| Оглавление | 5
|
| Предисловие | 9
|
| 1 Стартовая площадка | 10
|
| 1.1 Откуда берутся «всякие» числа | 11
|
| 1.2 Всё ли так просто | 12
|
| 1.3 Комплексные числа | 14
|
| 1.4 Об ощущении таинственности | 18
|
| 1.5 Комбинаторика | 20
|
| 1.6 Бином Ньютона | 22
|
| 1.7 Многочлены | 23
|
| 1.8 Теоретико-множественные операции | 25
|
| 2 Последовательности и пределы | 28
|
| 2.1 Сходимость и пределы | 28
|
| 2.2 Простейшие инструменты | 30
|
| 2.3 Как работает лемма Вейерштрасса | 32
|
| 2.4 Предел функции | 34
|
| 2.5 Непрерывные функции | 37
|
| 2.6 О теории вещественных чисел | 39
|
| 2.7 Надумана ли проблема и каковы блага | 42
|
| 2.8 Равномерная непрерывность | 44
|
| 2.9 Фундаментальные последовательности | 45
|
| 2.10 Числовые ряды | 46
|
| 3 Производная и дифференциал | 53
|
| 3.1 Производная | 53
|
| 3.2 Правила дифференцирования | 55
|
| 3.3 Дифференциалы | 57
|
| 3.4 Производные элементарных функций | 61
|
| 3.5 Тропа на вершину Тейлора | 66
|
| 3.6 Разложение Тейлора | 69
|
| 3.7 Контрпримеры и парадоксы | 71
|
| 4 Интеграл | 77
|
| 4.1 Первообразная | 77
|
| 4.2 Определённый интеграл | 79
|
| 4.3 Взаимосвязь интегралов | 81
|
| 4.4 Техника интегрирования | 83
|
| 4.5 Прикладные задачи | 87
|
| 4.6 Несобственные интегралы | 94
|
| 4.7 Дифференциальные уравнения | 100
|
| 5 Функции нескольких переменных | 107
|
| 5.1 В двух словах о векторах | 107
|
| 5.2 Предел и сходимость | 109
|
| 5.3 Непрерывность | 111
|
| 5.4 Частные производные | 112
|
| 5.5 Приращения и дифференциалы | 112
|
| 5.6 Производные и дифференциалы высших порядков | 114
|
| 5.7 Градиент | 115
|
| 5.8 О роли повторных пределов | 119
|
| 5.9 Интегралы, зависящие от параметра | 124
|
| 6 Отображения, или операторы | 127
|
| 6.1 Аргументы и функции как векторы | 127
|
| 6.2 Линейные отображения | 129
|
| 6.3 Обратимые преобразования | 132
|
| 6.4 Детерминанты, или определители | 134
|
| 6.5 Эквивалентные нормы | 135
|
| 6.6 Дифференцирование оператора | 138
|
| 6.7 Принцип сжимающих отображений | 139
|
| 6.8 Обратные и неявные функции | 140
|
| 7 Кратные интегралы | 143
|
| 7.1 Двойные интегралы | 143
|
| 7.2 Замена переменных | 146
|
| 7.3 Кратные интегралы | 148
|
| 7.4 Объёмы п-мерных тел | 148
|
| 7.5 Сюрпризы п измерений | 150
|
| 8 Векторный анализ | 152
|
| 8.1 Координаты и векторы | 152
|
| 8.2 Скалярное произведение | 157
|
| 8.3 Векторное произведение | 159
|
| 8.4 Приложения к механике | 162
|
| 8.5 Дивергенция | 165
|
| 8.6 Оператор Гамильтона | 169
|
| 8.7 Циркуляция | 170
|
| 9 Гладкая оптимизация | 175
|
| 9.1 Безусловный экстремум | 175
|
| 9.2 Достаточные условия | 177
|
| 9.3 Условный экстремум | 178
|
| 9.4 Общий случай | 182
|
| 9.5 Нелинейное программирование | 184
|
| 9.6 Интерпретация множителей Лагранжа | 186
|
| 9.7 Двойственные задачи | 187
|
| 10 Аналитические функции | 189
|
| 10.1 О роли комплексных чисел | 189
|
| 10.2 Дифференцируемость | 192
|
| 10.3 Примеры | 195
|
| 10.4 Простейшие свойства | 196
|
| 10.5 Контурные интегралы | 198
|
| 10.6 Интеграл Коши | 202
|
| 10.7 Регулярность | 204
|
| 10.8 Аналитическое продолжение | 207
|
| 10.9 Теорема Руше | 209
|
| 11 Функциональные ряды | 212
|
| 11.1 Равномерная сходимость | 213
|
| 11.2 Степенные ряды | 214
|
| 11.3 Ортогональные разложения | 216
|
| 11.4 Механизм производящих функций | 219
|
| 11.5 Ряды Фурье | 220
|
| 11.6 Интеграл Фурье | 223
|
| 11.7 Преобразование Лапласа | 225
|
| 11.8 Дельта-функция | 229
|
| 12 Неподвижные точки | 233
|
| 12.1 Проблемы существования решения | 233
|
| 12.2 Вращение векторного поля | 236
|
| 12.3 Гомотопия векторных полей | 239
|
| 12.4 Ядро теории | 242
|
| 12.5 Теоремы существования | 245
|
| 12.6 О теореме Брауэра | 247
|
| 12.7 Р-отображения | 248
|
| 12.8 Алгебраическое число нулей | 249
|
| 12.9 Индексы на бесконечности | 250
|
| 12.10Накрытия и гомеоморфизмы | 251
|
| 12.11 Параметрические уравнения | 253
|
| 13 Проблемы обучения | 255
|
| 13.1 Кто мы есть и как мы учимся | 256
|
| 13.2 О взаимодействии с подсознанием | 259
|
| 13.3 Гипнотический вирус, будь он неладен | 260
|
| Обозначения | 263
|
| Литература | 264
|
| Предметный указатель | 266
|
Опойцев Валерий Иванович Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».
Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.
Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».
За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.
Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.
Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».
