Ошемков А. А., Попеленский Ф. Ю., Тужилин А. А., Фоменко А. Т., Шафаревич А. И. Курс наглядной геометрии и топологии Изд. стереотип.

2026. 352 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Онлайн-книга

Аннотация

Книга основана на курсе лекций, которые с 2012 года читаются студентам механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Этот курс лекций новый, в нем рассматриваются глубокие и важные вопросы, допускающие вместе с тем наглядное представление и неформальное обсуждение.

Сохраняя высокий уровень строгости, авторы старались также не упускать возможности показать красоту и наглядность обсуждаемых геометрических идей и конструкций.... (Подробнее)

Оглавление

Введение				9
1 Элементы теории графов				16
1.1 Основные понятия теории графов				16
1.2 Эйлеровы графы				19
1.3 Гамильтоновы графы				23
Литература к главе 1				26
Упражнения к главе 1				26
2 Элементы топологии				29
2.1 Топологические пространства и непрерывные отображения				29
2.1.1 База окрестностей				30
2.1.2 Непрерывные отображения				32
2.1.3 Открытые множества и непрерывные отображения				33
2.1.4 Топология и топологические пространства				33
2.1.5 Индуцированная топология				35
2.2 Гомеоморфизм				36
2.3 Линейная связность				39
2.4 Компактность				42
Литература к главе 2				43
Упражнения к главе 2				44
3 Теорема Жордана				46
3.1 Теорема Жордана				46
3.2 Ломаные и теорема Жордана				49
3.3 Доказательство теоремы Жордана для ломаных				51
3.3.1 Реализация пункта (1)				53
3.3.2 Реализация пункта (2)				54
3.3.3 Реализация пункта (3)				55
3.3.4 Реализация пункта (4)				56
Литература к главе 3				58
Упражнения к главе 3				59
4 Приложения теоремы Жордана. Плоские графы				61
4.1 Геометрические графы				64
4.2 Плоские и планарные графы				66
4.3 Формула Эйлера для плоских графов				67
4.4 Планарные графы. Критерий Понтрягина–Куратовского				71
Литература к главе 4				73
Упражнения к главе 4				73
5 Многогранники				75
5.1 Многоугольники				75
5.2 Многогранные поверхности. Определение многогранников				77
5.3 Графы, связанные с многогранными поверхностями				81
5.4 Выпуклые многогранники				83
5.5 Формула Эйлера для многогранников				89
5.6 Правильные многогранники				89
5.7 Теорема о “еже” выпуклого многогранника				91
Литература к главе 5				93
Упражнения к главе 5				93
6 Элементы сферической геометрии				96
6.1 Сферические фигуры				96
6.2 Выпуклые сферические многоугольники				101
6.3 Эйлеровы многоугольники				105
6.4 Сферические треугольники				108
6.5 Расстояние на сфере				109
6.6 Окружности на сфере				109
6.7 Теоремы о сферических треугольниках				111
Литература к главе 6				117
Упражнения к главе 6				117
7 Жесткие и изгибаемые многогранники				119
7.1 Тригонометрическая лемма Коши				119
7.2 Многогранники с одинаковой структурой границы				124
7.3 Теорема Коши о жесткости выпуклых многогранников				125
7.4 Изгибаемые многогранники				129
Литература к главе 7				132
Упражнения к главе 7				134
8 Равновеликость и равносоставленность. Третья проблема Гильберта				135
8.1 Критерий равносоставленности многогранников				138
8.2 Примеры вычисления инвариантов Дена				139
8.3 Некоторые следствия из теоремы Дена				140
8.4 Доказательство теоремы Дена				142
8.5 Решение Третьей проблемы Гильберта				144
8.6 Дальнейшее развитие				146
Литература к главе 8				147
Упражнения к главе 8				147
9 Кратчайшие кривые и геодезические				149
9.1 Кратчайшие кривые				150
9.1.1 Евклидово пространство				150
9.1.2 Нормированное пространство				152
9.1.3 Манхеттенское пространство				153
9.1.4 Сфера				154
9.1.5 Многогранники				157
9.1.6 Интегральная формула длины пространственной кривой				160
9.1.7 Прямой круговой цилиндр				161
9.2 Геодезические				162
Литература к главе 9				164
Упражнения к главе 9				165
10 Минимальные сети				167
10.1 Кратчайшие деревья на евклидовой плоскости				168
10.1.1 Задача Ферма				168
10.1.2 Локальная структура кратчайших деревьев. Локально минимальные деревья				169
10.1.3 Алгоритм построения кратчайшего дерева на евклидовой плоскости				171
10.1.4 Алгоритм Мелзака				172
10.2 Формула Максвелла				175
10.3 Замкнутые локально минимальные сети на многогранниках				176
Литература к главе 10				178
Упражнения к главе 10				179
11 Инварианты плоских замкнутых кривых				182
11.1 Замкнутые гладкие и регулярные кривые на плоскости				183
11.1.1 Свойства периодических функций				185
11.2 Число вращения. Классификация замкнутых регулярных кривых				187
11.3 Число вращения и точки самопересечения				194
11.4 Число Уитни. Теорема Уитни				196
Литература к главе 11				197
Упражнения к главе 11				198
12 Двумерные поверхности				200
12.1 Край триангулируемой поверхности				203
12.2 Ориентация триангулируемых поверхностей				204
12.3 Гомеоморфизм поверхностей				207
12.4 Склейки из квадрата				207
12.5 Основные операции				208
12.6 Классификация ориентируемых поверхностей				209
12.7 Классификация неориентируемых поверхностей				215
Литература к главе 12				219
Упражнения к главе 12				219
13 Шарнирные механизмы				221
13.1 Простейшие шарнирные механизмы				222
13.1.1 Шарнирный механизм, реализующий параллельный перенос				222
13.1.2 Важное замечание. Антипараллелограмм				222
13.1.3 Укрепление параллелограмма и антипараллелограмма				223
13.1.4 Параллельный перенос и сложение векторов: транслятор Кемпе				225
13.1.5 Умножение углов на целые числа и деление углов на равные части: реверсор Кемпе				226
13.1.6 Сложения углов: сумматор Кемпе				227
13.2 Инверсия				228
13.2.1 Определение и основные свойства инверсии				228
13.2.2 Механизмы, реализующие инверсию				231
13.3 Теорема Кемпе				234
13.3.1 Рисуемые множества и теорема Кинга				234
13.3.2 Универсальная теорема Кемпе				236
13.4 Исторические комментарии				239
13.4.1 Паровая машина и параллелограмм Уатта				239
13.4.2 Лямбда-механизм и стопоходящая машина Чебышева				242
13.4.3 Инверсор Поселье				245
13.5 Формализация				245
13.5.1 Пример: ромб				248
13.5.2 Укрепление шарнирного механизма: общий подход				250
13.5.3 Пример: параллелограмм и антипараллелограмм				251
13.5.4 Как нарисовать решение уравнения?				252
Литература к главе 13				253
14 Симметрии плоских кристаллов				255
14.1 Плоские кристаллы и их группы симметрий				255
14.2 Замощения				257
14.3 Группа движений прямой и ее дискретные подгруппы				265
14.4 Движения плоскости				269
14.5 Группы симметрий бордюров				273
14.5.1 Движения, содержащиеся в группе бордюра				273
14.5.2 Классификация групп				277
14.6 Немного алгебры				279
14.7 Кристаллографические группы для плоскости				281
14.8 Параллельные переносы в кристаллографической группе				282
14.9 Повороты и отражения. 10 кристаллографических классов				285
14.10 Симметрии решеток. 13 арифметических классов				287
14.11 Решетки Браве, типы Браве и сингонии				290
14.12 Классификация федоровских групп				291
14.13 Когомологии кристаллографических классов				297
14.14 Алгебраический аспект кристаллографии. Классификация в других размерностях				298
14.15 Квазикристаллы				301
Литература к главе 14				306
15 Пространство Минковского				309
15.1 Псевдоевклидово скалярное произведение				309
15.2 Подпространства и ортогональные дополнения				311
15.3 Преобразования Лоренца				315
15.4 Собственное время. Инерциальные наблюдатели. Относительность одновременности, сокращение длин и замедление времени				318
15.5 Собственное время. Инерциальные наблюдатели. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника и парадокс близнецов				321
Литература к главе 15				322
Упражнения к главе 15				323
16 Геометрия Лобачевского				324
16.1 Псевдосфера в пространстве Минковского				324
16.2 Касательная плоскость к псевдосфере и геометрия Лобачевского				325
16.3 Движения и прямые плоскости Лобачевского				326
16.4 Нарушение аксиомы параллельных				328
16.5 Расстояние на плоскости Лобачевского				329
16.6 Окружности на плоскости Лобачевского				330
16.7 Треугольники на плоскости Лобачевского				330
16.8 Стереографическая проекция псевдосферы. Метрика Лобачевского в модели Пуанкаре на единичном круге				333
16.9 Комплексные координаты и комплексная запись скалярного произведения				335
16.10 Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости				336
16.11 Углы в модели Пуанкаре				336
16.12 Прямые в модели Пуанкаре				337
16.13 Движения в модели Пуанкаре				339
Литература к главе 16				340
Упражнения к главе 16				340
Предметный указатель				343

