Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики Изд. 7

2026. 800 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Твердый переплет
Твердый переплет 4 варианта от 1299 ₽ ››

Аннотация

В книге рассматриваются задачи математической физики, которые приводят к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основанным типам уравнений.

Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке условий, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации результатов.... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к шестому изданию				10
Предисловие к шестому изданию				10
Глава 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными				17
§ 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка				17
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными				17
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными				24
3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами				26
Задачи к главе 1				28
Глава 2. Уравнения гиперболического типа				30
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач				30
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны				30
2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн				34
3. Энергия колебаний струны				35
4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах				37
5. Поперечные колебания мембраны				38
6. Уравнения гидродинамики и акустики				41
7. Граничные и начальные условия				45
8. Редукция общей задачи				50
9. Постановка краевых задач для случая многих переменных				52
10. Теорема единственности				52
Задачи				56
§ 2. Метод распространяющихся волн				57
1. Формула Даламбера				57
2. Физическая интерпретация				59
3. Примеры				61
4. Неоднородное уравнение				65
5. Устойчивость решений				67
6. Полуограниченная прямая и метод продолжений				71
7. Задачи для ограниченного отрезка				78
8. Дисперсия волн				81
9. Интегральное уравнение колебаний				83
10. Распространение разрывов вдоль характеристик				87
Задачи				88
§ 3. Метод разделения переменных				92
1. Уравнение свободных колебаний струны				92
2. Интерпретация решения				97
3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн				100
4. Неоднородные уравнения				105
5. Общая первая краевая задача				111
6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями				112
7. Задачи без начальных условий				115
8. Сосредоточенная сила				119
9. Общая схема метода разделения переменных				122
Задачи				128
§ 4. Задача с данными на характеристиках				131
1. Постановка задачи				131
2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса				132
Задачи				137
§ 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа				138
1. Сопряженные дифференциальные операторы				138
2. Интегральная форма решения				139
3. Физическая интерпретация функции Римана				142
4. Уравнения с постоянными коэффициентами				145
Задачи к главе 2				149
Приложения к главе 2				150
I. О колебании струн музыкальных инструментов				150
II. О колебании стержней				153
III. Колебания нагруженной струны				158
1. Постановка задачи				158
2. Собственные колебания нагруженной струны				159
3. Струна с грузом на конце				163
4. Поправки для собственных значений				164
IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн				165
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии				158
2. Ударные волны. Условия динамической совместности				159
3. Слабые разрывы				163
V. Динамика сорбции газов				176
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа				158
2. Асимптотическое решение				159
VI. Физические аналогии				187
Глава 3. Уравнения параболического типа				191
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач				191
1. Линейная задача о распространении тепла				191
2. Уравнение диффузии				195
3. Распространение тепла в пространстве				196
4. Постановка краевых задач				199
5. Принцип максимального значения				205
6. Теорема единственности				208
7. Теорема единственности для бесконечной прямой				210
§ 2. Метод разделения переменных				212
1. Однородная краевая задача				212
2. Функция источника				215
3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями				217
4. Неоднородное уравнение теплопроводности				224
5. Общая первая краевая задача				228
Задачи				229
§ 3. Задачи на бесконечной прямой				231
1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области				231
2. Краевые задачи для полуограниченной прямой				245
§ 4. Задачи без начальных условий				253
Задачи к главе 3				256
Приложения к главе 3				258
I. Температурные волны				258
II. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры				262
III. Метод подобия в теории теплопроводости				267
1. Функция источника для бесконечной прямой				267
2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности				269
3. Режимы с обострением. Эффект локализации тепла				276
IV. Задача о фазовом переходе				279
V. Уравнение Эйнштейна—Колмогорова				284
VI. delta-функция				287
1. Определение delta-функции				267
2. Разложение delta-функции в ряд Фурье				269
3. Применение delta-функции к построению функции источника				276
Глава 4. Уравнения эллиптического типа				296
§ 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа				296
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач				296
2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля				297
