. Тождество Эйлера				353
§ 2. Число классов дивизоров кругового поля				355
1. Неприводимость кругового многочлена				355
2. Закон разложения в круговом поле				358
3. Выражение к через значения L-рядов				359
4. Суммирование рядов L( 1, x)				364
5. Ряды L( 1, x) для примитивных характеров				366
§ 3. Простые дивизоры первой степени				370
1. Существование простых дивизоров первой степени				370
2. Характеризация нормальных расширений законами разложения простых дивизоров первой степени				371
3. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии				374
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля				379
1. Формула для числа классов дивизоров				379
2. Характер квадратичного поля				384
3. Гауссовы суммы для квадратичных характеров				385
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга на простое число частей				392
1. Разложение числа h на два множителя				392
2. Множитель h0				395
3. Множитель h*				400
4. Условие взаимной простоты h* с l				402
5. Замечание об операторной структуре группы классов дивизоров				404
§ 6. Условие регулярности				407
1. Поле I-адических чисел				407
2. Некоторые вспомогательные сравнения				411
3. Базис вещественных целых I-адических чисел в случае (h*, l) = 1				413
4. Критерий регулярности и лемма Куммера				417
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей				419
1. Теорема Ферма				419
2. Бесконечность числа иррегулярных простых чисел				425
§ 8. Числа Бернулли				426
Алгебраическое дополнение				438
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристики ≠ 2				438
1.Эквивалентность квадратичных форм				438
2. Прямая сумма квадратичных форм				439
3. Представление элементов поля				441
4. Бинарные квадратичные формы				443
§ 2. Алгебраические расширения				444
1. Конечные расширения				444
2. Норма и след				447
3. Сепарабельные расширения				450
4. Нормальные расширения				452
§ 3. Конечные доля				454
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах				458
1. Делимость в кольцах				458
2. Идеалы				460
3. Целые элементы				461
4. Дробные идеалы				463
§ 5. Характеры				465
1. Строение конечных абелевых групп				465
2. Характеры конечных абелевых групп				465
3. Числовые характеры				468
Таблицы				472
Список литературы				492
Перечень стандартных обозначений				499
Предметный указатель				500

Об авторах

Боревич Зенон Иванович

Известный математик, специалист по алгебре и теории чисел. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил с отличием математико-механический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ), затем аспирантуру при Математическом институте АН СССР. Ученик члена-корреспондента АН СССР Д. К. Фаддеева. В 1951 г. защитил кандидатскую диссертацию и начал преподавать в ЛГУ на кафедре высшей алгебры. В 1967 г. защитил докторскую диссертацию, с 1968 г. — профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры и теории чисел. В 1964–1973 гг. был заместителем декана, а затем, в 1973–1984 гг. — деканом математико-механического факультета ЛГУ. Внес большой вклад в развитие алгебры, в том числе теории гомологий групп и ее приложений и теории локальных полей. Автор более 120 работ, среди которых учебник "Определители и матрицы" и монография "Теория чисел" (совместно с И. Р. Шафаревичем), переведенная на несколько иностранных языков.

Шафаревич Игорь Ростиславович

Выдающийся советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик АН СССР и РАН. Еще в школе изучал программу механико-математического факультета МГУ и сдавал экстерном экзамены. После окончания школы был принят на последний курс этого факультета и окончил его в 1940 г. (в 17 лет). Защитил кандидатскую диссертацию в 1942 г. (в 19 лет), докторскую — в 1946 г. (в 23 года). В 1944 г., после окончания аспирантуры, стал преподавателем механико-математического факультета МГУ. С 1946 г. — сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова (МИАН). В 1953–1974 гг. — профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. В 1960–1995 гг. работал в должности заведующего отделом алгебры МИАН, с 1995 г. — главный научный сотрудник МИАН (советник РАН). В 1958 г. избран членом-корреспондентом АН СССР, с 1991 г. — академик. Лауреат Ленинской премии (1959). Президент Московского математического общества (1970–1973).

В область научных интересов И. Р. Шафаревича входили алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия. В теории алгебраических чисел он нашел самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Леонарду Эйлеру и Карлу Гауссу. Внес фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. За работы по алгебраической теории чисел (открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп), опубликованные в 1950–1954 гг., был удостоен Ленинской премии. В 1970-1980-х гг. И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев и их ученики получили важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп и теории Галуа. Кроме того, И. Р. Шафаревич получил известность как общественный деятель и автор историко-философских публикаций.

Фото И. Р. Шафаревича: Konrad Jacobs, Erlangen, CC BY-SA 2.0 de, commons.wikimedia.org ==========