Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика.
Том 6: Вариационное исчисление, линейное программирование, вычислительная математика, теория сплайнов. Т.6. Изд. 3

2017. 256 с. Увеличенный формат (170мм x 240мм).

Онлайн-книга

Аннотация

Вниманию читателей предлагается учебник по высшей математике, который охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое. Отбор материала и способы его изложения строились авторами так, чтобы у читателя постепенно складывалось цельное представление об основных математических идеях и методах, и вместе с тем так, чтобы вложить в руки пользователя простой, но эффективный... (Подробнее)

Оглавление

Оглавление				3
От авторов				3
Вариационное исчисление. Необходимые условия				4
Глава ХLIХ Экстремумы функционалов				5
§ 1. Некоторые сведения и понятия из функционального анализа				5
1.1. Функциональные пространства				5
1.2. Функционалы				6
1.3. Экстремумы функционалов				8
§2. Необходимые условия экстремума				8
2.1. Вариации функционалов				9
2.2. Теорема Ферма				11
2.3. Старшие вариации и условия старших порядков				11
Упражнения				13
Ответы				16
Глава L Простейшая задача классического вариационного исчисления				17
§ 1. Лемма Лагранжа и уравнение Эйлера				17
§ 2. Интегрирование уравнения Эйлера				19
§3. Примеры				21
§ 4. Задача Больца. Условия трансверсальности				22
§ 5. Простейшая задача классического вариационного исчисления. Необходимое условие Лежандра				24
Упражнения				25
Ответы				27
Глава LI Экстремальные задачи с ограничениями. Принцип Лагранжа				28
§ 1. Принцип Лагранжа для задач с ограничениями-равенствами				28
§ 2. Ограничения-равенства в задаче Больца. Классическая изопериметрическая задача				31
§ 3. Необходимые условия экстремума в задаче со свободно скользящими концами				33
Упражнения				35
Ответы				36
Глава LII Векторные экстремальные задачи				37
§ 1. Простейшая векторная задача с закрепленными концами				37
§ 2. Векторная задача с подвижными концами				40
§3. Задача Лагранжа: дифференциальные и фазовые ограничения				42
3.1. Пример — задача Чаплыгина				44
3.2. Пример — задача о брахистохроне				46
Упражнения				49
Ответы				51
Глава LIII Функционалы от функций нескольких переменных				53
§ 1. Обозначения и допущения				53
§ 2. Простейшая задача для функционалов от функций нескольких переменных				55
§ 3. Условие трансверсальности для функционалов, зависящих от функций нескольких переменных				57
Упражнения				57
Ответы				58
Глава LIV Необходимые условия сильного экстремума				59
§ 1. Условие Вейерштрасса в простейшей задаче				60
§ 2. Расширение простейшей задачи. Условия Вейерштрасса—Эрдмана				62
Упражнения				65
Ответы				66
Линейное программирование				67
Глава LV Элементы линейного программирования				68
§1. Постановка задачи				68
§2. Геометрия множества ограничений. Терминология				69
§3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования				74
3.1. Процедура перебора крайних точек множества ограничений				74
3.2. Пересчет значений минимизируемой функции				76
3.3. Последовательность вычислений. Симплекс-таблицы				77
Вычислительная математика				84
Глава LVI Погрешности вычислений				85
§ 1. Погрешности				85
§2. Эволюция погрешностей в процессе вычислений				87
§3. Законы больших чисел и вероятностная оценка суммарной погрешности				90
§4. Источники погрешностей				91
Глава LVII Линейные уравнения				96
§ 1. Линейные уравнения — основные сведения				96
§2. Линейные уравнения — метод исключения				98
2.1. Трехдиагональные матрицы — метод прогонки				100
§3. Линейные уравнения — итерационные методы				101
3.1. Метод простой итерации для линейных систем				102
3.2. Метод Зейделя для линейных систем				104
§4. Точность численного решения систем линейных уравнений				105
4.1. Выбор главного элемента				105
