| Предисловие | 8
|
| Часть I АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | 11
|
| Глава 1. Векторная алгебра в R^3 | 11
|
| 1.1. Векторы и декартовы координаты | 11
|
| 1.2. Ориентация пространства | 15
|
| 1.3. Скалярное произведение | 16
|
| 1.4. Векторное произведение | 20
|
| 1.5. Смешанное произведение | 23
|
| 1.6. Двойное векторное произведение | 25
|
| 1.7. Определители, или детерминанты | 25
|
| 1.8. Матрицы и преобразования | 26
|
| Глава 2. Прямые и плоскости | 29
|
| 2.1. Уравнения плоскости в R^3 | 30
|
| 2.2. Параметрическое описание | 31
|
| 2.3. Прямые и отрезки в R^3 | 32
|
| 2.4. Прямые в R^3 | 35
|
| 2.5. Базовые задачи | 36
|
| 2.6. Пересечение трех плоскостей | 38
|
| 2.7. Принцип суперпозиции | 41
|
| 2.8. Переход к другим координатам | 43
|
| 2.9. Касательная плоскость | 45
|
| 2.10. Кривые второго порядка | 46
|
| 2.11. Задачи и упражнения | 49
|
| Часть II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА | 53
|
| Глава 3. Векторы и матрицы | 53
|
| 3.1. Векторы и n-мерное пространство | 53
|
| 3.2. Матрицы как линейные отображения | 58
|
| 3.3. Прямоугольные и клеточные матрицы | 63
|
| 3.4. Примеры и разновидности | 65
|
| 3.5. Системы уравнений и метод Гаусса | 65
|
| 3.6. Элементарные преобразования | 67
|
| 3.7. Существование обратной матрицы | 69
|
| 3.8. Понятие ранга | 70
|
| Глава 4. Детерминанты и уравнения | 73
|
| 4.1. Понятие определителя | 73
|
| 4.2. Ориентированный объем | 74
|
| 4.3. Коэффициент искажения объема | 77
|
| 4.4. Системы уравнений | 79
|
| Глава 5. Линейные пространства и операторы | 83
|
| 5.1. Абстрактный подход | 83
|
| 5.2. Замена координат | 87
|
| 5.3. Замена базиса | 88
|
| 5.4. Собственные значения | 89
|
| 5.5. О роли инвариантных подпространств | 92
|
| 5.6. Приложение к линейным дифурам | 93
|
| 5.7. Комплексификация пространства | 95
|
| 5.8. Кратность собственных значений | 97
|
| 5.9. Евклидовы пространства | 100
|
| 5.10. Задачи и дополнения | 102
|
| Глава 6. Квадратичные формы | 104
|
| 6.1. Квадратичные функции и задачи | 104
|
| 6.2. Замена координат | 106
|
| 6.3. Ортогональные матрицы | 107
|
| 6.4. Симметрические матрицы | 108
|
| 6.5. Унитарные и эрмитовы матрицы | 111
|
| 6.6. Положительная определенность | 112
|
| 6.7. Критерий Сильвестра | 115
|
| 6.8. Приведение двух форм | 116
|
| 6.9. Инерция и сигнатура | 118
|
| Глава 7. Триангуляция Шура и жордановы формы | 120
|
| 7.1. Ортогонализация Грама—Шмидта | 120
|
| 7.2. Триангуляция матриц | 122
|
| 7.3. Как это работает на практике | 123
|
| 7.4. Жордановы формы | 125
|
| 7.5. Аннулирующий многочлен | 129
|
| 7.6. Теорема Гамильтона—Кэли | 131
|
| 7.7. Корневые подпространства | 133
|
| 7.8. Циклические подпространства | 133
|
| 7.9. Что в итоге | 137
|
| 7.10. О строгих и полных изложениях | 140
|
| 7.11. Примеры | 141
|
| 7.12. Задачи и дополнения | 143
|
| Глава 8. Функции от матриц | 147
|
| 8.1. Нормы векторов, n × 1-матриц | 147
|
| 8.2. Эквивалентность норм | 149
|
| 8.3. Норма матрицы | 149
|
| 8.4. Спектральный радиус | 152
|
| 8.5. Сходимость итераций | 154
|
| 8.6. Матричные ряды | 155
|
| 8.7. Аппаратные формальности | 157
|
| 8.8. Матричная экспонента | 158
|
| 8.9. Конечные алгоритмы | 161
|
| 8.10. Задачи и дополнения | 164
|
| Глава 9. Матричные уравнения | 166
|
| 9.1. Прикладные истоки | 166
|
| 9.2. Кронекерово произведение | 168
|
| 9.3. Кронекеровы эквиваленты матричных уравнений | 170
|
| Часть III ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА – дополнения | 175
|
| Глава 10. Анатомия матриц | 175
|
| 10.1. Условный экстремум | 175
|
| 10.2. Сингулярные числа | 176
|
| 10.3. Биортогональные базисы | 177
|
| 10.4. Сопряженное пространство | 180
|
| 10.5. Сопряженный оператор | 183
|
| 10.6. Двойственность | 184
|
| 10.7. Преобразования и тензоры | 184
|
| Глава 11. Неравенства | 187
|
| 11.1. Теоремы об альтернативах | 187
|
| 11.2. Выпуклые множества и конусы | 189
|
| 11.3. Теоремы о пересечениях | 193
|
| 11.4. P -матрицы | 195
|
| 11.5. Задачи и дополнения | 197
|
| Глава 12. Линейное программирование | 199
|
| 12.1. Задача ЛП | 199
|
| 12.2. Геометрическая интерпретация | 202
|
| 12.3. Двойственность линейных задач | 204
|
| Глава 13. Положительные матрицы | 208
|
| 13.1. Полуупорядоченность и монотонность | 208
|
| 13.2. Теорема Перрона | 210
|
| 13.3. Неразложимость | 215
|
| 13.4. Положительная обратимость | 217
|
| 13.5. Оператор сдвига и устойчивость | 219
|
| 13.6. Импримитивность | 223
|
| 13.7. Конус матриц | 225
|
| 13.8. Задачи и дополнения | 227
|
| Глава 14. Численные методы | 228
|
| 14.1. Предмет изучения | 228
|
| 14.2. Ошибки счета и обусловленность | 231
|
| 14.3. Оценки сверху и по вероятности | 234
|
| 14.4. Возмущения спектра | 235
|
| 14.5. Итерационные методы | 238
|
| Обозначения | 242
|
| Литература | 245
|
| Предметный указатель | 247
|
Опойцев Валерий Иванович Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».
Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.
Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».
За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.
Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.
Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».