Об авторах

Ошемков Андрей Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Специалист в области качественного исследования динамических систем, в симплектической и пуассоновой геометрии, в теории особенностей интегрируемых гамильтоновых систем.

Попеленский Федор Юрьевич

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Научные интересы относятся к алгебраической топологии, некоммутативной геометрии, гомологической алгебре.

Тужилин Алексей Августинович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ. Заведует Лабораторией компьютерных методов в естественных и гуманитарных науках при кафедре дифференциальной геометрии и приложений. Является известным в нашей стране и за рубежом специалистом в области топологического вариационного исчисления, теории экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических и проблемы Штейнера, теории графов, компьютерной геометрии. Автор более 180 научных публикаций, в том числе 6 монографий и 7 учебных пособий по математике. Удостоен Государственной стипендии для молодых ученых, гранта Президента РФ поддержки молодых докторов наук, премии имени И. И. Шувалова I степени. Участник многих отечественных и международных научных проектов, поддержанных РФФИ, РНФ и другими фондами. Один из создателей Практикума по компьютерной геометрии на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

Фоменко Анатолий Тимофеевич

Академик РАН, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.

Шафаревич Андрей Игоревич

Член-корреспондент РАН. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова; c 2019 г. — декан факультета. По совместительству работает в Московском физико-техническом институте. Член методического совета механико-математического факультета МГУ, ученого совета МФТИ, диссертационного совета МИЭМ ВШЭ. Руководит группой в Международной лаборатории имени Бернулли. Развил новые методы изучения вихревых решений уравнений гидродинамики, описания спектральных серий несамосопряженных операторов и операторов с сингулярными коэффициентами, исследования эволюционных уравнений на клеточных комплексах.