| Оглавление | 1
|
| Предисловие | 12
|
| Глава 1. Что такое алгебра? | 15
|
| Идея координатизации | 15
|
| Словарь квантовой механики | 19
|
| Конечные интерпретации системы аксиом соединения и параллельности | 19
|
| Глава 2. Поля | 23
|
| Аксиомы поля | 24
|
| Изоморфизм | 25
|
| Поле рациональных функций от независимых переменных, поле рациональных функций на плоской алгебраической кривой, поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана | 27
|
| Поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана | 31
|
| Глава 3. Коммутативные кольца | 33
|
| Аксиомы кольца | 33
|
| Кольцо многочленов | 33
|
| Делители нуля и целостные кольца | 36
|
| Поле частных | 36
|
| Прямые суммы колец | 36
|
| Кольцо непрерывных функций | 37
|
| Кольцо степенных рядов и формальных степенных рядов | 38
|
| Кольцо полиномиальных функций на плоской алгебраической кривой | 38
|
| Булевы кольца | 39
|
| Разложение на множители | 40
|
| Факториальные кольца | 40
|
| Примеры факториальных колец | 41
|
| Глава 4. Гомоморфизмы и идеалы | 43
|
| Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца | 43
|
| Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций | 45
|
| Кольца главных идеалов | 47
|
| Связь с факториальностью | 47
|
| Умножение идеалов | 49
|
| Целые числа как функции | 49
|
| Теорема о гомоморфизмах | 51
|
| Расширение, в котором заданный многочлен имеет корень. Алгебраически замкнутые поля | 52
|
| Конечные поля | 52
|
| Характеристика поля | 54
|
| Представление элементов общих колец как функций на максимальных и простых идеалах | 55
|
| Целые числа как функции | 55
|
| Ультрапроизведения и нестандартный анализ | 56
|
| Коммутирующие дифференциальные операторы | 58
|
| Глава 5. Модули | 59
|
| Прямые суммы и свободные модули | 60
|
| Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей | 62
|
| Тензорные произведения | 65
|
| Тензорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный модуль | 66
|
| Модули дифференциальных форм и векторных полей | 68
|
| Семейства векторных пространств и модули | 69
|
| Глава 6. Алгебраический аспект размерности | 71
|
| Ранг модуля | 72
|
| Модули конечного типа | 73
|
| Модули конечного типа над кольцом главных идеалов | 74
|
| Нётеровы модули и кольца | 76
|
| Нётеровы кольца и кольца конечного типа | 78
|
| Случай градуированных колец | 78
|
| Степень трансцендентности расширения | 81
|
| Конечные расширения | 83
|
| Глава 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий | 87
|
| Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и касательное пространство к многообразию | 89
|
| Векторные поля и дифференциальные операторы первого порядка | 90
|
| Особые точки | 92
|
| Бесконечно малые высших порядков | 93
|
| Струи и дифференциальные операторы | 93
|
| Пополнения колец, p-адические числа | 96
|
| Поля p-адических чисел в теории чисел | 96
|
| Нормированные поля. Нормы поля рациональных чисел и рациональных функций | 97
|
| Глава 8. Некоммутативные кольца | 105
|
| Основные определения | 105
|
| Кольцо эндоморфизмов модуля | 106
|
| Алгебры над кольцами | 107
|
| Групповая алгебра | 108
|
| Кватернионы и тела | 109
|
| Твисторное расслоение | 111
|
| Эндоморфизмы n-мерного пространства над телом | 113
|
| Тензорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов | 113
|
| Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного пространства над телом | 115
|
| Внешняя алгебра | 117
|
| Супералгебры | 118
|
| Алгебра Клиффорда | 118
|
| Простые кольца и алгебры | 120
|
| Глава 9. Модули над некоммутативными кольцами | 123
|
| Модули и представления | 124
|
| Представления алгебр на матричном языке | 126
|
| Лемма Шура | 128
|
| Простые модули, композиционные ряды, теорема Жордана Гёльдера | 128
|
| Длина модуля и кольца | 129
|
| Эндоморфизмы модулей | 130
|
| Глава 10. Полупростые модули и кольца | 133
|
| Полупростота | 133
|
| Полупростота групповой алгебры | 135
|
| Модули над полупростым кольцом | 136
|
| Полупростые кольца конечной длины: теорема Веддербёрна | 138
|
| Простые кольца конечной длины и основная теорема проективной геометрии | 141
|
| Факторы и непрерывные геометрии | 144
|
| Полупростые алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым полем | 145
|
| Применения к представлениям конечных групп | 146
|
| Глава 11. Тела конечного ранга | 151
|
| Тела конечного ранга над полем вещественных чисел и конечными полями | 151
|
| Теорема Тзена и квазиалгебраически замкнутые поля | 152
|
| Центральные тела конечного ранга над полем p-адических и полем рациональных чисел | 154
