Памяти Николая Борисовича Гофмана, павшего смертью храбрых
Существует много книг – хороших книг, – задача которых – возбудить интерес к математике. У этой книжки цель иная: удовлетворить тех, кто уже интересуется математикой, но не имеет достаточной подготовки, чтобы читать специальную литературу. Поэтому читатель не найдет здесь ни математических головоломок, ни забавных анекдотов. Книжка эта посвящена общедоступному, но серьезному изложению некоторых глав учения о целых числах. Для ее понимания достаточно знать арифметику и немного алгебры в объеме, примерно, VIII–IX классов средней школы. Дать материал для чтения начинающим учителям, студентам педтехникумов и педучилищ, а главное-старшим школьникам, работающим в математических кружках, – вот к чему стремился автор. Книга, эта ни в коем случае не является учебником. Поэтому автор, чтобы сделать ее живее, сознательно отказался от систематического изложения основ учения о числе. Но, возможно, студенты-математики увидят в ней удобный трамплин для прыжка из уютной элементарной арифметики в серьезную и чопорную теорию чисел. Автор благодарит всех, кто содействовал написанию и опубликованию этой книги. Особенно благодарен автор проф. А.Ф.Берманту, внимательно прочитавшему рукопись и давшему ряд ценных указаний. К читателям просьба: свои критические замечания и пожелания направлять автору по адресу: Москва, Орликов пер., 3, Гостехиздат. Автор
Москва
1947 г.
Натуральные числа возникают в результате счета. Вот они: один, два, три, четыре, пять, шесть и т.д. С этими числами люди познакомились на заре цивилизации; современный человек знает их если не с колыбели, то во всяком случае уже в дошкольном возрасте. Счет – первая математическая операция, с которой человечество встретилось задолго до сложения и умножения, а натуральные числа появились много раньше отрицательных и дробных. И все же, несмотря на свою привычность и повседневность, натуральные числа обладают многими свойствами, далеко не общеизвестными. Существует целая наука – Теория Чисел, – которая занимается их изучением. Наука эта обладает интересной особенностью: задачи ее кажутся простыми и понятными; о результатах ее можно рассказать всякому развитому человеку. Но путь решения задач, способы достижения результатов порою очень трудны и сплошь да рядом недоступны даже лучшим математикам. Недаром Гаусс, который является одним из величайших математиков мира, говорил, что Арифметика – царица Математики. Он имел в виду, разумеется, не элементарную арифметику, а именно Теорию Чисел, которую называют иначе Высшей Арифметикой и которая в значительной части создана трудами самого Гаусса. Натуральных чисел бесконечно много: среди них нет наибольшего. Нам это кажется ясным, потому что, если бы было наибольшее целое число, мы, прибавив к нему единицу, получили бы число еще большее. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом обосновании арифметики. В этой книжке основы арифметики (аксиомы и простейшие правила) не рассматриваются. Ряд натуральных чисел – чисел, которые служат для пересчитывания предметов – начинается с единицы, а не с нуля. Нуль вводится вместе с отрицательными числами для того, чтобы сделать операцию вычитания возможной и в тех случаях, когда вычитаемое равно или больше уменьшаемого. Положительные целые, отрицательные целые числа и нуль образуют систему целых чисел, основные правила действий над которыми рассматриваются в начале школьного курса алгебры. Здесь в основном будет говориться о свойствах натуральных чисел. Но там, где это может упростить изложение, будут использованы и отрицательные числа, и нуль. Какие же свойства натуральных чисел мы будем рассматривать? Прежде всего – различные способы их записи и обозначения, развитие и взаимную связь этих способов. Далее – вопросы, которые возникают при делении целых чисел друг на друга (делимость, общий наибольший делитель, разложение на простые множители и т.д.). В заключительных главах будут разобраны некоторые свойства простых чисел. Учением о простых числах занимались лучшие русские математики: Чебышев, Золотарев и другие. В двадцатом веке самые крупные, самые блестящие результаты в этой области были получены советскими математиками: Л.Г.Шнирельманом и, особенно, академиком И.М.Виноградовым. Об этих результатах будет рассказано в последней главе этой книжки. Вот, по существу, все, что сможет найти здесь читатель. Берман Георгий Николаевич Советский математик и педагог. Родился в семье подполковника царской армии, впоследствии служившего в Красной армии. С 1942 г. участвовал в Великой Отечественной войне, был переводчиком; награждён медалями «За отвагу» и «За боевые заслуги». После войны преподавал в технических вузах Москвы. Умер в результате тяжёлой болезни, развившейся из-за ранения, полученного на фронте. Его «Сборник задач по курсу математического анализа» был многократно переиздан и получил широкую известность. Общий тираж написанных им учебников, учебных пособий и научно-популярных книг, первые из которых вышли во второй половине 1930-х гг., превысил 6 миллионов экземпляров.
|