Гуц А.К. Комплексный анализ и кибернетика Изд. 4. испр.

2025. 144 с.

Белая офсетная бумага

Мягкая обложка
Онлайн-книга 539 ₽ ››

Аннотация

Настоящая книга посвящена изложению основ теории функций комплексного переменного и ее приложений к компьютерным наукам. В ней даются сведения о комплексных числах и функциях, фракталах и фрактальном сжатии, аналитических функциях, комплексных интегралах Коши, рядах Лорана и особых точках, а также сведения по теории сигналов и квантовой информатике.

Книга может быть использована в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся... (Подробнее)

Анонс

Фрактальное сжатие информации

Теория сигналов

Квантовая информатика

Сохранение информации при дискретизации сигналов

Оглавление

Оглавление				5
Глава 1 Комплексные числа и функции				10
1.1 Комплексные числа				10
1.1.1 Плоские числа				10
1.1.2 Решение квадратных уравнений и различные типы плоских чисел				12
1.1.3 Пространственные числа				13
1.1.4 Свойства комплексных чисел				15
1.1.5 Тригонометрическая запись комплексного числа				15
1.1.6 Бесконечно удаленная точка и расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана				16
1.2 Последовательности				17
1.2.1 Предел последовательности				17
1.2.2 Подпоследовательности и предельные точки				18
1.3 Ряды				19
1.3.1 Определение ряда				19
1.3.2 Операции с рядами				20
1.4 Топология комплексной плоскости C				21
1.4.1 Открытые множества, окрестности и топология				21
1.4.2 Точки прикосновения и замыкание				22
1.4.3 Компактные множества				22
1.4.4 Области				23
1.5 Комплексные функции				23
1.5.1 Функции, изучаемые в комплексном анализе				23
1.5.2 Предел функции				25
1.5.3 Непрерывные функции				25
1.6 Георг Риман				26
1.7 Основная теорема алгебры				27
1.8 Интерпретация комплексных чисел Флоренским				28
1.9 Заблуждение великих				28
Глава 2 Комплексная динамика и фрактальное сжатие информации				30
2.1 Фракталы				30
2.1.1 Итерации				30
2.1.2 Множества Мандельброта и Жюлиа				31
2.1.3 Фракталы				32
2.2 Построение фракталов на основе их самоподобия				34
2.2.1 Треугольник Серпинского				34
2.2.2 Кривая Коха				36
2.3 Фрактальное сжатие информации				38
2.3.1 Сжатие информации				38
2.3.2 Идея фрактального сжатия изображения				38
2.4 Математические основы теориифрактального сжатия				41
2.4.1 Метрическое пространство				41
2.4.2 Теорема Банаха о неподвижной точке				42
2.4.3 Метрика Хаусдорфа				42
2.5 Алгоритм фрактального сжатия изображения				44
2.5.1 Построение алгоритма				44
2.5.2 Схема алгоритма декомпрессии изображений				47
Глава 3 Аналитические функции				49
3.1 Определение аналитической функции				49
3.2 Частные производные действительных функций				50
3.3 Условия Коши-Римана				51
3.4 Конформные свойства аналитических функций				52
3.4.1 Кривые на комплексной плоскости				52
3.4.2 Консерватизм углов				53
3.4.3 Постоянство искажения масштаба				54
3.4.4 Конформные отображения				55
3.5 Степенные ряды				55
3.5.1 Определение степенного ряда				55
3.5.2 Радиус сходимости				56
3.5.3 Сложение и умножение степенных рядов				57
3.6 Представление аналитических функций в виде степенного ряда				58
3.7 Функции ez, sinz, cosz				58
Глава 4 Комплексные интегралы Коши				62
4.1 Определение интеграла Коши				62
4.1.1 Свойства интеграла Коши				63
4.1.2 Интеграл Коши как сумма криволинейных интегралов 2-го рода				64
4.2 Теорема Коши				65
