Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию.
С дополнением главы "Введение в теорию Нильсена неподвижных точек и совпадений". Изд. 4, испр. и доп.

2025. 504 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Рекомендовано Государственным комитетом Российской Федерации по высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика»

Аннотация

Вниманию читателей предлагается учебное пособие «Введение в топологию», признанное одним из лучших в России современных учебников по топологии.

В пособии содержатся первые понятия топологии, общая топология, теория гомотопий, даётся классификация двумерных поверхностей, рассматриваются основы теории гладких многообразий и расслоений, элементы теории Морса, излагаются теории симплициальных, сингулярных и клеточных гомологий с приложениями... (Подробнее)

Содержание

Предисловие к четвертому изданию				5
Юрий Григорьевич Борисович и Воронежская математическая школа				7
Из предисловия к третьему изданию				14
Из предисловия ко второму изданию				15
Предисловие к первому изданию				16
Глава 1. Первые понятия топологии				19
§ 1. Что такое топология?				19
§ 2. Обобщение понятий пространства и функции				27
§ 3. От метрического пространства к топологическому (наглядный материал)				31
§ 4. Понятие римановой поверхности				43
§ 5. Немного об узлах				50
§ 6. О некоторых приложениях топологии в физике				53
Глава 2. Общая топология				69
§ 1. Топологическое пространство и непрерывное отображение				69
§ 2. Топология и непрерывные отображения метрических пространств. Пространства Rn, Sn-1, Dn				77
§ 3. Факторпространство и фактортопология				84
§ 4. Классификация поверхностей				90
§ 5. Пространства орбит; проективные и линзовые пространства				101
§ 6. Операции над множествами в топологическом пространстве				104
§ 7. Операции над множествами в метрическом пространстве. Шар и сфера. Полнота				109
§ 8. Свойства непрерывных отображений				113
§ 9. Произведение топологических пространств				118
§ 10. Связность топологических пространств				123
§ 11. Аксиомы счетности и отделимости				130
§ 12. Нормальные пространства и функциональная отделимость				137
§ 13. Компактные, локально компактные и паракомпактные пространства и их отображения				142
§ 14. Компактные расширения топологических пространств. Метризация				153
Глава 3. Теория гомотопий				159
§ 1. Пространство отображений. Гомотопия, ретракция, деформация				159
§ 2. Категория, функтор и алгебраизация топологических задач				169
§ 3. Функторы гомотопических групп				173
§ 4. Вычисление фундаментальных и гомотопических групп некоторых пространств				187
Глава 4. Многообразия и расслоения				207
§ 1. Основные понятия дифференциального исчисления в n-мерном пространстве				207
§ 2. Гладкие подмногообразия в евклидовом пространстве				216
§ 3. Гладкие многообразия				221
§ 4. Гладкие функции на многообразии и гладкое разбиение единицы				238
§ 5. Отображения многообразий				247
§ 6. Касательное расслоение и касательное отображение				279
§ 7. Касательный вектор как дифференциальный оператор. Дифференциал функции и кокасательное расслоение				293
§ 8. Векторные поля на гладких многообразиях				303
§ 9. Расслоения и накрытия				308
§ 10. Гладкая функция на многообразии и клеточная структура многообразия (пример)				335
§ 11. Невырожденная критическая точка и ее индекс				340
§ 12. Критические точки и гомотопический тип многообразия				345
Глава 5. Теория гомологий				355
§ 1. Вступительные замечания				355
§ 2. Гомологии цепных комплексов				358
§ 3. Группы гомологий симплициальных комплексов				361
§ 4. Сингулярная теория гомологий				376
§ 5. Аксиомы теории гомологий. Когомологии				387
§ 6. Гомологии сфер. Степень отображения				390
§ 7. Гомологии клеточного комплекса				406
§ 8. Эйлерова характеристика и число Лефшеца				412
Комментарии к иллюстрациям				434
Список литературы к главам 1–5				437
Предметный указатель к главам 1–5				441
Глава 6. Введение в теорию Нильсена неподвижных точек и совпадений				449
§ 1. Теория Нильсена неподвижных точек				451
§ 2. Вычисление чисел Нильсена				472
§ 3. Теория Нильсена совпадений и другие направления ее развития				489
Список литературы к главе 6				494

Об авторах

Борисович Юрий Григорьевич

Доктор физико-математических наук, профессор, выдающийся специалист в области нелинейного анализа. Заслуженный деятель науки Российской Федерации, почетный академик Академии нелинейных наук. Окончил с отличием Казанский государственный университет. В 1963-2000 гг. заведовал созданной им кафедрой алгебры и топологических методов анализа математического факультета Воронежского государственного университета (ВГУ). Основал ведущую научную школу ВГУ «Топологические методы в нелинейном анализе». Был одним из организаторов и руководителей известных Воронежских зимних математических школ. Подготовил 32 кандидата и 9 докторов наук. Автор и соавтор более 250 научных и научно-методических работ, в том числе нескольких книг.

Yu. G. Borisovich, D. Sc. (Phys. and Math.) is a head of the Department of Algebra and Topological Methods in Analysis of Voronezh State University. His special interests are nonlinear functional analysis and fixed point theory. His publications include over one hundred scientific articles developing the ideas of J. Leray, J. Schauder, L. Lusternik and L. Schnirelman. Prof. Borisovich is the editor of a series entitled "New ideas in Global Analisis", which has aroused the considerable interest in the USSR and abroad.

Близняков Николай Михайлович

Кандидат физико-математических наук по специальности «математический анализ», доцент математического факультета Воронежского государственного университета. Окончил Воронежский государственный университет. Область научных интересов — нелинейный анализ, топологические и алгебраические инварианты. Автор около 100 научных и научно-методических работ.

Израилевич Яков Аронович

Кандидат физико-математических наук по специальности «геометрия и топология», доцент математического факультета Воронежского государственного университета. Окончил Воронежский государственный университет. Область научных интересов — топология (эквивариантные отображения), итерационные процессы, различные прикладные задачи. Автор более 60 научных и научно-методических работ.

Ya. A. Izrailevich, Cand. Sc. (Phys. and Math.), the Department of Algebra and Topological Methods in Analysis at Voronezh State University. He has published more then thirty scientific articles, containing some essential results in the Smith theory and on some problems of nonlinear analysis and numerical analysis.

Фоменко Татьяна Николаевна

Доктор физико-математических наук по специальности «геометрия и топология», профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончила с отличием Воронежский государственный университет. Ранее работала в Воронежском университете, в Московском институте стали и сплавов (МИСиС). С января по июнь 1991 г. вела научные исследования и читала лекции в Университете Британской Колумбии (г. Ванкувер, Канада). Член Московского математического общества, член Американского математического общества. Область научных интересов: геометрия, топология, топологические методы в прикладных задачах. Автор и соавтор более 130 научных и научно-методических работ. Подготовила двух кандидатов наук.