Опойцев В.И. Школа Опойцева:
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. (ОДУ, операционное исчисление, устойчивость равновесия, теория регулирования,бифуркации и катастрофы, детерминированный хаос, аналитическая механика, методы полуупорядоченности, модели коллективного поведения)

Школа Опойцева: Обыкновенные дифференциальные уравнения 2018. 256 с.

Онлайн-книга

Аннотация

Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до объяснений «на пальцах». Значительное внимание уделяется мотивации результатов и укрупненному видению. Помимо обычной для дифференциальных уравнений тематики рассматриваются: бифуркации и катастрофы, аттракторы и детерминированный хаос. Излагается теория устойчивости, второй метод Ляпунова. Среди нововведений: ликбез по аналитической механике, начала теории регулирования, конусные методы,... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				9
Глава 1. Общая картина				10
1.1. Секрет естественного изучения				10
1.2. Понятия и термины				13
1.3. О важности люфтов				17
1.4. Элементы интегрирования				18
1.5. Об «аналитических» решениях				20
1.6. Явление колебаний				21
1.7. Существование решения				24
1.8. Нелокальная продолжимость				29
1.9. Зависимость от параметра				31
1.10. Вскользь о численных методах				33
1.11. Качественные вопросы				34
1.12. Движение по градиенту				36
1.13. Уравнения с частными производными				38
1.14. Сразу всем не угодишь				41
Глава 2. Линейная теория				45
2.1. Понятия и термины				45
2.2. Принципы суперпозиции				47
2.3. Фундаментальная система решений				48
2.4. Уравнение n-го порядка				51
2.5. Системы уравнений				53
2.6. Случай равных корней				54
2.7. Неоднородные уравнения				58
2.8. Матричная экспонента				59
2.9. Теорема Лиувилля				63
2.10. Неавтономные системы				65
2.11. Инструмент дельта-функций				67
2.12. Функция Грина и краевые задачи				71
2.13. Задача Штурма—Лиувилля				74
Глава 3. Операционное исчисление				76
3.1. Феномен переформатирования				76
3.2. Преобразование Лапласа				78
3.3. Соответствие операций				80
3.4. Преобразование Лапласа от δ(t)				84
3.5. Дифференциальные уравнения				85
Глава 4. Устойчивость равновесия				88
4.1. Устойчивость по Ляпунову				88
4.2. Асимптотическая устойчивость				91
4.3. Уравнение в вариациях				92
4.4. Устойчивость траекторий				93
4.5. Второй метод Ляпунова				95
4.6. Неустойчивость				98
4.7. Обратные теоремы				98
4.8. Гурвицевы полиномы и матрицы				99
4.9. Вычислительные аспекты				103
4.9.1. Феномен обусловленности				105
4.10. Устойчивость в целом				106
4.11. Диссипативные системы				108
4.12. О линейной неавтономной теории				109
Глава 5. Феномен колебаний				112
5.1. Гармонические колебания				112
5.2. Эфемерны или реальны гармоники?				115
5.3. Вынужденные колебания				116
5.4. Резонансные явления				119
5.5. Параметрический резонанс				123
5.6. Связанные системы				124
5.7. Автоколебания				127
5.8. Нелинейный маятник				130
5.9. Солитоны				132
Глава 6. Теория регулирования				136
6.1. Задачи и примеры				136
6.2. Передаточные функции				139
6.3. Соединения блоков				140
6.4. Всё ли так просто?				142
6.5. Частотные методы				144
6.6. Направление времени и причинность				146
6.7. Передаточная матрица				148
6.8. Устойчивость регулирования				150
6.9. Управляемость и наблюдаемость				152
6.9.1. Теоремы Калмана				154
6.9.2. Зачем это нужно				157
6.9.3. Роль инвариантных подпространств				158
Глава 7. Бифуркации и катастрофы				161
7.1. Пример Бореля				161
7.2. Бифуркации				163
7.3. Парадокс Циглера				165
7.4. Катастрофы				166
7.5. Грубость, или структурная устойчивость				168
7.6. Методы усреднения				170
Глава 8. Детерминированный хаос				176
8.1. Эргодичность и перемешивание				176
8.2. Ликвидация противоречий				179
8.3. Адиабатические процессы				181
8.4. Аттракторы и фракталы				184
8.5. Странный аттрактор Лоренца				187
8.6. Модели с дискретным временем				188
8.7. Загадочность циклов Γ3				192
Глава 9. Аналитическая механика				194
9.1. Обобщённые координаты и силы				194
9.2. Уравнения Лагранжа				198
9.3. Высший пилотаж Гамильтона				200
9.4. Вариационные принципы				201
9.5. Инварианты движения				202
9.6. Замечания				204
Глава 10. Методы полуупорядоченности				206
10.1. Загадка положительности				206
10.2. Полуупорядоченность и конусы				208
10.3. Специфика монотонности				209
10.4. Монотонность оператора сдвига				211
10.5. Гетеротонные отображения				215
10.6. Гетеротонная динамика				218
10.7. Супероднородные операторы				219
10.8. Матричный конус				222
Глава 11. Модели коллективного поведения				224
11.1. О чём речь				224
11.2. Равновесие по Нэшу				226
11.3. Неопределённая динамика				228
11.4. Системы ОМВ				230
11.5. Гомогенные системы				233
11.6. Случай дискретного времени				237
Глава 12. Справочная				238
12.1. Пространство n измерений				238
12.2. Линейные функции и матрицы				240
12.3. Прямоугольные матрицы				243
12.4. Квадратичные формы				244
12.5. Нормы в R^n				245
12.6. Функции и пространства				247
12.7. Принцип сжимающих отображений				247
Обозначения				248
Литература				250
Предметный указатель				252

Об авторе

Опойцев Валерий Иванович

Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».