Хлебников М.В., Балашов М.В., Тремба А.А. Оптимизация и управление

2024. 448 с.

Онлайн-книга

Аннотация

В учебном пособии в современной форме излагаются основы безусловной и условной оптимизации и рассматривается их применение при решении ряда важнейших задач теории автоматического управления: синтеза стабилизирующих и робастно стабилизирующих регуляторов, линейно-квадратичного управления по состоянию и по выходу, подавления неслучайных внешних возмущений, гарантирующей фильтрации, синтеза ПИД-регуляторов. В приложении содержится используемый... (Подробнее)

Оглавление

От авторов				8
Предисловие				9
Введение				13
Список обозначений				17
1. Безусловная оптимизация				24
1.1. Схемы методов оптимизации. Скорость сходимости				24
1.2. Методы нулевого порядка				27
1.2.1. Одномерная оптимизация и выпуклость				28
1.2.2. Метод золотого сечения				33
1.2.3. Выбор длины шага при минимизации выпуклых функций в Rⁿ				37
1.2.4. Метод случайного блуждания				39
1.2.5. Метод имитации отжига				42
1.2.6. Метод Нелдера-Мида				44
1.3. Методы первого порядка				47
1.3.1. Метод градиентного спуска				47
1.3.2. Условие Лежанского-Поляка-Лоясевича				51
1.3.3. Метод тяжелого шарика				56
1.3.4. Шаг Армихо				58
1.3.5. Метод сопряженных градиентов				60
1.3.6. Субградиентный спуск				66
1.4. Метод Ньютона в задачах безусловной минимизации				72
1.4.1. Метод Ньютона в задачах минимизации				72
1.4.2. Комбинированный метод Ньютона				78
1.5. Примеры экстремальных задач в безусловной минимизации				88
2. Условная оптимизация				103
2.1. Устойчивость задач минимизации. Модуль выпуклости				103
2.2. Конечношаговые методы				109
2.2.1. Линейное программирование				109
2.2.2. Квадратичное программирование				119
2.3. Методы первого порядка				122
2.3.1. Метод проекции градиента				122
2.3.2. Метод проекции субградиента				134
2.3.3. Метод условного градиента				135
2.4. Метод отсекающей гиперплоскости. Метод эллипсоидов				143
2.5. Метод Ньютона в задачах условной минимизации				147
2.6. Метод штрафных функций				150
2.7. Полуопределенное программирование				153
2.7.1. Линейные матричные неравенства				153
2.7.2. Задача полуопределенного программирования				157
2.7.3. Лемма Шура и ее применение				160
2.7.4. Лемма Питерсена				165
2.8. Примеры экстремальных задач в условной минимизации				167
3. Оптимизация в теории автоматического управления				176
3.1. Линейные матричные неравенства в задачах управления				176
3.1.1. Квадратичная устойчивость				176
3.1.2. Квадратичная стабилизация				182
3.1.3. Линейно-квадратичное управление по состоянию				193
3.1.4. Н_∞-оптимизация				199
3.2. Робастная стабилизация и управление				207
3.2.1. Структурированная матричная неопределенность				207
3.2.2. Робастная квадратичная стабилизация				210
3.2.3. Робастный линейно-квадратичный регулятор				214
3.2.4. Н_∞-оптимизация: робастный вариант				217
3.3. Линейно-квадратичное управление по выходу				219
3.3.1. Подходы к решению				219
3.3.2. Постановка задачи				222
3.3.3. Примеры				224
3.3.4. Свойства минимизируемой функции				228
3.3.5. Алгоритм решения линейно-квадратичной задачи				240
3.3.6. Связь с общими задачами оптимизации				244
3.4. Подавление внешних возмущений				246
3.4.1. Постановка задачи				246
3.4.2. Метод инвариантных эллипсоидов и задача анализа				247
3.4.3. Задача синтеза				253
3.4.4. Примеры				265
3.5. Гарантирующая фильтрация				275
3.5.1. Постановка задачи				277
3.5.2. Гарантирующий фильтр				278
3.5.3. Вычисление оптимальной матрицы фильтра				280
3.5.4. Непрерывный случай				290
3.5.5. Примеры и обсуждение				293
3.6. Синтез ПИД-регуляторов				300
3.6.1. Постановка задачи и ее сведение к параметрической линейно-квадратичной задаче				301
3.6.2. Примеры				308
Приложение				328
A. Сведения из математического анализа				328
А.1. Компактные множества				328
А.2. Полунепрерывные функции. Теорема Вейерштрасса				329
А.З. Производные, градиенты, разложения				330
А.4. Липшицевы функции и функции с липшицевым градиентом				333
A. 5. Теорема о неявной функции и обратном отображении				335
Б. Сведения из линейной алгебры				336
Б.1. Элементарные свойства матриц				336
Б.2. Матричные нормы				339
Б.З. Уравнения и неравенства Ляпунова и их свойства				342
Б.4. Матричные многообразия				350
B. Элементы теории автоматического управления				351
B.1. Пространство состояний				351
В.2. Передаточная функция				353
В.3. Нормы сигналов				360
В.4. Коэффициенты усиления				363
В.5. Нормы передаточных функций				365
В.6. Одномерные системы управления				367
В.7. Программное управление. Управляемость				373
В.8. Управление по обратной связи				380
В.9. Наблюдаемость				383
Г. Выпуклость множеств и функций. Элементы негладкого анализа				385
Г.1. Выпуклость. Теорема Каратеодори. Непрерывность выпуклых функций				385
Г. 2. Метрическая проекция точки на выпуклое замкнутое множество. Теоремы об отделимости				390
Г.З. Выпуклые конусы				393
Г.4. Теоремы о крайних точках и лучах				395
Г.5. Субдифференциал. Теорема Моро-Рокафеллара				397
Г.6. Сильно выпуклые функции				401
Г.7. Сильно выпуклые множества и проксимально гладкие множества. Слабо выпуклые и слабо вогнутые функции				404
Г.8. Метрика Хаусдорфа. Погрешности многогранных аппроксимаций				409
Г.9. Выживание решений*				411
Г.10. Неподвижные точки и точки совпадения отображений*				415
Д. Сведения из теории экстремальных задач				418
Д.1. Безусловная оптимизация				419
Д.2. Гладкая задача условного экстремума. Метод множителей Лагранжа				420
Д.З. Выпуклая задача условного экстремума				422
Д.4. Замечание о необходимых условиях минимума функции на проксимально гладком множестве				423
Литература				425
Предметный указатель				437

Об авторах

Хлебников Михаил Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор РАН, лауреат премии имени Б. Н. Петрова Российской академии наук. Заведующий лабораторией «Адаптивных и робастных систем» Института проблем управления имени В. А. Трапезникова РАН. Специалист в области теории автоматического управления, робастного управления, оптимизации.

Балашов Максим Викторович

Доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории «Адаптивных и робастных систем» Института проблем управления имени В. А. Трапезникова РАН. Закончил Московский физико-технический институт. Специалист в области выпуклого и негладкого анализа, оптимизации, геометрии банаховых пространств.

Тремба Андрей Александрович

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Адаптивных и робастных систем» Института проблем управления имени В. А. Трапезникова РАН. Специалист в области теории автоматического управления, робастного управления, оптимизации.