Шамин Р.В. Концентрированный курс высшей математики.
Кн.1: Дифференциальное и интегральное исчисление. Числовые и функциональные ряды. Алгебра и геометрия. Кн.1. Изд. стереотип.

2025. 280 с.

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 1299 ₽ ››

Внимание: АКЦИЯ! Только по 10.10.26!

Аннотация

Учебник охватывает большое количество разделов высшей математики. Стиль изложения ориентирован на студентов, изучающих высшую математику впервые, поэтому многие понятия и доказательства разъясняются и подробно комментируются. При этом всем терминам даны строгие определения, а почти все теоремы снабжены полными доказательствами.

Курс включает в себя не только все основные темы высшей математики, но и более специальные разделы. Подбор тем обуславливался... (Подробнее)

Содержание

Содержание				7
Введение				12
Часть I Дифференциальное исчисление				15
Глава 1. Числа и множества				17
1. Множества				17
2. Вещественные числа				20
3. Верхние и нижние грани числовых множеств				21
Глава 2. Пределы последовательностей				23
1. Числовые последовательности и их пределы				23
2. Монотонные последовательности				27
3. Подпоследовательности				29
4. Критерий Коши				31
5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности				33
Глава 3. Пределы функции				35
1. Предел функции				35
2. Односторонние пределы				37
3. Бесконечно малые функции				39
4. Сравнение функций				39
Глава 4. Непрерывные функции				41
1. Непрерывность и разрывы				41
2. Свойства непрерывных функций				43
3. Точки разрыва				46
Глава 5. Производные и дифференцируемость				48
1. Производная				48
2. Дифференцируемость				51
3. Производная сложной функции				53
4. Производные высшего порядка				53
Глава 6. Дифференцируемые функции				55
1. Поведение функций				55
2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя				59
3. Формула Тейлора				61
4. Исследование на экстремум				63
Глава 7. Многомерный анализ				66
1. Многомерные пространства				66
2. Предел функции многих переменных				67
3. Непрерывность функций многих переменных				69
4. Частные производные				69
5. Дифференцируемость функций многих переменных				70
6. Градиент и производная по направлению				73
Часть II Интегральное исчисление				75
Глава 1. Неопределенный интеграл				77
1. Первообразная				77
2. Табличные интегралы				79
3. Приемы интегрирования				80
4. Интегрирование рациональных выражений				82
5. Интегрирование тригонометрических выражений				84
Глава 2. Определенный интеграл				85
1. Интегральные суммы и определенный интеграл				85
2. Суммы Дарбу				87
3. Классы интегрируемых функций				90
Глава 3. Свойства интеграла				92
1. Аддитивность интеграла Римана				92
2. Свойства интегрируемости				93
3. Неравенства				95
4. Теоремы о среднем				96
5. Формула Ньютона—Лейбница				98
Глава 4. Несобственные уравнения				102
1. Интегралы с бесконечными пределами				102
2. Интегралы от неограниченных функций				106
3. Интеграл в смысле главного значения				108
Глава 5. Кратные и криволинейные интегралы				110
1. Кратные интегралы				110
2. Криволинейные интегралы				114
3. Поверхностные интегралы				117
4. Теория поля				120
5. Формулы Грина и Стокса				124
Глава 6. Мера и интеграл Лебега				129
1. Интеграл Лебега				129
2. Мера множества и интеграл Лебега по мере				132
3. Нормированные пространства				147
4. Пространства Лебега				149
5. Теорема Фубини				153
Часть III Ряды				157
Глава 1. Числовые ряды				159
1. Определение ряда				159
2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов				162
3. Интегральный признак Коши				167
4. Знакопеременные ряды				169
5. Знакочередующиеся ряды				171
Глава 2. Функциональные ряды				173
1. Степенные ряды				173
2. Функциональные последовательности и ряды				176
3. Равномерная сходимость				179
4. Операции с функциональными рядами				181
Глава 3. Гильбертовы пространства и ряды Фурье				185
1. Скалярное произведение				185
2. Примеры гильбертовых пространств				188
3. Геометрия гильбертова пространства				191
4. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве				197
Часть IV Алгебра и геометрия				205
Глава 1. Теория матриц				207
1. Матрицы и операции над ними				207
2. Определители				210
3. Обратная матрицы				211
4. Ранг матрицы				213
Глава 2. Линейные пространства				215
1. Понятие линейного пространства				215
2. Размерность линейного пространства				217
3. Базис линейного пространства				218
Глава 3. Линейные операторы				222
1. Понятие линейного оператора				222
2. Обратный оператор				223
3. Матричная запись линейных операторов				225
4. Собственные значения и собственные вектора линейных операторов				227
Глава 4. Системы линейных уравнений				229
1. Операторная постановка задачи				229
2. Правило Крамера				230
3. Теорема Кронекера—Капелли				231
Глава 5. Аналитическая геометрия				233
1. Декартовы координаты				233
2. Векторная алгебра				234
3. Скалярное произведение				236
4. Кривые на плоскости				238
5. Уравнения прямой и плоскости				240
Глава 6. Общая алгебра				242
1. Алгебраические операции				242
2. Примеры полугрупп, групп				244
3. Кольца, тела, поля				248
4. Изоморфизмы алгебраических структур				251
Глава 7. Метрика и топология				254
1. Метрическое пространство				254
2. Открытые и замкнутые множества метрического пространства				257
3. Сходимость в метрическом пространстве				261
4. Полные метрические пространства				264
5. Принцип сжимающих отображений				266
6. Топологические пространства				269
Литература				274

