Постников М.М. Теория Галуа Изд. стереотип.

2025. 224 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Аннотация

В предлагаемой читателю книге, написанной известным математиком М.М.Постниковым, излагаются основы теории Галуа. Изложение носит элементарный характер; от читателя требуется владение основами высшей алгебры в объеме программы первого курса университетов. Большое внимание уделяется задаче практических вычислений групп Галуа уравнений, в том числе в применении к уравнениям третьей, четвертой и пятой степени. Много места уделено применениям... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к первому изданию................ О
I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУЛ
Глава 1. Элементы теории полей............ 9
1. Предварительные замечания.............. 9
2. Некоторые важные типы расширений.......... 10
3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений.................... 13
4. Алгебраичность конечных расширений......... 15
5. Строение составных алгебраических расширений .... 16
6. Составные конечные расширения............ 18
7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым................. 21
8. Поле алгебраических чисел.............. 23
9. Композит полей.................... 24
Глава 2. Необходимые сведения из теории групп ... 26
1. Определение группы.................. 26
2. Порядки элементов.................. 28
3. Подгруппы, нормальные делители и факторгруппы ... 30
4. Гомоморфные отображения............... 34
Глава 3. Теория Галуа.................. 38
1. Нормальные расширения................ 38
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа.......... 42
3. Порядок группы Галуа................. 45
4. Соответствие Галуа.................. 49
5. Теорема о сопряженных элементах........... 52
6. Группа Галуа нормального подполя .......... 54
7. Группа Галуа композита двух полей.......... 55
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
Глава 1. Дополнительные сведения из общей теории групп.......................... 57
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах......... 57
2. Нормальные ряды................... 58
3. Циклические группы 62
4. Разрешимые и абелевы группы............ 67
5. Группы Z'n и Мn................... 70
Глава 2. Уравнения, разрешимые в радикалах...... 74
1. Простые радикальные расширения . . . ....... 74
2. Циклические расширения................ 77
3. Радикальные расширения................ 62
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа .... 86
5. Уравнения, разрешимые в радикалах.......... 89
Глава 3. Построение уравнений, неразрешимых в радикалах .......................... 91
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок .... 91
2. Разложение подстановок в произведение циклов .... 94
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа..... 97
4. Строение знакопеременной и симметрической групп . . 100
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа . . 105
6. Обсуждение полученных результатов.......... 109
Глава 4. Неразрешимость в радикалах общего уравнения степени n≥5 ................... 112
1. Поле формальных степенных рядов........... 112
2. Поле дробностепенных рядов.............. 118
3. Группа Галуа общего уравнения степени п....... 122
4. Решение уравнений низших степеней.......... 126
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Глава 1. Практическое вычисление групп Галуа уравнений .......................... 131
1. Задание групп подстановок степени n многочленами от n неизвестных..................... 131
2. Сопряженные группы подстановок........... 134
3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена . . 136
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся в знакопеременной группе ............... 140
5. Уравнения третьей и четвертой степени ........ 141
Глава 2. Уравнения пятой степени........... 144
1. Транзитивные группы подстановок........... 144
2. Транзитивные группы простой степени......... 145
3. Транзитивные группы пятой степени.......... 146
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени...................... 149
5. Определяющий многочлен для метациклической группы 151
6. Случай уравнений в нормальном виде......... 153
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах . . 155
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному виду ......... 157
Глава 3. Решение уравнений в неприводимых радикалах 160
1. Формулировка основной теоремы............ 160
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям . 161
3. Доказательство теоремы А............... 163
4. Мультипликативная группа классов по примарному модулю ......................... 164
5. Группы Галуа примерных круговых расширений .... 168
6. Доказательство теоремы В............... 171
Глава 4. Уравнения деления круга............ 174
1. Строение полей деления круга простого показателя . . 174
2. Решение уравнений деления круга........... 177
3. Прием Гаусса..................... 178
4. Уравнение деления круга на 17 частей......... 181
Глава 5. Построения циркулем н линейкой....... 185
1. Основная теорема теории геометрических построений . 185
2. Примерные группы................... 194
3. Пифагоровы расширения................ 197
4. Некоторые конкретные задачи на построение...... 199
Задача об удвоении куба (199). Задача о трисекции угла (200). Задача о трех биссектрисах (201). Задача о построении правильного n-угольника. (202). Задача о квадратуре круга (205). Задача о луночках Гиппократа (211).

Об авторе

Постников Михаил Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.