4.2. Возмущения правой части. Обусловленность матрицы				107
Глава LVIII Нелинейные уравнения и системы				108
§ 1. Нелинейные уравнения. Метод половинного деления				108
§2. Нелинейные уравнения. Метод хорд				110
§3. Нелинейные уравнения. Метод касательных (метод Ньютона)				110
§4. Нелинейные уравнения. Метод простой итерации				111
§5. Системы нелинейных уравнений				114
Глава LIX Вычисление значений функций				116
§1. Интерполяция многочленами				117
1.1. Каноническое представление интерполяционного многочлена				118
1.2. Точность интерполяции				119
§2. Интерполяция кусочно-полиномиальными функциями				120
2.1. Сплайны первого порядка дефекта 1				121
2.2. Сплайны третьего порядка дефекта 2				122
2.3. Сплайны третьего порядка дефекта 1				124
§3. Дробно-рациональная интерполяция				125
§4. Сглаживание и метод наименьших квадратов				126
4.1. Линейное сглаживание				127
4.2. Линейное по параметрам сглаживание				128
§5. Интерполяция функций двух переменных				129
5.1. Прямоугольная интерполяция. Четырехузловая схема				130
5.2. Прямоугольная интерполяция. Многоузловая схема				131
5.3. Треугольная интерполяция				133
5.4. Треугольная интерполяция. Частные случаи				136
5.5. Треугольная интерполяция — исключение среднего узла в десятиузловой схеме				138
5.6. Заключительные замечания				139
Глава LX Численное интегрирование				140
§1. Квадратурные формулы				140
§2. Квадратуры Ньютона—Котеса				142
§3. Точность простейших квадратур Ньютона—Котеса				145
§4. Квадратуры Гаусса				148
§5. Квадратуры специального назначения				152
§6. Кубатурные формулы для кратных интегралов				157
Глава LXI Численное дифференцирование				159
§1. Постановка задачи				159
§2. Метод неопределенных коэффициентов. Первая производная				160
§3. Метод неопределенных коэффициентов. Старшие производные				162
§4. Интерполяционные формулы численного дифференцирования				163
§5. Неустойчивость процедур численного дифференцирования				164
Глава LXII Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши				166
§1. Свойства решений задачи Коши				167
§2. Дискретизация задачи Коши				169
2.1, Конечно-разностные схемы				169
2.2, Формулы Адамса				170
2.3, Формулы Рунге—Кутта				171
§ 3. Сходимость				173
§4. Аппроксимация. Устойчивость				175
§ 5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений				177
§6. Задача Коши для уравнений второго порядка				178
Глава LXIII Обыкновенные дифференциальные уравнения. Краевые задачи				181
§ 1. Краевая задача для уравнения второго порядка				181
§ 2. Метод стрельбы				182
§3. Линейные краевые задачи. Прогонка				185
§4. Вариационные методы решения краевых задач				186
4.1. Сведение краевой задачи к вариационной				186
4.2. Метод Ритца				187
4.3. Реализация метода Ритца для линейных краевых задач				188
4.4. Система уравнений метода Ритца				188
4.5. Кусочно-линейные аппроксимации				191
Глава LXIV Уравнения математической физики				193
§1. Основные уравнения				193
1.1. Классификация				193
1.2. Начально-граничная задача для волнового уравнения				194
1.3. Начально-граничная задача для уравнения теплопроводности				195
1.4. Задача Дирихле для уравнения Пуассона				195
§2. Двумерные сетки и сеточные функции				195
2.1. Прямоугольные сетки				196
2.2. Треугольные сетки				196
§3. Дискретизация задачи				197
3.1. Дискретизация уравнений. Шаблоны и расчетные соотношения				197
3.2. Дискретизация граничных условий				200
§4. Устойчивость. Сходимость. Решение сеточных задач				203
Теория сплайнов				207
Глава LXV Сплайны				208
§1. Сплайн-функции				208
1.1. Интерполяционные кубические сплайны				209
1.2. Сглаживающие кубические сплайны				219
§2. Геометрические сплайны				233
2.1. Кривые Безье				234
2.2. В-сплайновые кривые				237
2.3. Параметрические уравнения бикубической поверхности Безье				243
Предметный указатель				246

