Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию Изд. стереотип.

2026. 320 с.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет

Аннотация

Цель настоящей книги — дать доступное, но достаточно подробное изложение основ римановой геометрии. Оно позволит читателю с общей математической подготовкой овладеть техникой этого раздела геометрии и войти в круг основных идей «римановой геометрии в целом», главное содержание которой составляют результаты о влиянии локальных свойств кривизны риманова многообразия на его строение в целом. Основное внимание уделено метрическому... (Подробнее)

Оглавление

От авторов				3
Глава 1. Предварительные сведения				5
§ 1. Евклидово пространство				5
1.1. Евклидово векторное пространство				5
1.2. Евклидово точечное пространство				7
§ 2. Гладкие многообразия				8
2.1. Локальные координаты				8
2.2. Гладкое многообразие				8
2.3. Гладкое отображение				11
§ 3. Касательное пространство и дифференциал гладкого отображения				12
3.1. Векторы				12
3.2. Касательное пространство				12
3.3. Касательное расслоение				14
3.4. Дифференциал отображения				14
3.5. Погружение, вложение, субмерсия				16
§ 4. Векторные поля на многообразии				17
4.1. Векторное поле				17
4.2. Пространство векторных полей				19
4.3. Скобка Ли				19
§ 5. Ориентация. Фундаментальная группа. Накрытие				22
5.1. Ориентация				22
5.2. Фундаментальная группа				23
5.3. Накрытие				24
5.4. Действие группы и накрытие				27
Глава 2. Основы римановой геометрии				29
§ 6. Риманово многообразие				29
6.1. Риманова структура				29
6,2. Примеры				30
6.3. Длина				31
6.4. Метрика				32
6.5. Объем				35
§ 7. Линейные связности				35
7.1. Наводящие соображения				35
7.2. Ковариантное дифференцирование				37
7.3. Символы Кристоффеля				39
7.4. Симметричная связность				41
§ 8. Связность Леви—Чивита				41
8.1. Риманова связность				41
8.2. Связность Леви—Чивита				43
§ 9. Ковариантное дифференцирование вдоль пути				46
9.1. Векторное поле вдоль отображения				46
9.2. Ковариантная производная вдоль пути				47
§ 10. Параллельный перенос				50
10.1. Параллельное векторное поле				50
10.2. Параллельный перенос				51
§11. Геодезические и экспоненциальное отображение				54
11.1. Геодезические				54
11.2. Существование геодезических				56
11.3. Экспоненциальное отображение				58
§ 12. Геодезические в римановом многообразии				62
12.1. Формула первой вариации длины				62
12.2. Лемма Гаусса				67
12.3. Шары и кратчайшие				69
12.4. Длина и кратчайшие в классе всех путей				73
12.5. Сходимость геодезических				74
12.6. Специальные координаты				76
§13. Полнота				78
13.1. Теорема Хопфа—Ринова				78
13.2. Замкнутые геодезические				80
13.3. Лемма Берже				82
§14. Кривизна				83
14.1. Искривленность как отличие от евклидова пространства				83
14.2. Преобразование кривизны				84
14.3. Геометрическая интерпретация преобразования кривизны				86
14.4. Тензор кривизны и его алгебраические свойства				89
14.5. Преобразование и тензор кривизны в локальных координатах				92
14.6. Кривизна Римана				93
14.7. Секционная кривизна				94
14.8. Пространства постоянной кривизны (начальные сведения)				98
14.9. Кривизна Риччи и скалярная кривизна				100
14.10. Преобразование кривизны и параллельный перенос				102
14.11. Локальная изо-метрия				105
14.12. Риманова субмерсия. Формула О'Нейла				107
§ 15. Подмногообразия				112
15.1. Индуцированная связность				112
15.2. Вторая основная форма				114
15.3. Теорема Гаусса				115
15.4. Вторая форма относительно нормали				116
15.5. Вполне геодезические подмногообразия				119
§ 16. Псевдоримановы многообразия				120
16.1. Псевдоевклидовы пространства				120
16.2. Псевдоримановы многообразия				126
16.3. Подмногообразия в псевдоримановом многообразии				130
§17. Комплексные римановы многообразия				132
17.1. Почти комплексные структуры				132
17.2. Комплексное многообразие				133
17.3. Эрмитовы и кэлеровы многообразия				134
Глава 3. Применения элементов вариационной теории геодезических в римановой геометрии				136
§ 18. Формула второй вариации				136
18.1. Энергия пути				136
18.2. Вторая вариация энергии				138
18.3. Вторая вариация длины				139
18.4. Некоторые применения формулы второй вариации				140
18.5. Теорема Синга				141
§ 19. Уравнения Якоби				143
19.1. Поля Якоби				143
19.2. Сопряженные и фокальные точки				145
19.3. Сопряженные точки как критические точки экспоненциального ото-бражения				148
19.4. Об изометриях пространств постоянной кривизны				151
