|
Оглавление
Предисловие к русскому изданию
Мне очень приятно, что благодаря усилиям И.И.Пятецкого-Шапиро, Л.Н.Вассерштейна и А.Н.Паршина моя книга станет более доступной советским читателям. В предисловии к английскому изданию я охарактеризовал общие цели этой книги. Но, возможно, будет не лишним добавить здесь несколько слов о ее названии. Во-первых, это книга по теории чисел. Мне кажется, возникла определенная путаница из-за того, что, с начала этого века, слова "аналитическая теория чисел" стали применять к области математики, ценность и важность которой не подлежит никакому сомнению и которая представлена блестящими работами некоторых из наиболее выдающихся современных математиков, но которая, по моему мнению, вовсе не является теорией чисел. Ее технический аппарат и основные методы – это типичные методы аналитиков: неравенства, оценки, порядки величин. Уже давно (после основополагающих работ Хинчина и Колмогорова) стало ясно, что теория вероятностей – это прикладной анализ, другими словами, анализ, применяемый к некоторым вполне определенным типам задач. В точности то же самое можно сказать об "аналитической теории чисел", и я думаю, что если бы такое понимание распространилось более широко, то это способствовало бы уяснению наших взглядов на математику. Во-вторых, я преднамеренно использовал в названии слово "основы", которое звучит несколько вызывающе и, как я и ожидал, вызвало ряд замечаний. Я хотел подчеркнуть этим словом, что это не просто учебник для будущих теоретико-числовиков. Было время, когда теория Галуа рассматривалась как вещь трудная и абстрактная, предназначенная лишь для специалистов. Более того, я знавал некоторых превосходных математиков моего поколения, которые открыто признавались в своем совершенном невежестве в теории Галуа и, кажется, даже гордились этим. Теперь все хорошо понимают, что это – один из "основных" разделов, с которым каждый серьезный студент-математик должен познакомиться в первые же годы обучения. На мой взгляд, то же самое относится и к элементарной теории алгебраических числовых полей, до теории полей классов включительно, и я надеюсь, что эта книга будет способствовать тому, чтобы в конечном счете так оно и было. Я буду счастлив, если настоящий перевод поможет в этом отношении новому поколению советских математиков. Андрэ Вейль
Предисловие
Первая часть этой книги основана на курсе лекций, читанных в 1961–1962 г. в Принстонском университете. Эти лекции были превосходно записаны Дэвидом Кантором, и моим первоначальным намерением было сделать их доступными для широкой математической публики, после внесения лишь самых незначительных изменений. Затем однако я случайно нашел среди своих старых бумаг давно забытую рукопись Шевалле, еще довоенных времен (забытую, к слову сказать, как мною, так и ее автором), которая несмотря на свой возраст выглядела совсем неплохо, по крайней мере на мой вкус. Она содержала краткое, но по существу полное изложение основных разделов теории полей классов, как локальной, так и глобальной, и не подлежало сомнению, что предполагавшаяся книга стала бы намного полезнее, если бы я включил в нее такую трактовку этих вопросов. Рукопись пришлось несколько дополнить в соответствии с моими планами, но основная канва ее сохранилась без существенных изменений. А в ряде узловых мест я следовал ей совсем близко. Было бы тщетной, безнадежной попыткой улучшить после Гекке изложение классических аспектов теории алгебраических чисел. Как станет ясным из первых страниц книги, я попытался сделать выводы из достижений последних тридцати лет, когда локально компактные группы, меры и интегрирование стали играть все возрастающую роль в классической теории чисел. Во времена Дирихле, Эрмита и даже Минковского использование непрерывных переменных в арифметических вопросах можно было рассматривать лишь как ловкий трюк. Теперь же, ретроспективно, мы видим, что вещественные числа естественно появляются на сцене как одно из бесконечного числа пополнений простого поля, ничуть не менее интересное арифметикам, чем его p-адические напарники. И существуют по меньшей мере один язык и одна техника, а именно техника аделей, позволяющие