| Содержание | 3
|
| Предисловие | 8
|
| Глава 1. Клеточные комплексы, гомологии | 11
|
| 1. Клеточные комплексы и их простейшие свойства | 11
|
| 1.1. Первые определения | 11
|
| 1.2. Примеры клеточных комплексов | 13
|
| 2. Группы сингулярных гомологий | 17
|
| 2.1. Сингулярные симплексы, граничный оператор, группы гомологий | 27
|
| 2.2. Цепные комплексы, цепная гомотопия, гомотопическая инвариантность групп гомологий | 20
|
| Глава 2. Критические точки гладких функций на многообразиях | 25
|
| 1. Критические точки и геометрия поверхностей уровня | 25
|
| 1.1. Определение критических точек | 25
|
| 1.2. Каноническое представление функции в окрестности невырожденной критической точки | 28
|
| 1.3. Топологическая структура поверхностей уровня функции в окрестности критических точек | 31
|
| 1.4. Представление многообразия в виде клеточного комплекса, связанное с функцией Морса | 34
|
| 1.5. Операция приклейки ручек и разложение компактного многообразия в сумму ручек | 35
|
| 2. Точки бифуркации и их связь с гомологиями | 40
|
| 2.1. Определение точек бифуркации | 40
|
| 2.2. Теорема, связывающая полиномы Пуанкаре функции и многообразия | 44
|
| 2.3. Некоторые следствия | 46
|
| 2.4. Критические точки функций на двумерных многообразиях | 50
|
| 3. Критические точки функций и категория многообразия | 56
|
| 3.1. Определение категории | 56
|
| 3.2. Топологические свойства категории | 58
|
| 3.3. Формулировка теоремы о нижней границе числа точек бифуркации | 61
|
| 3.4. Доказательство теоремы | 64
|
| 3.5. Примеры вычисления категории | 68
|
| 4. Правильные функции Морса и бордизмы | 73
|
| 4.1. Бордизмы | 73
|
| 4.2. Разложение бордизма в композицию элементарных бордизмов | 75
|
| 4.3. Градиентно-подобные поля и сепаратрисные диски | 77
|
| 4.4. Перестройки поверхностей уровня гладкой функции | 79
|
| 4.5. Построение правильных функций Морса | 82
|
| 4.6. Двойственность Пуанкаре | 90
|
| Глава 3. Топология трехмерных многообразий | 97
|
| 1. Каноническое представление трехмерных многообразий | 97
|
| 1.1. Правильные функции Морса и диаграммы Хегора | 97
|
| 1.2. Примеры диаграмм Хегора | 100
|
| 1.3. Кодирование трехмерных многообразий при помощи сетей | 104
|
| 1.4. Сети и сепаратрисные диаграммы | 107
|
| 2. Задача распознавания трехмерной сферы | 110
|
| 2.1. Гомологические сферы | 110
|
| 2.2. Гомотопические сферы | 116
|
| 3. Об алгоритмической классификации многообразий | 120
|
| 3.1. Фундаментальные группы трехмерных многообразий | 120
|
| 3.2. Фундаментальные группы четырехмерных многообразий | 122
|
| 3.3. О невозможности классификации гладких многообразий в размерностях больших, чем три | 123
|
| Глава 4. Симметрические пространства | 129
|
| 1. Основные свойства симметрических пространств, их модели и группы изометрии | 129
|
| 1.1. Определение симметрических пространств | 129
|
| 1.2. Группы Ли как симметрические пространства | 130
|
| 1.3. Свойства тензора кривизны | 132
|
| 1.4. Инволютивные автоморфизмы и связанные с ними симметрические пространства | 133
|
| 1.5. Картановская модель симметрического пространства | 135
|
| 1.6. Геометрия картановских моделей | 140
|
| 1.7. Некоторые важные примеры симметрических пространств | 142
|
| 2. Геометрия групп Ли | 148
|
| 2.1. Полупростые группы и алгебры Ли | 148
|
| 2.2. Картановские подалгебры | 151
|
| 2.3. Корни полупростой алгебры Ли и ее корневое разложение | 153
|
| 2.4. Некоторые свойства системы корней | 156
|
| 2.5. Системы корней простых алгебр Ли | 163
|
| 3. Компактные группы | 169
|
| 3.1. Вещественные формы | 169
|
| 3.2. Компактная форма | 171
|
| 4. Орбиты присоединенного представления | 180
|
| 4.1. Орбиты общего положения и сингулярные орбиты | 180
|
| 4.2. Орбиты в группах Ли | 185
|
| 4.3. Доказательство теоремы сопряженности максимальных торов в компактной группе Ли | 188
|
| 4.4. Группа Вейля и ее связь с орбитами | 198
|
| Глава 5. Симплектическая геометрия | 203
|
| 1. Симплектические многообразия | 203
|
| 1.1. Симплектическая структура и ее каноническое представление. Кососимметрический градиент | 203
|
| 1.2. Гамильтоновы векторные поля | 208
|
| 1.3. Скобка Пуассона и интегралы гамильтоновых полей | 210
|
| 1.4. Теорема Лиувилля (коммутативное интегрирование гамильтоновых систем) | 215
|
| 2. Некоммутативное интегрирование гамильтоновых систем | 223
|
| 2.1. Некоммутативные алгебрыЛи интегралов | 223
|
| 2.2. Теорема о некоммутативном интегрировании | 225
|
| 2.3. Редукция гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями | 228
|
| 2.4. Орбиты (ко)присоединенного представления как симплектические многообразия | 238
|
| Глава 6. Геометрия и механика | 241
|
| 1. Вложение гамильтоновых систем в алгебры Ли | 241
|
| 1.1. Постановка задачи и полные коммутативные наборы функций | 241
|
| 1.2. Уравнения движения многомерного твердого тела с закрепленной точкой и их аналоги на полупростых алгебрах Ли. Комплексная полупростая серия | 247
|
| 1.3. Гамильтоновы системы компактной и нормальной серий | 252
|
| 1.4. Секционные операторы и соответствующие им динамические системы на орбитах | 257
|
| 1.5. Уравнения движения многомерного твердого тела по инерции в идеальной жидкости | 261
|
| 2. Полная интегрируемость некоторых гамильтоновых систем на алгебрах Ли | 271
|
| 2.1. Метод сдвига аргумента и построение коммутативных алгебр интегралов на орбитах в алгебрах Ли | 271
|
| 2.2. Примеры для алгебр Ли so3 и so4 | 277
|
| 2.3. Случаи полной интегрируемости уравнений движения многомерного твердого тела с закрепленной точкой в отсутствие силы тяжести и полная интегрируемость их аналогов на полупростых алгебрах Ли | 282
|
| 2.4. Случаи полной интегрируемости уравнений движения многомерного твердого тела по инерции в идеальной жидкости | 288
|
| 2.5. Конечномерные аппроксимации уравнений магнитной гидродинамики и случаи их полной интегрируемости | 291
|
| Список литературы | 293
|
Фоменко Анатолий Тимофеевич Академик РАН, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.