|
| Глава 12. Понятие группы | 159
|
| Группы преобразований | 159
|
| Симметрии | 160
|
| Симметрии динамических систем и законы сохранения | 162
|
| Автоморфизмы | 163
|
| Симметрии физических законов | 164
|
| Группы, регулярное действие | 164
|
| Группа классов идеалов | 169
|
| Группа расширений модуля | 170
|
| Группа Брауэра | 171
|
| Подгруппы, нормальные делители, факторгруппы | 172
|
| Прямое произведение двух групп | 177
|
| Глава 13. Примеры групп: конечные группы | 179
|
| Симметрические и знакопеременные группы | 179
|
| Группы симметрий правильных многоугольников и правильных многогранников | 182
|
| Группы симметрий решеток | 187
|
| Кристаллографические классы | 188
|
| Конечные группы, порожденные отражениями | 195
|
| Глава 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы | 199
|
| Дискретные группы преобразований | 199
|
| Кристаллографические группы | 201
|
| Дискретные группы движений плоскости Лобачевского | 210
|
| Модулярная группа | 211
|
| Свободные группы | 211
|
| Задание групп соотношениями | 212
|
| Логические проблемы | 214
|
| Фундаментальная группа | 215
|
| Группа узла | 217
|
| Группа кос | 217
|
| Глава 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы | 221
|
| Группы Ли | 224
|
| Торы. Их роль в теореме Лиувилля | 225
|
| Классические компактные группы и некоторые связи между ними | 227
|
| Классические комплексные группы Ли | 231
|
| Группа Лоренца | 233
|
| Алгебраические группы | 235
|
| Группы аделей | 236
|
| Глава 16. Общие результаты теории групп | 239
|
| Прямые произведения | 241
|
| Теорема Веддербёрна Ремака Шмидта | 242
|
| Композиционные ряды | 243
|
| Теорема Жордана Гёльдера | 243
|
| Простые группы | 244
|
| Разрешимые группы | 245
|
| Простые компактные группы Ли | 247
|
| Простые комплексные группы Ли | 249
|
| Простые конечные группы | 250
|
| Глава 17. Представления групп | 253
|
| Представления конечных групп | 257
|
| Соотношения ортогональности | 263
|
| Представления компактных групп | 264
|
| Интеграл по группе | 264
|
| Теорема Гельмгольца Ли | 265
|
| Характеры коммутативных компактных групп и ряды Фурье | 268
|
| Тензоры Вейля и Риччи в четырехмерной римановой геометрии | 271
|
| Представления групп SU(2) и SO(3) | 271
|
| Эффект Зеемана | 274
|
| Полная приводимость представлений конечномерных классических комплексных групп Ли | 275
|
| Представления некомпактных групп Ли | 277
|
| Глава 18. Некоторые приложения групп | 279
|
| Теория Галуа | 279
|
| Разрешимость уравнений в радикалах | 283
|
| Теория Галуа дифференциальных уравнений | 284
|
| Классификация неразветвленных накрытий и фундаментальная группа | 285
|
| Первая основная теорема теории инвариантов | 288
|
| Представления групп и классификация элементарных частиц | 289
|
| Глава 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра | 297
|
| Скобка Пуассона как пример алгебры Ли | 298
|
| Кольца и алгебры Ли | 298
|
| Теория Ли | 301
|
| Группы Ли и движения твердого тела | 310
|
| Числа Кэли | 312
|
| Квазикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях восьмимерного пространства | 313
|
| Неассоциативные вещественные тела | 314
|
| Глава 20. Категории | 317
|
| Диаграммы и категории | 317
|
| Функторы | 325
|
| Функторы, возникающие в топологии: пространства петель, надстройки | 326
|
| Группы в категории | 328
|
| Гомотопические группы | 331
|
| Глава 21. Гомологическая алгебра | 335
|
| Комплексы и их гомологии | 335
|
| Гомологии и когомологии полиэдров | 335
|
| Теорема о неподвижной точке | 338
|
| Дифференциальные формы и когомологии де Рама | 339
|
| Теорема де Рама | 340
|
| Точная последовательность когомологий | 342
|
| Когомологии модулей | 344
|
| Когомологии групп | 348
|
| Топологический смысл когомологии дискретных групп | 351
|
| Пучки | 353
|
| Когомологии пучков | 356
|
| Теоремы конечности | 357
|
| Теорема Римана Роха | 359
|
| Глава 22. K-теория | 361
|
| Топологическая K-теория | 361
|
| Векторные расслоения и функтор Vec(X) | 361
|
| Теорема периодичности и функторы Kn(X) | 364
|
| Группа K1(X) и бесконечномерная линейная группа | 365
|
| Символ эллиптического дифференциального оператора | 365
|
| Теорема об индексе | 367
|
| Алгебраическая K-теория | 368
|
| Группа классов проективных модулей | 368
|
| Группы K0, K1 и Kn кольца | 370
|
| Группа K2 поля и ее связь с группой Брауэра | 372
|
| K-теория и арифметика | 373
|
| Комментарий к литературе | 376
|
| Литература | 385
|
| Именной указатель | 394
|
| Предметный указатель | 397
|
Шафаревич Игорь Ростиславович 
