| От редакции | 6
|
| Предисловие | 9
|
| Введение | 15
|
| Глава 1 Первый шаг на пути к фракталам | 17
|
| 1.1. Что такое фрактальная геометрия? | 17
|
| 1.2. Самоподобные множества | 19
|
| 1.3. Примеры несамоподобных множеств | 25
|
| 1.4. Сведения, необходимые для изучения фрактальной геометрии | 27
|
| 1.4.1. Системы счисления | 27
|
| 1.4.2. Множества и метод математической индукции | 42
|
| 1.4.3. Комплексные числа | 49
|
| 1.5. Геометрическая прогрессия и геометрия фракталов | 57
|
| 1.6. Метод итераций и школьная математика | 66
|
| 1.7. Метод итераций и сжимающие отображения | 73
|
| 1.8. Орбита точки, неподвижные и периодические точки | 83
|
| 1.9. Метод итераций и тентообразная функция | 87
|
| 1.10. Характеристика множества Кантора с помощью тентообразной функции | 94
|
| Глава 2 Второй шаг на пути к фракталам | 102
|
| 2.1. Обобщение понятия «фрактал» с помощью размерности Минковского | 102
|
| 2.2. Интеграция математики с информатикой | 110
|
| 2.3. Математическая логика и информатика | 112
|
| 2.4. Множества, математическая индукция, теория чисел и информатика | 118
|
| 2.5. Алгебраические уравнения и информатика | 123
|
| 2.6. Геометрия и информатика | 130
|
| 2.7. Исследование функций и информатика | 138
|
| 2.8. Фрактальная геометрия и информатика | 142
|
| 2.8.1. Построение фракталов с помощью L-систем и ИКТ | 142
|
| 2.8.2. Построение фракталов с помощью аффинных преобразований и ИКТ | 149
|
| 2.8.3. Построение заполняющих множеств Жюлиа с помощью ИКТ | 158
|
| 2.8.4. Построение множеств Мандельброта с помощью ИКТ | 163
|
| Глава 3 Третий шаг на пути к фракталам | 168
|
| 3.1. История создания фракталов | 168
|
| 3.2. Приложения фрактальной геометрии | 172
|
| 3.3. Эстетика фрактальной геометрии | 180
|
| Литература | 186
|
| Приложение 1 Четвертый шаг на пути к фракталам | 188
|
| I. Обобщение понятия самоподобия | 188
|
| II. Метрические пространства | 192
|
| III. Топологические пространства | 196
|
| IV. Определение топологической размерности | 200
|
| Литература к приложению 1 | 206
|
| Приложение 2 Пятый шаг на пути к фракталам | 207
|
| I. Вычисление топологической размерности | 207
|
| II. Размерность Хаусдорфа—Безиковича. Определение фрактала по Мандельброту | 211
|
| III. Размерности Минковского и Хаусдорфа для некоторых компактных множеств | 217
|
| IV. Сравнение топологической размерности с размерностью Хаусдорфа | 219
|
| Литература к приложению 2 | 223
|
| Приложение 3 Вычисление фрактальных размерностей некоторых множеств на вещественной прямой и вещественной плоскости | 224
|
| Литература к приложению 3 | 237
|
| Приложение 4 Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов | 238
|
| Литература к приложению 4 | 247
|
| Приложение 5 Фрактальные методы в физике и экономике | 248
|
| Литература к приложению 5 | 255
|
Секованов Валерий Сергеевич