3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат				299
4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа				303
5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного				304
6. Преобразование обратных радиус-векторов				306
§ 2. Общие свойства гармонических функций				308
1. Формулы Грина. Интегральное представление решения				308
2. Некоторые основные свойства гармонических функций				314
3. Единственность и устойчивость решения первой внутренней краевой задачи				318
4. Задачи с разрывными граничными условиями				319
5. Изолированные особые точки				320
6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности				322
7. Внешние краевые задачи. Единственность решения двух- и трехмерных задач				323
8. Вторая краевая задача. Теорема единственности				326
§ 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных				329
1. Первая краевая задача для круга				329
2. Интеграл Пуассона				334
3. Случай разрывных граничных значений				337
§ 4. Функция источника				338
1. Функция источника для уравнения u=0 и ее основные свойства				339
2. Метод электростатических изображений и функции источника для сферы				343
3. Функция источника для круга				346
4. Функция источника для полупространства				347
§ 5. Теория потенциала				349
1. Объемный потенциал				349
2. Плоская задача. Логарифмический потенциал				351
3. Несобственные интегралы				353
4. Первые производные объемного потенциала				360
5. Вторые производные объемного потенциала				363
6. Поверхностные потенциалы				366
7. Поверхности и кривые Ляпунова				370
8. Разрыв потенциала двойного слоя				373
9. Свойства потенциала простого слоя				376
10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач				379
11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам				384
Задачи к главе 4				389
Приложения к главе 4				391
I. Асимптотическое выражение объемного потенциала				391
II. Задачи электростатики				394
III. Основная задача электроразведки				399
IV. Определение векторных полей				406
V. Применение метода конформного преобразования в электростатике				409
VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике				413
VII. Бигармоническое уравнение				419
1. Единственность решения				420
2. Представление бигармонических функций через гармонические функции				421
3. Решение бигармонического уравнения для круга				423
Глава 5. Распространение волн в пространстве				424
§ 1. Задача с начальными условиями				424
1. Уравнение колебаний в пространстве				424
2. Метод усреднения				426
3. Формула Пуассона				427
4. Метод спуска				429
5. Физическая интерпретация				431
6. Метод отражения				433
§ 2. Интегральная формула				434
1. Вывод интегральной формулы				434
2. Следствия из интегральной формулы				438
§ 3. Колебания ограниченных объемов				440
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны				440
2. Колебания прямоугольной мембраны				447
3. Колебания круглой мембраны				450
Задачи к главе 5				457
Приложения к главе 5				458
I. Приведение уравнений теории упругости к уравнениям колебаний				458
II. Уравнения электромагнитного поля				461
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия				461
2. Потенциалы электромагнитного поля				465
3. Электромагнитное поле осциллятора				467
Глава 6. Распространение тепла в пространстве				473
§ 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве				473
1. Функция температурного влияния				473
2. Распространение тепла в неограниченном пространстве				477
§ 2. Распространение тепла в ограниченных телах				481
1. Схема метода разделения перменных				481
2. Остывание круглого цилиндра				485
3. Определение критических размеров				487
§ 3. Краевые задачи для областей с подвижными границами				489
1. Формула Грина для уравнения теплопроводности и функция источника				489
2. Решение краевой задачи				493
3. Функция источника для отрезка				495
§ 4. Тепловые потенциалы				497
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя				497
2. Решение краевых задач				500
3. Условия локализации граничных режимов с обострением				501
Задачи к главе 6				504
Приложения к главе 6				505
I. Диффузия облака				505
II. О размагничивании цилиндра с обмоткой				508
Глава 7. Уравнения эллиптического типа (продолжение)				513
§ 1. Основные задачи, приводящие к уравнению v + cv = 0				513
1. Установившиеся колебания				513
2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях				514
3. Диффузия в движущейся среде				514
4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения v + c v = 0				515
§ 2. Функции влияния точечных источников				517
1. Функции влияния точечных источников				517
2. Интегральное представление решения				519
3. Потенциалы				522
§ 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения				525
1. Уравнение v+c v=-f в неограниченном пространстве				525
2. Принцип предельного поглощения				526
3. Принцип предельной амплитуды				528
4. Условия излучения				529
§ 4. Задачи математической теории дифракции				535
1. Постановка задачи				535
2. Единственность решения задачи дифракции				536
3. Дифракция на сфере				539
Задачи к главе 7				546
Приложения к главе 7				548
I. Волны в цилиндрических трубах				548
II. Электромагнитные колебания в полых резонаторах				558
1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора				558
