URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и примеры с подробными решениями Обложка Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и примеры с подробными решениями
Id: 325787
599

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ:
Задачи и примеры с подробными решениями. Изд. стереотип.

Вариационное исчисление: Задачи и примеры с подробными решениями 2025. 168 с.
Типографская бумага

Аннотация

В настоящем учебном пособии авторы предлагают задачи по основным разделам классического вариационного исчисления.

В начале каждого раздела приводится сводка основных теоретических положений, определений и формул, а также дается подробное решение свыше 100 примеров.

В книге содержится около 230 задач для самостоятельного решения. Все они снабжены ответами или указаниями к решению.

Пособие рассчитано на студентов дневных и вечерних... (Подробнее)


Оглавление
top
Предварительные замечания5
Глава 1. Экстремум функций многих переменных7
§1. Безусловный экстремум7
1°. Достаточные условия строгого экстремума9
2°. Метод наискорейшего (градиентного) спуска13
§2. Условный экстремум15
1°. Определение15
2°. Метод множителей Лагранжа16
Глава 2. Экстремум функционалов21
§ 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства21
1°. Определение функционала. Близость кривых21
2°. Непрерывность функционала26
3°. Вариация функционала31
4°. Второе определение вариации функционала35
5°. Вторая вариация функционала37
6°. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума40
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления44
1°. Уравнение Эйлера44
2°. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера50
3°. Вариационные задачи в параметрической форме57
§ 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления60
1°. Функционалы, зависящие от производных высших порядков60
2°. Функционалы, зависящие от функций64
3°. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных65
§ 6. Инвариантность уравнения Эйлера69
§ 7. Поле экстремалей72
1°. Семейство однопараметрических кривых72
2°. Достаточное условие Якоби возможности включения экстремали в центральное поле экстремалей77
3°. Достаточные условия Лежандра81
§ 8. Достаточные условия экстремума функционала83
1°. Достаточные условия Вейерштрасса83
2°. Достаточные условия Лежандра85
3°.Фигуратриса91
4°. Достаточное условие минимума93
§9. Условный экстремум96
1°. Изопериметрическая задача96
2°. Задача Лагранжа при наличии связей105
3° .Геодезические линии107
§ 10. Вариационные задачи с подвижными границами109
1°. Простейшая задача с подвижными границами109
2°. Задача с подвижными границами113
3°. Геодезическое расстояние118
§11. Разрывные задачи. Односторонние вариации121
1°. Разрывные задачи первого рода121
2°. Разрывные задачи второго рода125
3°. Односторонние вариации127
§12. Теория Гамильтона—Якоби. Вариационные принципы механики128
1°. Каноническая (гамильтонова) форма уравнений Эйлера128
2°. Уравнение Гамильтона—Якоби. Теорема Якоби131
3°. Вариационные принципы механики137
Глава 3. Прямые методы вариационного исчисления141
§ 13. Конечно-разностный метод Эйлера141
§ 14. Метод Ритца. Метод Канторовича143
1°.Метод Ритца143
2°. Метод Канторовича147
§ 15. Вариационные методы нахождения собственных значений и собственных функций149
1°. Задача Штурма—Лиувилля149
2°.Принцип Рэлея156
Ответы и указания161

Об авторах
top
photoКраснов Михаил Леонтьевич
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского энергетического института (МЭИ). Родился в Оренбурге, в семье учителей. В 1943 г., не окончив школу, ушел добровольцем на фронт Великой Отечественной войны. Окончил военное училище, служил командиром взвода в артиллерийском полку. Награжден медалью "За победу над Германией". В 1946–1951 гг. учился на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, который окончил с отличием. С 1951 г. работал на кафедре высшей математики МЭИ. В 1953–1956 гг. учился в аспирантуре кафедры; в 1957 г. защитил кандидатскую диссертацию, посвященную некоторым вопросам, связанным с уравнениями эллиптического типа. С 1961 г. доцент кафедры, с 1980 г. — профессор. В 1986 г. по состоянию здоровья ушел на пенсию, но продолжал работать в МЭИ до 1991 г. Был членом Редакционного совета МЭИ, работал в Совете по математическому образованию при Министерстве высшего образования СССР.

В область научных интересов М. Л. Краснова входили дифференциальные уравнения. Им были написаны научные статьи, посвященные уравнениям в частных производных и некоторым прикладным задачам. Вместе с А. И. Киселевым и Г. И. Макаренко он придумал и осуществил простую и в то же время гениальную идею — учить будущих инженеров сложным разделам высшей математики на рассмотрении подробных решений тщательно подобранных типовых примеров при минимальном изложении теории. В результате более чем тридцатилетней совместной работы ими были написаны ставшие классическими учебные пособия ("Векторный анализ", "Вариационное исчисление" и другие). Созданное ими многотомное издание "Вся высшая математика" стало лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства образования России. Все эти книги многократно выходили в издательстве URSS, а также были переведены и изданы на испанском, португальском, английском, французском, японском, польском и других языках.

Макаренко Григорий Иванович
Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1960 гг. работал на кафедре высшей математики Московского энергетического института. В 1960–1978 гг. — старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований в Дубне. В 1978–1989 гг. — профессор кафедры математики Московского государственного института путей сообщения. Область научных интересов: дифференциальные уравнения.
Киселев Александр Иванович
Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1962 гг. работал в Институте физических проблем АН СССР. В 1962–1996 гг. — доцент кафедры высшей математики Московского энергетического института. Область научных интересов: теория функций.