| Из предисловия к первому изданию | 9
|
| Советы учащимся | 11
|
| Глава I. Координатный метод | 13
|
| § 1. О предмете аналитической геометрии | 13
|
| § 2. Координаты | 15
|
| § 3. Координата точки на прямой линии | 15
|
| § За. Вопросы к §§ 2—3 | 16
|
| § 4. Направленный отрезок | 17
|
| § 5. Теорема о направленных отрезках | 18
|
| § 6. Формула для алгебраической величины отрезка; расстояние между двумя точками | 20
|
| § ба. Задачи и вопросы к §§4—б | 21
|
| § 7. Деление отрезка точкой | 22
|
| § 7а. Задачи и вопросы к § 7 | 24
|
| § 8. Прямоугольная система координат | 24
|
| § 9. Координатные углы | 26
|
| § 10. Декартова система координат | 27
|
| § 10а. Задачи и вопросы к §§ 8—10 | 28
|
| § 11. Расстояние между двумя точками на плоскости | 29
|
| § J2. Деление отрезка в данном отношении | 29
|
| § 13. Деление отрезка пополам | 31
|
| § 13а. Задачи к §§ 11—13 | 31
|
| § 14. Пример применения координатного метода | 32
|
| § 15. Уравнение линии | 33
|
| § 16. Взаимное расположение линии и точки | 38
|
| § 17. Взаимное расположение двух линий | 39
|
| § 18. Некоторые методические замечания | 40
|
| § 18а. Задачи и вопросы к §§ 14—18 | 40
|
| § 19. Еще пример применения координатного метода | 41
|
| § 19а. Задачи и вопросы к § 19 | 43
|
| Глава II. Прямая линия и окружность | 44
|
| § 20. Угол, составленный двумя прямыми | 44
|
| § 21. Угловой коэффициент | 46
|
| § 22. Уравнение прямой, разрешенное относительно ординаты («уравнение с угловым коэффициентом») | 47
|
| § 23. Прямая, параллельная оси координат | 50
|
| § 23а. Задачи и вопросы к §§ 20—23 | 53
|
| § 24. Уравнение прямой в общем виде | 54
|
| § 24а. Задачи и вопросы к § 24 | 55
|
| § 25. Построение прямой по ее уравнению; уравнение в отрезках | 55
|
| § 25а. Задачи к § 25 | 57
|
| § 26. Уравнение окружности | 58
|
| § 27. Разыскание центра и радиуса окружности по данному ее уравнению | 59
|
| § 27а. Задачи и вопросы к §§ 26—27 | 61
|
| § 28. Разыскание геометрических мест | 62
|
| § 28а. Задачи к § 28 | 67
|
| Глава III. Основные формулы аналитической геометрии на плоскости | 68
|
| § 29. Вводные замечания | 68
|
| § 30. Определитель второго порядка | 68
|
| § 30а. Задачи к § 30 | 70
|
| § 31. Условие параллельности прямых | 70
|
| § 31а. Задачи к § 31 | 71
|
| § 32. Общая форма условия параллельности | 72
|
| § 33. Пересечение прямых | 74
|
| § 33а. Задачи к §§ 32—33 | 76
|
| § 34. Условие перпендикулярности прямых | 76
|
| § 35. Общая форма условия перпендикулярности | 77
|
| § 36. Формула для угла, составленного двумя прямыми | 78
|
| § 37. Общая формула для угла, составленного двумя прямыми | 80
|
| § 37а. Задачи и вопросы к §§ 34—37 | 81
|
| § 38. Пучок прямых | 82
|
| § 38а. Задачи и вопросы к § 38 | 84
|
| § 39. Общее уравнение пучка | 84
|
| § 39а. Задачи и вопросы к § 39 | 86
|
| § 40. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки | 87
|
| § 40а. Задачи и вопросы к § 40 | 90
|
| § 41. Взаимное расположение прямой и пары точек | 90
|
| § 42. Расстояние от точки до прямой | 91
|
| § 42а. Задачи к §§ 41—42 | 94
|
| § 43. Полярные параметры прямой | 96
|
| § 44. Уравнение прямой с данными полярными параметрами; нормальное уравнение | 97
|
| § 45. Разыскание полярных параметров по данному уравнению прямой | 99
|
| § 45а. Задачи к §§ 43—45 | 102
|
| § 46. Полярная система координат | 103
|
| § 46а. Задачи к § 46 | 107