2. Электромагнитная энергия собственных колебаний				563
3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе				565
III. Скин-эффект				567
IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли				572
Дополнение 1. Метод конечных разностей				577
§ 1. Основные понятия				577
1. Сетки и сеточные функции				578
2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов				578
3. Разностная задача				585
4. Устойчивость				586
§ 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности				590
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами				590
2. Погрешность аппроксимации				591
3. Энергетическое тождество				593
4. Устойчивость				597
5. Сходимость и точность				601
6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами				602
7. Метод баланса. Консервативные схемы				602
8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами				606
9. Трехслойные схемы				613
10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки				615
11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений				617
§ 3. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле				620
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа				620
2. Принцип максимума				625
3. Оценка решения неоднородного уравнения				627
4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле				629
§ 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными переменными				631
1. Многомерные схемы				631
2. Экономичные схемы				633
§ 5. Итерационные методы решения сеточных уравнений				642
1. Модельная задача				642
2. Итерационные методы линейной алгебры				643
3. Выбор итерационных параметров				644
4. Итерационные методы вариационного типа				646
5. Диагональный оператор B				648
6. Попеременно-треугольный итерационный метод				649
Дополнение 2. Специальные функции				653
1. Введение				653
2. Общее уравнение теории специальных функций				655
3. Поведение решений в окрестности x=a, если k(a)=0				656
4. Постановка краевых задач				658
§ I. Цилиндрические функции				661
1. Цилиндрические функции				661
1. Степенные ряды				662
2. Рекуррентные формулы				666
3. Функции полуцелого порядка				667
4. Асимптотический порядок цилиндрических функций				668
2. Краевые задачи для уравнения Бесселя				671
3. Различные типы цилиндрических функций				674
1. Функции Ханкеля				674
2. Функции Ханкеля и Неймана				676
3. Функции мнимого аргумента				678
4. Функция K0(x)				680
4. Представление цилиндрических функций в виде контурных интегралов				684
1. Контурные интегралы				684
2. Функции Ханкеля				686
3. Некоторые свойства гамма-функции				687
4. Интегральное представление функции Бесселя				690
5. Интегральное представление K(x)				691
6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций				693
5. Интеграл Фурье — Бесселя и некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя				695
1. Интеграл Фурье — Бесселя				695
2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя				697
§ II. Сферические функции				701
1. Полиномы Лежандра				701
1. Производящая функция и полиномы Лежандра				701
2. Рекуррентные формулы				703
3. Уравнение Лежандра				704
4. Ортогональность полиномов Лежандра				704
5. Норма полиномов Лежандра				706
6. Нули полиномов Лежандра				706
7. Ограниченность полиномов Лежандра				707
2. Присоединенные функции Лежандра				707
1. Присоединенные функции				707
2. Норма присоединенных функций				708
3. Полнота системы присоединенных функций				709
3. Гармонические полиномы и сферические функции				712
1. Гармонические полиномы				712
2. Сферические функции				713
3. Ортогональность системы сферических функций				716
4. Замкнутость системы сферических функций				719
5. Разложение по сферическим функциям				720
4. Некоторые примеры применения сферических функций				724
1. Задача Дирихле для сферы				724
2. Проводящая сфера в поле точечного заряда				725
3. Поляризация шара в однородном поле				726
4. Собственные колебания сферы				728
5. Внешняя краевая задача для сферы				731
§ III. Полиномы Чебышёва—Эрмита и Чебышёва—Лагерра				733
1. Полиномы Чебышёва—Эрмита				733
1. Дифференциальная формула				733
2. Рекуррентные формулы				734
3. Уравнение Чебышёва—Эрмита				734
4. Норма полиномов Hn(x)				735
5. Функции Чебышёва—Эрмита				736
2. Полиномы Чебышёва—Лагерра				736
1. Дифференциальная формула				736
2. Рекуррентные формулы				737
3. Уравнение Чебышёва—Лагерра				738
4. Ортогональность и норма полиномов Чебышёва—Лагерра				738
5. Обобщенные полиномы Чебышёва—Лагерра				739
3. Простейшие задачи для уравнения Шрёдингера				741
1. Уравнение Шрёдингера				741
2. Гармонический осциллятор				742
3. Ротатор				743
4. Движение электрона в кулоновом поле				745
§ IV. Формулы, таблицы и графики				749
Дополнение 3. Обобщенные решения краевых задач				769
§ 1. Некоторые понятия функционального анализа				769
1. Вспомогательные сведения об интеграле Лебега, обобщенной частной производной и некоторых функциональных пространствах				769
2. Функциональные пространства				773
§ 2. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона				774
1. Определение обобщенного решения задачи Дирихле				774
2. Два основных неравенства				777
3. Единственность и существование обобщенного решения задачи Дирихле				779
Дополнительная литература				783
Предметный указатель				784

