Коптюх Д.Г., Путилов С.В., Чиспияков С.В. Многочлены и их приложения

2026. 168 с.

Онлайн-книга

Аннотация

Книга содержит теоретический материал по традиционным разделам теории многочленов одной и нескольких переменных, а также приложения теории многочленов к полям Галуа. В каждом разделе присутствуют образцы решения типовых задач и задания для самостоятельного решения.

Предназначена для студентов, аспирантов и преподавателей математических специальностей. (Подробнее)

Оглавление

Оглавление				3
Введение				7
Необходимые сведения				9
Глава 1. Кольцо многочленов от одной переменной над областью целостности				11
1. Понятие многочлена				11
2. Действия над многочленами				13
3. Деление с остатком на двучлен x – x0				14
4. Корни многочлена				17
5. Схема Горнера				17
6. Кратные корни многочлена				18
Примеры решения задач к главе 1				19
Задания для самостоятельного решения				20
Глава 2. Отношение делимости в кольце многочленов				21
1. Понятие отношения делимости многочленов				21
2. Свойства отношения делимости в кольце многочленов от одной переменной				22
3. Наибольший общий делитель многочленов (НОД)				25
4. Нахождение НОД двух многочленов с помощью алгоритма Евклида				25
5. Наименьшее общее кратное (НОК) многочленов				27
6. Неприводимые над полем многочлены и их свойства				28
7. Основная теорема о делимости многочленов				30
8. Производные и формулы Тейлора				32
9. Алгоритм отделения кратных неприводимых множителей многочлена f(x)				34
10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби с помощью алгоритма Евклида				38
Примеры решения задач к главе 2				39
Задания для самостоятельного решения				49
Глава 3. Многочлены над полем комплексных чисел				53
1. Некоторые сведения из теории действительных функций комплексной переменной				53
2. Основная теорема алгебры				54
3. Формулы Виета				56
Примеры решения задач к главе 3				57
Задания для самостоятельного решения				58
Глава 4. Многочлены над полем действительных чисел				59
1. Свойства многочленов с действительными коэффициентами				59
2. Неприводимые многочлены над полем действительных чисел				62
Глава 5. Решение алгебраических уравнений в радикалах				64
1. Решение квадратных уравнений				65
2. Решение кубических уравнений				66
3. Кубические уравнения с действительными коэффициентами				73
4. Решение уравнений четвертой степени методом Феррари				76
Примеры решения задач к главам 4 и 5				79
Задания для самостоятельного решения				82
Глава 6. Многочлены над полем рациональных чисел				84
1. Вычисление рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами				84
2. Границы действительных корней многочленов с действительными коэффициентами				88
3. Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел				92
4. Критерий Эйзенштейна				94
Примеры решения задач к главе 6				98
Задания для самостоятельного решения				102
Глава 7. Многочлены от нескольких переменных				103
1. Кольцо многочленов от n переменных				103
2. Симметрические многочлены				109
3. Основная теорема о симметрических многочленах				111
4. Алгоритм представления симметрического многочлена в виде многочлена от основных симметрических многочленов				114
5. Теорема о единственности представления симметрического многочлена через основные симметрические многочлены				116
6. Результант двух многочленов и его приложения				118
7. Решения систем алгебраических уравнений с помощью результанта				120
8. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби с помощью симметрических многочленов				121
Примеры решения задач к главе 7				124
Задания для самостоятельного решения				129
Глава 8. Алгебраические числа				131
1. Основные понятия				131
2. Свойства минимального многочлена алгебраического числа				132
3. Существование трансцендентных чисел				134
4. Кольцо P[????]				135
5. Алгебраические числа над полем P				136
6. Простые расширения числовых полей				137
7. Критерий алгебраичности числа над заданным полем				138
Примеры решения задач к главе 8				140
Задания для самостоятельного решения				142
Глава 9. Поля Галуа				144
1. Поля Галуа				144
2. Поле Галуа GF(2^3)				146
3. Поле Галуа GF(2^8)				150
4. Неприводимые многочлены над полем {0,1}				153
5. Коды БЧХ				155
6. Простейшее применение поля Галуа в криптографии				157
Задания для самостоятельного решения				159
Задачи использования полей Галуа в программировании				161
Литература				162

Об авторах

Коптюх Диана Георгиевна

Путилов Сергей Васильевич

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ «Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского». Заведующий кафедрой алгебры (1999–2013), кафедрой алгебры и геометрии (2013–2017), кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии (2017–2023) БГУ им. И. Г. Петровского. Лауреат премии академика И. Г. Петровского (1985). Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации (2009).

Чиспияков Сергей Валентинович