|
| § 47. Связь между полярными координатами и прямоугольными | 107
|
| § 48. Уравнение линии в полярных координатах | 110
|
| § 48а. Задачи к §§ 47—48 | 117
|
| § 49. О преобразовании координат | 119
|
| § 50. Перенос начала координат | 120
|
| § 50а. Задачи и вопросы к § 50 | 122
|
| § 51. Поворот осей | 122
|
| § 51а. Задачи и вопросы к § 51 | 124
|
| Глава IV. Линии второго порядка | 125
|
| § 52. Алгебраические линии и их порядок | 125
|
| § 53. Равномерное сжатие. Эллипс как сжатая окружность | 127
|
| § 54. Другое определение эллипса | 130
|
| § 55. Особенности формы эллипса | 134
|
| § 56. Построение эллипса по его осям | 135
|
| § 56а. Задачи и вопросы к §§ 52—56 | 137
|
| § 57. Гипербола | 139
|
| § 58. Особенности формы гиперболы | 141
|
| § 59. Асимптоты гиперболы | 146
|
| § 60. Равносторонняя гипербола как график обратной пропорциональности. Подобие равносторонних гипербол | 148
|
| § 61. Построение гиперболы по ее осям | 151
|
| § 61а. Задачи к §§ 57—61 | 151
|
| § 62. Парабола | 152
|
| § 63. Особенности формы параболы. Ось и вершина параболы | 154
|
| § 64. Построение параболы по данному параметру | 155
|
| § 65. Парабола как график уравнения у = ах2. Подобие парабол | 156
|
| § 66. Парабола как график уравнения у = ах2 + Ьх + с | 161
|
| § 66а. Задачи к §§ 62—66 | 164
|
| § 67. Конические сечения | 165
|
| § G8. Общее планиметрическое свойство конических сечений | 167
|
| § 69. Перечень линий второго порядка | 168
|
| § 70. Вводные замечания к последующим двум параграфам | 170
|
| § 71. Предварительное преобразование уравнения второй степени | 171
|
| § 72. Завершающее преобразование уравнения второй степени | 173
|
| § 72а. Задачи к §§ 70—72 | 178
|
| Глава V. Векторная алгебра | 179
|
| § 73. Вводные замечания | 179
|
| § 74. Понятие о векторах и скалярах | 179
|
| § 75. Вектор в геометрии; модуль; орт | 180
|
| § 76. Коллинеарные векторы | 181
|
| § 77. Нуль-вектор | 182
|
| § 78. Равенство векторов; приведение векторов к общему началу | 182
|
| § 79. Противоположные векторы | 184
|
| § 80. Сложение векторов | 184
|
| § 81. Сумма нескольких векторов | 186
|
| § 82. Вычитание векторов | 187
|
| § 83. Умножение и деление вектора на число | 189
|
| § 84. Отношение коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) | 193
|
| § 85. Линейные комбинации векторов | 193
|
| § 85а. Задачи и вопросы к §§ 75—85 | 196
|
| § 86. Примеры применения векторной алгебры | 197
|
| § 86а. Задачи к § 86 | 202
|
| § 87. Проекция точки на прямую (на ось) | 203
|
| § 88. Проекция вектора на ось | 204
|
| § 89. Основные теоремы о проекциях вектора | 208
|
| § 90. Прямоугольная система координат в пространстве | 211
|
| § 91. Координаты точки | 212
|
| § 92. Координаты вектора | 213
|
| § 93. Выражения вектора через компоненты и через координаты | 215
|
| § 94. Действия над векторами, заданными их координатами | 216
|
| § 94а. Задачи к §§ 87—94 | 219
|
| § 95. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца | 219
|
| § 96. Длина вектора; расстояние между двумя точками в пространстве | 220
|
| § 97. Углы между осями координат и вектором | 222
|
| § 97а. Задачи к §§ 95—97 | 224
|
| § 98. Условие коллинеарности двух векторов | 224
|
| § 98а. Задачи к § 98 | 226
|
| § 99. Деление отрезка в данном отношении | 227
|
| § 99а. Задачи к § 99 | 228
|
| § 100. Скалярное произведение двух векторов | 230