19.5. Искажения расстояний при экспоненциальном отображении				153
§ 20. Римановы многообразия неположительной кривизны				154
20.1. Теорема Картана—Адамара				154
20.2. Фундаментальная группа многообразий неположительной кривизны				157
§ 21. Индексная форма				161
21.1. Индексная форма геодезической и вторая вариация энергии				161
21.2. Индексная форма и поля Якоби				162
21.3. Экстремальное свойство полей Якоби				164
21.4. Индекс геодезической				168
§ 22. Теоремы сравнения				168
22.1. Поля Якоби при ограниченной сверху кривизне				168
22.2. Основная конструкция				170
22.3. Теоремы Рауха и Берже				172
22.4. Сравнение углов треугольников				178
22.5. Сравнение объемов				184
22.6. Теорема компактности Громова и пространства Александрова				187
Глава 4. Теорема о сфере				191
§ 23. Элементы теории Морса				191
23.1. Функции Морса				191
23.2. Пространство путей и его конечномерная аппроксимация				197
§ 24. Радиус инъективности и множество раздела				201
24.1. Радиус инъективности				201
24.2. Точка раздела вдоль геодезической и множество раздела				205
24.3. Оценки радиуса инъективности снизу				207
§ 25. Теорема о сфере				212
25.1. Теорема о сфере				212
25.2. Обзор. Различные доказательства теоремы о сфере. Обобщения и родственные результаты				214
Глава 5. Выпуклость				219
§ 26. Выпуклые множества				219
26.1. Различные типы выпуклости				219
26.2. Выпуклые окрестности				220
26.3. Строение выпуклого множества				222
26.4. Расстояние до выпуклого множества				225
§ 27. Вогнутые функции на многообразии				227
27.1. Выпуклые и вогнутые функции				227
27.2. Вогнутые функции и выпуклые множества				228
27.3. Оришары и функция Буземана				234
27.4. Признак существования вогнутой функции				236
27.5. Теорема о расщеплении				238
§ 28. Многообразия, допускающие вогнутые функции				239
28.1. Строение многообразия, допускающего вогнутую функцию				239
28.2. Открытые многообразия неотрицательной кривизны				243
Глава 6. Однородные пространства				249
§ 29. Римановы метрики на группах Ли				250
29.1. Группы Ли				250
29.2. Левоинвариантные поля и метрики				251
29.3. Вспомогательные предложения				255
29.4. Свойства биинвариантных метрик. Кривизна				256
29.5. Алгебра Ли группы Ли				258
29.6. Пример Берже				262
§ 30. Римановы метрики на однородных пространствах				266
30.1. Однородные пространства				266
30.2. Примеры				268
30.3. Сдвиги				272
30.4. Инвариантные метрики				273
30.5. Римановы однородные пространства				274
30.6. Признаки существования инвариантных метрик				277
30.7. Кривизны римановых однородных пространств				279
30.8. Подъем метрики с однородного пространства на исходную группу				285
§ 31. Симметрические пространства				289
31.1. Симметрические пространства				289
31.2. Локально-симметрические многообразия				290
31.3. Трансвекции				293
31.4. Характеризация симметрических пространств среди однородных				295
§ 32. Путеводитель по литературе				300
32.1. Учебники и обзоры				300
32.2. Многообразия с кривизнами, не меняющими знака				300
32.3. Теоремы о конечности и коллапс				303
32.4. Пространства Александрова				303
Литература				305
Предметный указатель				311

Об авторах

Бураго Юрий Дмитриевич

Математик, специалист по дифференциальной геометрии и топологии. Доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, заведующий лабораторией геометрии и топологии Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Окончил Ленинградский университет; ученик выдающегося математика, академика А. Д. Александрова. В 2014 г. совместно с сыном Д. Ю. Бураго и С. В. Ивановым был удостоен премии Стила (ежегодно вручается Американским математическим обществом за выдающиеся исследования и работы в области математики) в номинации "За математическое изложение" за книгу "Курс метрической геометрии".

Залгаллер Виктор Абрамович

Математик-геометр. Доктор физико-математических наук, профессор математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Участник Великой Отечественной войны; в июле 1941 г. ушел добровольцем в народное ополчение и был в армии до конца 1945 г. Окончил Ленинградский университет; ученик академика А. Д. Александрова. Многое сделал для создания первой ленинградской физико-математической школы № 239, в которой преподавал в 1961–1962 гг. Вел математический кружок в Ленинградском дворце пионеров; в числе его учеников были Г. Я. Перельман и академик РАН Ю. Г. Решетняк. В 1948–1999 гг. — научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН.