Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии Изд. 2, испр.

2016. 320 с.

Серия: Классический университетский учебник

Онлайн-книга

Аннотация

Книга представляет собой краткую версию курса дифференциальной геометрии, читаемого в течение двух семестров на математических факультетах университетов. Она содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фундаментальным группам поверхностей,... (Подробнее)

Содержание

Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию				10
§ 1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры				10
1.1. Мотивировка				10
1.2. Декартовы и криволинейные координаты				12
1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат				17
§ 2. Длина кривой в криволинейных координатах				20
2.1. Длина кривой в евклидовых координатах				20
2.2. Длина кривой в криволинейных координатах				22
2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства				25
2.4. Индефинитные метрики				28
§ 3. Геометрия на сфере, плоскости				31
§ 4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского				36
Глава 2. Общая топология				50
§ 1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств				50
1.1. Метрические пространства				50
1.2. Топологические пространства				51
1.3. Непрерывные отображения				53
1.4. Фактортопология				56
§ 2. Связность. Аксиомы отделимости				57
2.1. Связность				57
2.2. Аксиомы отделимости				60
§ 3. Компактные пространства				62
3.1. Компактные пространства				62
3.2. Свойства компактных пространств				63
3.3. Метрические компактные пространства				64
3.4. Операции над компактными пространствами				64
§ 4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы				65
4.1. Функциональная отделимость				66
4.2. Разбиение единицы				68
Глава 3. Гладкие многообразия (общая теория)				70
§ 1. Понятие многообразия				71
1.1. Основные определения				71
1.2. Функции замены координат. Определение гладкого многообразия				75
1.3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм				79
§ 2. Задание многообразий уравнениями				82
§ 3. Касательные векторы. Касательное пространство				87
3.1. Простейшие примеры				87
3.2. Общее определение касательного вектора				89
3.3. Касательное пространство T P 0 (M)				90
3.4. Производная функции по направлению				91
3.5. Касательное расслоение				95
§ 4. Подмногообразия				97
4.1. Дифференциал гладкого отображения				97
4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал				100
4.3. Вложение многообразий в евклидово пространство				101
4.4. Риманова метрика на многообразии				103
4.5. Теорема Сарда				105
Глава 4. Гладкие многообразия (примеры)				110
§ 1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве				110
1.1. Теория кривых на плоскости. Формулы Френе				110
1.2. Теория пространственных кривых. Формулы Френе				115
§ 2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы				121
2.1. Первая квадратичная форма				121
2.2. Вторая квадратичная форма				124
2.3. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности				128
2.4. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей				133
§ 3. Группы преобразований				142
3.1. Простейшие примеры групп преобразований				142
3.2. Матричные группы преобразований				153
3.3. Полная линейная группа				155
3.4. Специальная линейная группа				155
3.5. Ортогональная группа				155
3.6. Унитарная группа и специальная унитарная группа				157
3.7. Симплектическая некомпактная и симплектическая компактная группы				160
§ 4. Динамические системы				164
§ 5. Классификация двумерных поверхностей				175
5.1. Многообразия с краем				176
5.2. Ориентируемые многообразия				178
5.3. Классификация двумерных многообразий				180
§ 6. Двумерные многообразия как римановы поверхности алгебраических функций				191
Глава 5. Тензорный анализ и риманова геометрия				202
§ 1. Общее понятие тензорного поля на многообразии				202
§ 2. Простейшие примеры тензорных полей				207
2.1. Примеры				207
2.2. Алгебраические операции над тензорами				210
2.3. Кососимметричные тензоры				212
§ 3. Связность и ковариантное дифференцирование				220
3.1. Определение и свойства аффинной связности				220
3.2. Римановы связности				227
§ 4. Параллельный перенос. Геодезические				229
4.1. Предварительные замечания				229
4.2. Уравнение параллельного переноса				231
4.3. Геодезические				233
§ 5. Тензор кривизны				242
5.1. Предварительные замечания				242
5.2. Координатное определение тензора кривизны				242
5.3. Инвариантное определение тензора кривизны				244
5.4. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана				245
5.5. Некоторые приложения тензора кривизны Римана				248
Глава 6. Теория гомологий				251
§ 1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии				252
1.1. Дифференцирование внешних дифференциальных форм				252
1.2. Когомологии гладкого многообразия (когомологии де Рама)				257
1.3. Гомотопические свойства групп когомологий				261
§ 2. Интегрирование внешних форм				265
2.1. Интеграл дифференциальной формы по многообразию				265
2.2. Формула Стокса				266
§ 3. Степень отображения и ее приложения				271
3.1. Степень отображения				271
3.2. Основная теорема алгебры				273
3.3. Интегрирование форм				274
3.4. Гауссово отображение гиперповерхности				275
Глава 7. Простейшие вариационные задачи римановой геометрии				277
§ 1. Понятие функционала. Экстремальные функции. Уравнение Эйлера				277
§ 2. Экстремальность геодезических				283
§ 3. Минимальные поверхности				288
§ 4. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия				290
Список литературы				307

Об авторах

Мищенко Александр Сергеевич

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Ведущий научный сотрудник математического института им. В. A. Стеклова PAH. Окончил механико-математический факультет МГУ (1965). Область научных интересов: геометрия и топология и их приложения. Основное направление его работ связано с изучением и применением алгебраических и функциональных методов в теории гладких многообразий, c некоммутативной геометрией и топологией. Читает основные курсы лекций по топологии, по линейной алгебре и геометрии, по классической дифференциальной геометрии, по дифференциальной геометрии и топологии. Лауреат премии Московского математического общества (1971), Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники (1996), Ломоносовской премии Московского государственного университета (2001). Заслуженный профессор Московского университета с 2006 г. Подготовил 19 кандидатов и 4 докторов наук. Автор более 200 научных работ, в том числе более 20 монографий и учебных пособий.

Фоменко Анатолий Тимофеевич

Академик РАН, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.