4.2.1 Многосвязные и односвязные области				65
4.2.2 Теорема Коши				66
4.2.3 Обобщенная теорема Коши				67
4.3 Вычисление комплексных интегралов				69
4.3.1 Первообразная				69
4.3.2 Формулы для вычисления комплексных интегралов				70
4.4 Интегральная формула Коши				72
4.5 Огюстен Коши				72
Глава 5 Ряды Лорана и особые точки				74
5.1 Ряд Лорана				74
5.2 Особые точки				76
5.2.1 Классификация особых точек				76
5.2.2 Поведение функции в окрестности существенно особой точки				78
5.2.3 Ряд Лорана в окрестности особой точки				78
5.2.4 Ряд Лорана для бесконечно удаленной точки z=				79
5.3 Целые и мероморфные функции				80
5.3.1 Целые функции				80
5.3.2 Мероморфные функции				80
Глава 6 Теория сигналов				82
6.1 Определение сигнала				82
6.2 Гармонический анализ сигнала				83
6.2.1 Разложение периодического сигнала на гармоники				83
6.2.2 Разложение непериодического сигнала на гармоники				85
6.2.3 Энергия сигнала и его энергетический спектр				87
6.3 Фильтры и фильтрация сигналов				88
6.4 Преобразования Лапласа				88
6.4.1 Изображение произведения двух оригиналов				90
6.4.2 Переход к преобразованию Фурье				90
Глава 7 Вычеты				91
7.1 Понятие вычета				91
7.2 Формулы для вычетов				92
7.3 Вычисление интегралов с помощью вычетов				93
7.4 Применение вычетов для вычисления определенных интегралов				95
Глава 8 Сохранение информации при дискретизации сигналов				98
8.1 Дискретизация сигнала				98
8.2 Спектр дискретизированного сигнала. Теорема Котельникова				102
8.3 Ряд Котельникова				104
Глава 9 Замечательные комплексные функции				107
9.1 zeta-функция Римана и простые числа				107
9.1.1 Распределения простых чисел				107
9.1.2 Гипотеза Римана				108
9.2 L-функция Дирихле				109
9.2.1 Расширенная гипотеза Римана				109
9.2.2 Криптография, криптоанализ и расширенная гипотеза Римана				109
9.3 delta-функция Дирака				111
9.4 Оливер Хевисайд				112
Глава 10 Квантовая информатика				114
10.1 Принципы построения компьютера				114
10.2 Логические элементы				115
10.2.1 Неклассический элемент НЕ				116
10.2.2 Квантовые логические элементы — гейты				117
10.2.3 Квантовые параллельные вычисления				118
10.3 <<Наивная>> квантовая механика				120
10.3.1 Состояния				120
10.3.2 Принципы <<наивной>> квантовой механики				121
10.4 Квантовый компьютер				125
10.5 Схема работы квантового компьютера				128
10.5.1 Ввод начальных данных				128
10.5.2 Вычисление				129
10.5.3 Вывод результата				129
10.6 Квантовая криптография				130
10.7 Юрий Манин				130
10.8 Дэвид Дойч				131
10.9 Математические основы квантовой механики				132
10.9.1 Гильбертово пространство				132
10.9.2 Бра- и кет-векторы				133
10.9.3 Линейные операторы				135
10.9.4 Постулаты квантовой механики				136
10.9.5 Эвереттовская трактовка квантовой механики				138
Литература				141

Об авторе

Гуц Александр Константинович

Доктор физико-математических наук, профессор. Заслуженный работник высшей школы РФ. Заведующий кафедрой кибернетики Омского государственного университета имени Ф. М. Достоевского, декан факультета компьютерных наук (2003–2022).

Профессор Сочинского государственного университета (г. Сочи). Области исследования: математическая теория пространства-времени, квантовая теория времени, математическое моделирование этнических, социальных и психических процессов, многовариантная и теоретическая история. Автор более 500 научных работ.