| Предисловие | 9
|
| Введение | 11
|
| Часть I. Теория, методы, алгоритмы | 14
|
| Глава 1. Энтропийные модели неопределенности | 14
|
| 1.1. Неопределенность | 14
|
| 1.2. Рандомизация | 17
|
| 1.3. Энтропия | 22
|
| 1.4. Механизмы формирования стационарных состояний макросистемы | 28
|
| Глава 2. Обработка данных | 33
|
| 2.1. Энтропийные «прямые» и «обратные» проекции | 33
|
| 2.1.1. Энтропийно-оптимальный метод «прямого» и «обратного» проектирования | 34
|
| 2.1.2. Параллельное проектирование с ограничениями информационной емкости | 40
|
| 2.1.3. Энтропийное случайное проектирование | 44
|
| 2.1.4. Случайные матрицы-проекторы с заданными значениями элементов | 47
|
| 2.2. Восстановление пропущенных данных | 54
|
| 2.2.1. Структура процедуры рандомизированного восстановления пропущенных данных | 57
|
| 2.2.2. Алгоритмы оптимизации АПД | 59
|
| Глава 3. Динамические системы с энтропийным оператором | 66
|
| 3.1. Математические модели динамических систем с энтропийным оператором | 68
|
| 3.2. Энтропийный оператор | 71
|
| 3.2.1. Качественные свойства энтропийного оператора в состоянии локального равновесия | 71
|
| 3.2.2. Оценивание локальной константы Липшица оператора с больцмановским энтропийным функционалом | 75
|
| 3.2.3. Оценивание локальной константы Липшица оператора с ферми-энтропийным функционалом | 93
|
| 3.3. Устойчивость ДСЭО с сепарабельным потоком | 104
|
| 3.4. Управляемые позитивные ДСЭО | 108
|
| 3.4.1. Математическая модель позитивной управляемой ДСЭО | 108
|
| 3.4.2. Сингулярные точки и их локализация | 111
|
| 3.4.3. Устойчивость «в большом» ненулевой сингулярной точки | 117
|
| 3.4.4. Квазиоптимальное управление одного класса позитивных ДСЭО | 120
|
| 3.5. Колебания в динамических системах с энтропийным оператором | 128
|
| 3.5.1. Математическая модель автономной ДСЭО | 128
|
| 3.5.2. Существование tau-0-периодических колебаний | 129
|
| 3.5.3. Асимптотический метод определения формы и параметров τ0-периодических колебаний | 132
|
| 3.5.4. Асимптотический метод определения формы и параметров τ-периодических колебаний | 134
|
| 3.5.5. Почти-периодические колебания в неавтономных ДСЭО | 137
|
| Глава 4. Макродинамика одного класса нелинейных марковских процессов | 141
|
| 4.1. Математическая модель | 141
|
| 4.2. Локально-стационарные макросостояния потоков иммиграционной и эмиграционной вероятностей | 145
|
| 4.3. Уравнение нелинейного марковского процесса | 148
|
| 4.4. Анализ уравнения НМП | 150
|
| Глава 5. Энтропийно-рандомизированное оценивание функций плотности распределения вероятностей | 152
|
| 5.1. Математическая формулировка метода ЭРО | 152
|
| 5.2. Условия оптимальности | 154
|
| 5.3. Существование неявной функции λ(x(r),y(r)) | 156
|
| 5.4. Асимптотика ЭРО | 160
|
| Глава 6. Рандомизированное машинное обучение | 164
|
| 6.1. Рандомизированная модель и ее характеризация | 164
|
| 6.2. Алгоритм «жесткого» РМО | 166
|
| 6.3. Алгоритм «мягкого» РМО | 169
|
| Глава 7. Рандомизированное машинное прогнозирование | 171
|
| 7.1. Рандомизированные временные ряды | 173
|
| 7.2. Рандомизированные динамические модели «вход-выход» | 180
|
| Глава 8. Энтропийная кластеризация на основе ЭРО | 186
|
| 8.1. Принцип рандомизированной кластеризации | 187
|
| 8.2. Числовая характеристика множества объектов | 188
|
| 8.3. Математическая модель задачи рандомизированной энтропийной кластеризации | 190
|
| 8.4. Алгоритмы рандомизированной бинарной кластеризации | 196
|
| 8.5. Иллюстративные примеры | 200
|
| Часть II. Прикладные задачи | 210
|
| Глава 9. Прогнозирование численности мирового населения | 210
|
| 9.1. Рандомизированная модель численности | 211
|
| 9.2. Рандомизированное оценивание функций ПРВ | 213
|
| 9.3. Тестирование обученной модели численности | 219
|
| 9.4. Рандомизированный прогноз численности | 222
|
| Глава 10. Прогнозирование суточной электрической нагрузки энергетической системы | 224
|
| 10.1. Модель динамической регрессии | 224
|
| 10.2. Обучающая коллекция данных | 227
|
| 10.3. Энтропийно-оптимальные функции ПРВ параметров и шумов | 232
|
| 10.4. Обучение моделей | 234
|
| 10.5. Тестирование модели | 238
|
| 10.6. Рандомизированное прогнозирование N-суточной нагрузки | 245
|
