| Предисловие к переработанному и расширенному изданию | 6
|
| Предисловие к первому изданию | 7
|
| 1 Введение в теорию перколяции | 9
|
| 1.1. Введение | 9
|
| 1.2. Перколяционные многочлены | 13
|
| 1.3. Немного терминологии | 15
|
| 1.4. Перколяция как критическое явление | 21
|
| 1.5. Критические показатели и масштабная инвариантность | 22
|
| 1.6. Фрактальные свойства | 25
|
| 1.7. Структура перколяционного кластера | 28
|
| 1.7.1. Модель Скал—Шкловского—де Жена | 28
|
| 1.7.2. Модель капель и связей | 29
|
| 1.7.3. Модель на основе ковра Серпинского | 30
|
| 1.7.4. Модель на основе фрактала Гивена—Мандельброта | 30
|
| 1.7.5. Иерархическая модель | 31
|
| 1.8. Точно решаемые задачи теории перколяции | 32
|
| 1.8.1. Перколяция на одномерной цепочке | 32
|
| 1.8.2. Перколяция на дереве Кэли | 35
|
| 1.8.3. Применение метода производящих функций для определения порога перколяции на дереве Кэли | 42
|
| 1.8.4. Точные решения для некоторых плоских решёток | 45
|
| 1.9. «Решёточные звери» и разложение в ряд | 49
|
| 1.10. Метод ренорм-групп | 53
|
| 1.10.1. Метод ренорм-групп для малых ячеек | 53
|
| 1.10.2. Метод ренорм-групп для больших ячеек | 62
|
| 1.10.3. ε− разложение | 62
|
| 1.11. Формулы для оценки порога перколяции | 64
|
| 1.11.1. Определения и оценки | 64
|
| 1.11.2. Оценки Шера и Цаллена | 66
|
| 1.11.3. «Универсальная формула» Галама и Можера | 67
|
| 1.11.4. Порог перколяции для архимедовых решёток | 68
|
| 1.12. Методы определения порога перколяции | 69
|
| 1.12.1. Некоторые важные теоретические результаты | 69
|
| 1.12.2. От микроканонического ансамбля к каноническому | 71
|
| 1.12.3. Методы оценки порога перколяции | 74
|
| 1.12.4. Перколяционные многочлены | 76
|
| 1.12.5. Моделирование методом Монте-Карло | 78
|
| 1.13. Смешанная задача теории перколяции | 79
|
| 1.14. Задача «иголок» и родственные проблемы | 83
|
| 1.15. Направленная перколяция | 87
|
| 1.16. Взрывная перколяция | 89
|
| 1.17. Цветная перколяция | 90
|
| 1.18. Диффузионный фронт | 90
|
| 1.19. Инвазивная перколяция | 92
|
| 1.20. Континуальная перколяция | 93
|
| 1.20.1. Континуальная перколяция вытянутых пересекающихся частиц | 95
|
| 1.20.2. Перколяция связности вытянутых частиц | 100
|
| 1.20.3. Перколяция в случайных системах изогнутых линейных объектов на плоскости | 101
|
| 2 Алгоритмы | 107
|
| 2.1. Алгоритмы поиска в глубину и ширину | 107
|
| 2.1.1. Алгоритм поиска в глубину | 108
|
| 2.1.2. Алгоритм поиска в ширину | 109
|
| 2.2. Алгоритм Лиса | 111
|
| 2.3. Алгоритм Зиффа | 113
|
| 2.4. Алгоритм Хошена—Копельмана | 115
|
| 2.5. Алгоритм объединения и поиска Ньюмана и Зиффа | 118
|
| 2.6. Алгоритм поиска остова | 121
|
| 2.6.1. Нахождение эффективного остова с помощью вычисления распределения токов | 125
|
| 2.6.2. Алгоритм горения | 128
|
| 2.6.3. Алгоритм прохождения лабиринта | 130
|
| 2.6.4. Модифицированный алгоритм прохождения лабиринта | 131
|
| 2.6.5. Другие алгоритмы поиска остова | 135
|
| 2.7. Специальные алгоритмы | 138
|
| 3 Некоторые приложения теории перколяции | 141
|
| 3.1. Модели распространения эпидемий | 141
|
| 3.2. Моделирование двойных перовскитов | 144
|
| 3.3. Электропроводность неупорядоченных систем | 146
|
| Заключение | 152
|
| Список литературы | 153
|
Считается, что научная книга устаревает до её выхода из печати. Что касается данной книги, то это утверждение, несомненно, верное. А так как со времени первого издания прошло более 20 лет, то новых результатов и в теории, и в алгоритмах, и в приложениях хватит на много сотен страниц. Но поскольку, как говаривал
Козьма Прутков, объять необъятное нельзя, было принято решение добавить только тот материал, который соответствует уровню начального знакомства с предметом и не предполагает глубокого погружения в тему. Сильнее всего были переработаны разделы, посвящённые алгоритмам и приложениям теории перколяции, расширен список литературы в связи с тем, что за последние годы как на русском, так и на английском языке вышли книги [1–7], целиком или частично посвящённые перколяции, и посвящённые перколяции обзоры [8, 9]. В некоторых случаях ссылки на книги были заменены на новые издания. Немного изменилась последовательность подачи материала.
Для меня было приятной неожиданностью предложение переиздать книгу, написанную четверть века назад. Хочется надеяться, что расширенное и переработанное издание принесёт пользу тем, кто только начинает знакомиться с применением теории перколяции для моделирования неупорядоченных систем.
Тарасевич Юрий Юрьевич Доктор физико-математических наук, профессор, руководитель лаборатории «Математическое моделирование и информационные технологии в науке и образовании» Астраханского государственного университета им. В. Н. Татищева. Области научных интересов: вычислительная физика и компьютерное моделирование, статистическая физика, физика конденсированного состояния. Автор нескольких десятков научных публикаций в изданиях, индексируемых системами Web of Science и Scopus.