|
| § 101. Свойства скалярного произведения | 232
|
| § 102. Таблица скалярного умножения | 236
|
| § 103. Примеры применения скалярного умножения | 236
|
| § 103а. Задачи и вопросы к §§ 100—103 | 237
|
| § 104. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей | 239
|
| § 105. Условие перпендикулярности векторов | 239
|
| § 106. Угол между векторами | 240
|
| § 106а. Задачи к §§ 104—106 | 241
|
| § 107. Правая и левая системы трех векторов | 241
|
| § 108. Векторное произведение | 244
|
| § 109. Свойства векторного произведения | 246
|
| § ПО. Таблица и схема векторного умножения | 252
|
| § 110а. Задачи и вопросы к §§ 107—110 | 253
|
| § 111. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей | 254
|
| § 112. Площадь треугольника | 255
|
| § 113. Площадь ориентированного треугольника | 258
|
| § 114. Теорема об ориентированных треугольниках | 260
|
| § 115. Площадь многоугольника | 261
|
| § 115а. Задачи и вопросы к §§ 111—115 | 263
|
| § 116. Компланарные векторы | 263
|
| § 116а. Задачи и вопросы к § 116 | 264
|
| § 117. Смешанное произведение | 265
|
| § 118. Выражение смешанного произведения с помощью векторного и скалярного произведений | 266
|
| § 119. Свойства смешанного произведения | 268
|
| § 119а. Задачи и вопросы к §§ 117—119 | 270
|
| § 120. Определитель третьего порядка | 271
|
| § 120а. Задачи и вопросы к § 12 | 273
|
| § 121. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей | 273
|
| § 122. Условие компланарности трех векторов | 274
|
| § 123. Условие компланарности четырех точек | 275
|
| § 124. Объем параллелепипеда и тетраэдра | 276
|
| § 124а. Задачи к § 121—124 | 277
|
| Глава VI. Плоскость и прямая | 278
|
| § 125. Вводные замечания | 278
|
| § 125. Уравнение поверхности | 278
|
| § 127. Уравнение линии | 281
|
| § 127а. Задачи к §§ 126—127 | 283
|
| § 128. Уравнение плоскости, заданной одной ее точкой и вектором нормали | 284
|
| § 128а. Задачи к § 128 | 287
|
| § 129. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат | 288
|
| § 129а. Задачи к § 129 | 290
|
| § 130. Уравнение плоскости в общем виде | 291
|
| § 131. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат | 292
|
| § 131а. Задачи и вопросы к § 131 | 295
|
| § 1316. Задачи к § 128—131 | 296
|
| § 132. Условие параллельности плоскостей | 298
|
| § 133. Условие перпендикулярности плоскостей | 300
|
| § 133а. Задачи к §§ 132—133 | 302
|
| § 134. Угол между двумя плоскостями | 303
|
| § 134а. Задачи к § 134 | 304
|
| § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек | 304
|
| § 136. Расстояние от точки до плоскости | 305
|
| § 136а. Задачи и вопросы к §§ 135 — 136 | 307
|
| § 137. Уравнения прямой в пространстве | 308
|
| § 137а. Задачи к § 137 | 310
|
| § 138. Направляющий вектор | 311
|
| § 139. Углы между прямой и осями координат | 312
|
| § 140. Угол между двумя прямыми | 312
|
| § 141. Угол между прямой и плоскостью | 313
|
| § 141а. Задачи к §§ 138—141 | 315
|
| § 142. Связка и пучок плоскостей | 316
|
| § 142а. Задачи к § 142 | 320
|
| § 143. Проекции прямой на координатные плоскости | 321
|
| § 143а. Задачи к § 143 | 324
|
| § 144, Векторное уравнение прямой. Симметричные (канонические) уравнения | 325
|
| § 145. Приведение уравнений прямой к симметричному виду | 328
|
| § 146. Параметрические уравнения прямой | 329
|
| § 146а. Задачи к §§ 144—146 | 331
|