Об авторах

Тихонов Андрей Николаевич

Академик АН СССР (1966). Доктор физико-математических наук, профессор (1936), участник работы над атомным проектом СССР. В 1948 г. под его руководством были успешно проведены расчеты процесса атомного взрыва; руководимый им коллектив также осуществил решение задачи динамики взрыва термоядерной бомбы. За свои научные достижения был награжден шестью орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, тремя орденами Трудового Красного Знамени, медалями. Лауреат Ленинской, Сталинской премии 1-й степени, Государственной премии СССР, премии Совета Министров СССР, премии имени M. B. Ломоносова 1-й степени. Награжден золотой медалью имени М. В. Келдыша АН СССР, золотыми медалями ВДНХ СССР.

Работа над проблемами поиска полезных ископаемых, начавшаяся в период Великой Отечественной войны, привела А. Н. Тихонова к концепции обратных и некорректных задач, к разработке методов регуляризации и тем самым к созданию крупного научного направления, получившего мировое признание. Это научное направление ученый развивал на протяжении всей жизни. А. Н. Тихонов — автор более 800 научных работ, автор и редактор свыше 30 монографий и учебников.

Самарский Александр Андреевич

Выдающийся советский и российский ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Академик АН СССР и РАН, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской, Государственных (СССР, РФ) и Ломоносовской премий. Награжден тремя орденами Ленина, орденами Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, Дружбы народов, Отечественной войны I степени, Славы III степени, а также многими медалями, включая «За оборону Москвы», «За победу над Германией», «Народное ополчение Москвы».

Заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова и МФТИ, организатор, директор и научный руководитель Института математического моделирования РАН, основатель и заведующий кафедрой вычислительных методов и двух лабораторий факультета ВМК МГУ, организатор и заведующий кафедрой математического моделирования МФТИ, организатор и главный редактор журнала «Математическое моделирование», член редколлегий ведущих научных журналов.

Опубликовал свыше 500 научных работ, включая более 30 монографий и учебных пособий. Среди его учеников — более 40 докторов и 100 кандидатов наук, 3 академика, 5 членов-корреспондентов РАН, а также члены зарубежных академий наук. Знаменитая триада Самарского «Модель – Алгоритм – Программа» во многом созвучна его личной триаде: «Солдат – Ученый – Учитель». Его научные труды и методологические подходы заложили основу современной вычислительной математики и продолжают оказывать влияние на развитие науки во всем мире.