От авторов

Этот том отличается от всех предыдущих тем, что только один из его разделов – "Вариационное исчисление" – включает наборы задач. Все остальные разделы свободны от каких бы то ни было упражнений. Это объясняется тем, что разделы, отведенные под численные методы, линейное программирование и сплайны, представляют собой необходимое теоретическое и алгоритмическое преддверие вычислительного практикума, который естественно опирается на использование компьютеров, в том числе и персональных. Отбор заданий для такого практикума, описание соответствующего программного обеспечения, анализ полученных результатов и наиболее часто встречающихся ошибок – задача, бесспорно важная, но заметно выходящая за рамки данного издания как по объему, так и по специфике. Предлагать же задачи с громоздкими вычислениями для счета "на руках" – вещь идеологически неправильная, особенно при наличии значительного числа всевозможных программных средств (пакетов).

Об авторах

Краснов Михаил Леонтьевич

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского энергетического института (МЭИ). Родился в Оренбурге, в семье учителей. В 1943 г., не окончив школу, ушел добровольцем на фронт Великой Отечественной войны. Окончил военное училище, служил командиром взвода в артиллерийском полку. Награжден медалью "За победу над Германией". В 1946–1951 гг. учился на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, который окончил с отличием. С 1951 г. работал на кафедре высшей математики МЭИ. В 1953–1956 гг. учился в аспирантуре кафедры; в 1957 г. защитил кандидатскую диссертацию, посвященную некоторым вопросам, связанным с уравнениями эллиптического типа. С 1961 г. доцент кафедры, с 1980 г. — профессор. В 1986 г. по состоянию здоровья ушел на пенсию, но продолжал работать в МЭИ до 1991 г. Был членом Редакционного совета МЭИ, работал в Совете по математическому образованию при Министерстве высшего образования СССР.

В область научных интересов М. Л. Краснова входили дифференциальные уравнения. Им были написаны научные статьи, посвященные уравнениям в частных производных и некоторым прикладным задачам. Вместе с А. И. Киселевым и Г. И. Макаренко он придумал и осуществил простую и в то же время гениальную идею — учить будущих инженеров сложным разделам высшей математики на рассмотрении подробных решений тщательно подобранных типовых примеров при минимальном изложении теории. В результате более чем тридцатилетней совместной работы ими были написаны ставшие классическими учебные пособия ("Векторный анализ", "Вариационное исчисление" и другие). Созданное ими многотомное издание "Вся высшая математика" стало лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства образования России. Все эти книги многократно выходили в издательстве URSS, а также были переведены и изданы на испанском, португальском, английском, французском, японском, польском и других языках.

Киселев Александр Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1962 гг. работал в Институте физических проблем АН СССР. В 1962–1996 гг. — доцент кафедры высшей математики Московского энергетического института. Область научных интересов: теория функций.

Макаренко Григорий Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1960 гг. работал на кафедре высшей математики Московского энергетического института. В 1960–1978 гг. — старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований в Дубне. В 1978–1989 гг. — профессор кафедры математики Московского государственного института путей сообщения. Область научных интересов: дифференциальные уравнения.

Шикин Евгений Викторович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (1982–2001), заведующий кафедрой математических методов в управлении факультета государственного управления МГУ (2002–2016). Заслуженный профессор МГУ. Лауреат премии Президента Российской федерации, лауреат многих научных премий. Был удостоен государственных наград. Член Американского математического общества и других иностранных академий наук. Область научных интересов: геометрия, геометрическое моделирование, игры поиска, компьютерная графика. Подготовил 12 кандидатов наук; в числе его учеников — три доктора наук. Автор более 210 опубликованных работ, в числе которых монографии и учебники.

Заляпин Владимир Ильич

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1969 г., аспирантуру Отделения математики МГУ — в 1972 г. Кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического анализа Южно-Уральского государственного университета.

Автор 86 научных и более 40 учебных и методических публикаций. Заместитель председателя Челябинского регионального отделения научно-методического Совета по математике Минобрнауки РФ, председатель Совета по математике ЮУрГУ. Награжден нагрудным знаком "Почетный работник высшей школы РФ".