| § 1466. Задачи на применение координатного метода к стереометрии | 335
|
| § 147. Проекции линии на координатные плоскости | 336
|
| § 147а. Задачи к § 147 | 342
|
| Глава VII. Поверхности второго порядка | 343
|
| § 148. Алгебраические поверхности и их порядок | 343
|
| § 149. Отличительные признаки уравнения сферы | 344
|
| § 150. Метод сечений | 346
|
| § 151. Эллипсоид | 348
|
| § 151а. Задачи к §§ 148—151 | 351
|
| § 152. Однополостный гиперболоид | 353
|
| § 153. Двуполостный гиперболоид | 356
|
| § 154. Конус второго порядка | 358
|
| § 154а. Задачи к §§ 152—154 | 361
|
| § 155. Эллиптический параболоид | 362
|
| § 156. Гиперболический параболоид | 364
|
| § 156а. Задачи к §§ 155—156 | 367
|
| § 157. Перечень поверхностей второго порядка | 367
|
| § 158. О прямолинейных образующих поверхностей второго порядка | 371
|
| § 159. Поверхности вращения | 371
|
| § 159а. Задачи к § 159 | 375
|
| Глава VIII. Определители и системы линейных уравнений | 376
|
| § 160. Вводные замечания | 376
|
| § 161. Определители второго и третьего порядка | 376
|
| § 162. Об определителях высшего порядка | 379
|
| § 163. Основные свойства определителей | 381
|
| § 164. Практические приемы вычисления определителей | 386
|
| § 164а. Задачи к §§ 161—164 | 388
|
| § 165. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными | 389
|
| § 166. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными | 393
|
| § 166а. Задачи к §§ 165—166 | 396
|
| § 167. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными | 396
|
| § 168. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными | 398
|
| § 168А. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными | 402
|
| § 168а. Задачи к §§ 167—168А | 405
|
| § 169. Система п линейных уравнений с п неизвестными | 405
|
| § 169а. Задачи к § 169 | 407
|
| ПРИЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ | 409
|
| § 170. Определения | 409
|
| § 171. Преобразование плоскости и пространства | 411
|
| § 172. Аналитическое представление преобразования | 415
|
| § 173. Линейное преобразование плоскости и пространства | 417
|
| § 174. Свойства линейного преобразования | 421
|
| § 175. Геометрический смысл определителя матрицы второго порядка | 426
|
| § 176. Геометрический смысл определителя матрицы третьего порядка | 428
|
| § 177. Матрица произведения преобразований | 433
|
| § 178. Умножение матриц | 435
|
| § 179. Определитель произведения матриц | 438
|
| § 180. Диагональные, единичные, нулевые матриц ы | 440
|
| § 181. Сложение и вычитание матриц; умножение матрицы на число | 441
|
| § 182. Основные свойства действий над матрицами | 442
|
| § 183 Матричная запись системы линейных уравнений | 443
|
| § 183а. Задачи к §§ 170—183 | 444
|
| § 184. Собственные векторы матрицы | 445
|
| § 185. Разыскание собственных векторов матрицы второго порядка | 447
|
| § 186. Собственные векторы симметрической матрицы второго порядка | 450
|
| § 187. Применение матриц к упрощению уравнений линий второго порядка | 453
|
| § 188. Разыскание собственных векторов матрицы третьего порядка | 456
|
| § 189. Собственные векторы симметрической матрицы третьего порядка | 459
|
| § 190. Формулы преобразования координат в пространстве | 461
|
| § 191. Применение матриц к упрощению уравнений поверхности второго порядка | 463
|
| § 191а. Задачи к §§ 184—191 | 467
|
| Ответы и решения | 468
|
Выгодский Марк Яковлевич