| Глава 11. Прогнозирование эволюции площади термокарстовых озер Западной Сибири | 247
|
| 11.1. Термокарстовые озера Западной Сибири, инструментальные средства и проблемы их исследования | 248
|
| 11.2. Восстановление пропусков данных дистанционного зондирования состояния термокарстовых озер арктической зоны | 251
|
| 11.3. Рандомизированное прогнозирование эволюции площади термокарстовых озер | 259
|
| Литература | 284
|
Многолетние занятия теоретическими и прикладными исследованиями в области математики, информатики и наук о системах сформировали у меня устойчивые представления о необходимости генерации множества возможных решений, поскольку единственное решение чаще всего либо оказывается не реализуемым в приложениях, либо требует коррекции, что автоматически приводит к многовариантности. Существование такого представления основано на неопределенности, всегда присутствующей в исследуемой проблеме.
Эти соображения могут показаться тривиальными, но возникает вопрос: как более или менее объективно (формализованно) их реализовать? На этот счет существует множество вербальных деклараций, наподобие сценарного подхода, весьма распространенного в социально-экономических исследованиях.
Однако генерация сценариев — прерогатива экспертов, что делает сценарный подход экспертно-ориентированным, то есть по сути субъективным.
Хотелось бы сформировать подход более формализованный, но позволяющий использовать для своей коррекции вербальные знания. Полезной для этого оказалась рандомизация — искусственное придание случайных свойств неслучайным объектам.
Если таковым объектом является модель исследуемого явления, то ее следует параметризовать, а параметры объявить случайными величинами со своими областями значений. Для описания их вероятностных свойств можно использовать аппарат теории вероятностей и математической статистики, который позволяет исследовать функции плотности распределения вероятностей.
Таким образом, рандомизация является возможным средством решения различных задач в условиях неопределенности.
Естественным оказывается стремление получать рандомизированные решения при максимальной неопределенности. И здесь сразу возникает энтропия как мера неопределенности.
В предлагаемой книге реализуется описанная методологическая концепция, рассматриваются примеры ее использования в решении различных проблем обработки данных, теории динамических систем, машинного обучения и прогнозирования.
Основой книги стали материалы моих статей, опубликованных в 2010–2022 гг.
Понимание структуры данной концепции появилось у меня сравнительно недавно, но оно формировалось на базе совокупности моих научных представлений, в формировании которых сыграли важную роль мои учителя, коллеги и ученики.
Конечно, на первом месте находится мой учитель, академик
Яков Залманович Цыпкин, под влиянием которого я ощутил радость и вкус получения научного результата. Неоценимый вклад в мое понимание сущности научного поиска внесли мои коллеги: проф. Борис Теодорович Поляк, проф. Борис Семенович Дарховский, проф. Борис Лейбович Шмульян, членкорр. РАН Владимир Львович Арлазаров. Конечно, важную роль в моем продвижении по научной карьерной лестнице сыграли мои ученики: проф. Юлий Анатольевич Дубов, проф. Канат Шайханович Асаубаев, проф. Роман Львович Шейнин, и многие другие люди. Отдельно хочу отметить влияние на мое жизненное мировоззрение академика РАН Станислава Васильевича Емельянова, который неспешно, но мудро способствовал моему академическому движению.
Академик РАН Попков Ю. С.
Институт системного анализа ФИЦ ИУ РАН,
Институт проблем управления РАН,
Московский физико-технический институт
Попков Юрий Соломонович Академик РАН, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ. Главный научный сотрудник Института системного анализа ФИЦ ИУ РАН, главный научный сотрудник Института проблем управления РАН, заведующий кафедрой "Системные исследования" Московского физико-технического института (МФТИ), профессор кафедры "Нелинейные динамические системы" факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Автор более 240 научных трудов, в том числе 15 монографий. Область научных интересов — стохастические динамические системы, оптимизация, машинное обучение, макросистемное моделирование.
