Боярчук А.К., Головач Г.П. АнтиДемидович.
Т.5. Ч.1: Дифференциальные уравнения первого порядка. СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Т.5: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Т.5 Ч.1. Изд. 10, испр.

2025. 248 с.

Серия: АнтиДемидович

Типографская бумага

Аннотация

Предлагаемое читателю "Справочное пособие по высшей математике" охватывает почти все разделы высшей математики.

В пятом томе "Дифференциальные уравнения в примерах и задачах" наряду с минимальными теоретическими сведениями содержится более 750 детально разобранных примеров, в том числе повышенной сложности. Читателю также предлагается свыше 300 упражнений с ответами для самоконтроля. Среди вопросов, нестандартных для такого... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к тому «Дифференциальные уравнения»				5
Введение				7
Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений				7
1. Основные определения				7
2. Задача Коши				8
3. Построение дифференциального уравнения по заданному семейству кривых				8
Примеры				9
Упражнения для самостоятельной работы				20
§ 1. Уравнения с разделяющимися переменными				21
1.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными				21
1.2. Разделение переменных линейной заменой аргумента				22
§ 2. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными				29
2.1. Использование геометрического смысла производной				29
2.2. Использование физического смысла производной				30
Примеры				30
§ 3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним				60
3.1. Однородное уравнение				60
3.2. Уравнение, сводимое к однородному				61
3.3. Обобщенно-однородное уравнение				61
Примеры				62
§ 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним				82
4.1. Линейное уравнение первого порядка				82
4.2. Обмен ролями между функцией и аргументом				82
4.3. Уравнения, приводимые к линейным				82
4.4. Уравнение Миндинга—Дарбу				83
Примеры				83
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель				112
5.1. Уравнение в полных дифференциалах				112
5.2. Интегрирующий множитель				113
5.3. Дифференциальное уравнение для интегрирующего множителя				114
Примеры				115
§ 6. Уравнение Эйлера—Риккати				140
6.1. Уравнение Эйлера—Риккати. Специальное уравнение Риккати				140
6.2. Каноническое уравнение Эйлера—Риккати				141
Примеры				142
§ 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной				151
7.1. Уравнение, не разрешенное относительно производной				151
7.2. Общий интеграл уравнения F(y') = 0				152
7.3. Представление решения в параметрической форме. Разрешение неполных уравнений				152
Примеры				153
§ 8. Существование и единственность решения				170
8.1. Теоремы Пикара, Пеано и Осгуда				170
8.2. Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения, не разрешенного относительно производной				171
8.3. Продолжение решения задачи Коши				172
8.4. Существование и единственность решения векторной задачи Коши				173
Примеры				174
§ 9. Особые решения				206
9.1. Особое решение. Дискриминантная кривая				206
9.2. Огибающая как особое решение				207
Примеры				208
§ 10. Задачи на траектории				220
10.1. Изогональные и ортогональные траектории				220
10.2. Эволюта и эвольвента				221
Примеры				222
Упражнения для самостоятельной работы				233
Ответы				237
Предметный указатель				239

Предисловие к тому "Дифференциальные уравнения"

Предлагаемая вниманию читателей книга по замыслу авторов призвана способствовать глубокому усвоению теории обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью подробно решенных нетривиальных примеров и задач.

Своеобразие предмета теории дифференциальных уравнений – его обширность и тесная связь с теорией пределов, теорией функций, дифференциальным и интегральным исчислениями, теорией рядов и другими разделами математики – определяет соответствующую специфику ее метода. Суть этой специфики состоит в том, что метод теории дифференциальных уравнений есть метод математического анализа. В связи с этим теорию дифференциальных уравнений не без оснований считают дальнейшим обобщением и развитием математического анализа на класс неявных функций, заданных уравнениями, содержащими независимую переменную, функцию и ее производные. Так, интегральное исчисление функции одной переменной фактически есть теория интегрирования в элементарных функциях простейшего класса дифференциальных уравнений вида y' = f(x).

Пособие охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики.

Каждый параграф книги снабжен необходимым минимумом теоретических сведений, используемых при решении соответствующих примеров. Кроме того, в книге разобраны нетрадиционные для такого рода пособий примеры по теории продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных уравнений, на применение признаков существования предельных циклов на фазовой плоскости. Каждая глава снабжена упражнениями для самостоятельной работы.

Книга содержит порядка семисот подробно решенных примеров и задач, взятых из следующих учебников и сборников задач по дифференциальным уравнениям:

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 10-е изд. М.: URSS, 2008.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1961.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. 7-е изд. М.: URSS, 2008.

Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. 7-е изд. М.: URSS, 2008.

Гудименко Ф.С., Павлюк I.А., Волкова В.О. Збiрник задач з диференцiальних рiвнянь. К., 1972.

Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике, т. II, 1958.

Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 4-е изд. М.: URSS, 2011.

Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко А.М. Сборник задач по теоретической физике. М., 1972.

Мартыненко В.С. Операционное исчисление. К., 1968.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. 6-е изд. М.: URSS, 2007.

Ляшко I.I., Боярчук О.К., Гай Я.Г., Калайда О.Ф. Диференциальнi рiвняння. К., 1981.

Головач Г.П., Калайда О.Ф. Збiрник задач з диференцiальних та iнтегральних рiвнянь. К., 1997.

Об авторах

Боярчук Алексей Климентьевич

Родился 4 февраля 1925 г. в селе Фесюры Киевской области. В феврале 1944 г. был призван в армию, участвовал в боевых действиях, награжден орденами и медалями. Окончив в 1956 г. механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко и работая на этом факультете преподавателем, защитил в 1965 г. кандидатскую диссертацию, посвященную исследованию теории разностных схем для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. С 1967 г. — доцент кафедры вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета. Автор 60 научных работ, в том числе 21 учебника и учебного пособия, изданных на нескольких языках мира. Лауреат Государственной премии Украины и награды Ярослава Мудрого АН высшей школы Украины в области науки и техники.

Головач Григорий Петрович

Родился в 1940 г. на Черниговщине. Окончил механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко. С 1966 г. работает на кафедре математики и теоретической радиофизики Киевского университета. Кандидат физико-математических наук, доцент. Основные научные работы относятся к вычислительной математике. Является соавтором монографии «Приближенные методы решения операторных уравнений» (на украинском языке), учебных пособий «Сборник задач по дифференциальным и интегральным уравнениям» (на украинском языке), «Математический анализ в примерах и задачах», а также многотомного «Справочного пособия по высшей математике».