Введение

В последнее время по многим специальностям в университетах читается курс под общим названием «Математика», который по идее должен включать все необходимые темы по высшей математики. С другой стороны, при постоянно сокращающемся объеме часов на математические дисциплины, возникает потребность в компактном и концентрированном учебнике по различным математическим дисциплинам.

Настоящий учебник написан для концентрированного обучения различным разделам высшей математики. Учебник выходит в двух частях.

Первая часть включает в себя следующие разделы высшей математики:

1. Дифференциальное исчисление

2. Интегральное исчисление

3. Ряды

Вторая часть учебника включает в себя разделы:

1. Алгебра и геометрия

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

3. Теория функций комплексного переменного

4. Теория вероятности и математическая статистика

5. Теория оптимизации

6. Дискретная математика

Стиль изложения ориентирован на учащихся, изучающих высшую математику впервые, поэтому многие понятия и доказательства разъясняются и подробно комментируются. Однако простое изложение не является упрощенчеством, поскольку всем терминам даны строгие определения, а почти все теоремы снабжены полными доказательствами. Лишь в отдельных дисциплинах некоторые теоремы даны без доказательства.

Курс включает в себя не только все основные темы высшей математики, но и более специальные разделы такие, как алгебраические структуры, топология, методы оптимизации, интеграл Лебега и гильбертовы пространства. Подбор тем обуславливался таким образом, чтобы дать учащемуся довольно объемный «джентльменский набор» в высшей математике.

Учебник написан на основании опыта преподавания автора в различных вузах: МИРЭА — Российском технологическом университете, Московском авиационном институте (МАИ), Российском университете дружбы народов (РУДН). Опыт показывает, что объем данного курса можно уместить в четыре семестра.

Мы рекомендуем этот учебник студентам различных специальностей от экономических до инженерных и математических, а также для самообразования. Кроме того, концентрированный курс будет полезен аспирантам для быстрого вспоминания или овладения нужными разделами математики на современном уровне.

Большая часть лекций, излагаемых в учебнике, доступна в виде видеолекций, читаемых автором. Эти лекции выложены на youtube канале и на сайте shamin.ru.

Об авторе

Шамин Роман Вячеславович

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой информационных технологий и математики в Университете Правительства Москвы, действительный член Академии военных наук. Окончил Московский авиационный институт, защитил кандидатскую диссертацию в МГУ имени М. В. Ломоносова по специальности «Дифференциальные уравнения». Работал доцентом в МАИ, старшим научным сотрудником Института океанологии имени П. П. Ширшова РАН, где защитил докторскую диссертацию, посвященную волнам-убийцам. Занимал должность заместителя директора Института морской геологии и геофизики Дальневосточного отделения РАН. Работал заведующим кафедрой «Математическое моделирование и информационные технологии» РУДН, директором Института перспективных технологий и индустриального программирования в РТУ МИРЭА.

Автор более 300 научных трудов, включая несколько монографий и учебников. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, функциональный анализ, волны-убийцы в океане, вычислительная математика, прикладная экономика, машинное обучение и искусственный интеллект.