собрать их под одной крышей и заставить действовать сообща. Здесь не место входить в историю этого вопроса; достаточно упомянуть такие имена, как Гензель, Хассе, Шевалле, Артин, а ближе к нашему времени Ивасава, Тэйт и Тамагава. Каждый из них сделал значительные шаги на этом пути. Само собой разумеется, что, стоит лишь перестать считать недопустимым включение в арифметическое варево такого ингредиента, как вещественное поле, пусть на бесконечно большом расстоянии, – и сразу появляется возможность рассматривать функциональные поля над конечными полями и числовые поля одновременно, а не обособленно или в лучшем случае порознь, но общими методами, как это делалось до сих пор. Я надеюсь, что в этой книге мне удалось убедительно показать, что при подобной трактовке обе теории ничего не теряют и много выигрывают. Мне неоднократно указывали, что многие важные факты и содержательные результаты, касающиеся локальных полей, могут быть доказаны чисто алгебраическими средствами без использования локальной компактности и потому сохраняют силу при значительно более общих предположениях. Но, быть может, мне позволительно думать, что я ничего не знаю об этом обстоятельстве, равно как и о возможности аналогичного обобщения даже таких глобальных результатов, как теорема Римана – Роха? Мы имеем здесь дело с математикой, а не с теологией. Пусть другие математики думают, что им доступно проникновение в мысли Бога об их любимом предмете; мне это всегда казалось пустым и бессмысленным занятием. Мои намерения в этой книге скромнее. Я пытался показать, что с принятой мной точки зрения можно дать связное изложение затронутых выше вопросов, удовлетворительное как логически, так и эстетически. Мои усилия были бы вполне вознаграждены, если это хотя бы в какой-нибудь степени удалось. Возможно, некоторые из читателей удивятся, не найдя в моем изложении теории полей классов никакого явного упоминания когомологий. В этом смысле мой подход к теории чисел, будучи "современным" в первой части книги, является в то же время сугубо "несовременным" во второй. Искушенный читатель, конечно, поймет, что все когомологий фактически запрятаны в теорию простых алгебр, и притом ровно в том количестве, в каком это нужно для теории полей классов. Для знающих язык когомологий Галуа будет легким и не бесполезным упражнением перевести на него некоторые определения и результаты глав IX, XII и XIII. В одном или двух местах (из которых наиболее бросающееся в глаза – "теорема о переносе" из § 5 главы XII) это, пожалуй, даже привело бы к более удовлетворительным доказательствам, чем наши. Однако развивать такой подход систематически означало бы нагружать балластом излишней техники корабль, хорошо оснащенный для нашего ограниченного плавания. Вместо того чтобы улучшить его мореходные качества, это могло бы потопить его. Прокладывая курс своего корабля, я старался избегать арифметической теории алгебраических групп; это весьма интересный предмет, но он, очевидно, не созрел еще для изложения в книге. Отчасти по этой причине я отказался от всякого обсуждения дзета-функций простых алгебр, более развернутого, чем это нужно для теории полей классов. Исключены также неабелевы L-функции Артина; однако прочитав эту книгу, читатель будет вполне подготовлен к изучению прекрасных работ Артина на эту тему, при условии, что он знает к тому же теорию представлений конечных групп. Мне остается исполнить приятный долг и выразить благодарность Дэвиду Кантору, который приготовил записи моих лекций в Принстонском университете, вошедшие в книгу как главы I – VII (во многих местах совершенно без изменений), и Шевалле, который великодушно позволил мне использовать упомянутую выше рукопись и написать на ее основе главы XII и XIII. Я благодарен также Ивасаве и Лазару, прочитавшим книгу в рукописи и предложившим много улучшений; X. Погожельскому за помощь в чтении корректур; Б.Экману за интерес, проявленный им к опубликованию книги, и сотрудникам издательства Шпрингер и типографии Цехнера за их квалифицированное сотрудничество и неоценимую помощь в деле издания этой книги. Андрэ Вейль
Принстон, май 1967 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||