URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей Обложка Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей
Id: 323634
939 р.

Элементы теории математических моделей Изд. 7, обновл., испр.

2024. 304 с.
Типографская бумага
Классика преподавания сущности математических моделей в НОВОМ ОСОВРЕМЕНЕННОМ ОФОРМЛЕНИИ.

Аннотация

Настоящая книга посвящена вопросам, связанным с выбором уравнений изучаемого явления, их упрощениями и уточнениями. В работе обсуждаются понятие математической модели, ее приближенный характер, а также множественность моделей. Дана классификация моделей по различным признакам. Материал широко иллюстрируется примерами из физики и механики.

Книга предназначена для научных работников и инженеров; она может быть использована студентами при... (Подробнее)


Содержание
top
Предисловие к первому изданию7
Глава 1. Понятие математической модели. Основные требования11
1 . 1 Понятие математической модели13
1 . 2 Общая схема применения математики15
1 . 3 Множественность и единство моделей18
1 . 4 Требование адекватности21
1 . 5 Требование достаточной простоты24
1 . 6 Некоторые другие требования26
Глава 2. Типы математических моделей31
2 . 1 Структурные и функциональные модели33
2 . 2 Дискретные и непрерывные модели36
2 . 3 Линейные и нелинейные модели45
2 . 4 Линеаризация50
2 . 5 Детерминированные и вероятностные модели. Другие типы моделей56
Глава 3. Построение математической модели59
3 . 1 О содержательной модели61
3 . 2 Формулирование математической задачи64
3 . 3 Определяющие соотношения66
3 . 4 Подбор эмпирической формулы70
3 . 5 О размерностях величин74
3 . 6 Подобие объектов75
3 . 7 Конечные уравнения81
3 . 8 Уравнения для функций одного аргумента87
3 . 9 Уравнения для функций нескольких аргументов95
3.10 Задачи на экстремум с конечным числом степеней свободы102
3.11 Задачи на экстремум с искомой функцией110
3.12 О применимости математического анализа118
Глава 4. Упрощения и уточнения125
4 . 1 Рабочие гипотезы127
4 . 2 Упрощение уравнений129
4 . 3 Метод малого параметра139
4 . 4 Регулярные и сингулярные возмущения148
4 . 5 Осреднение быстро колеблющихся исходных зависимостей153
4 . 6 Анализ влияния упрощений160
Глава 5. О решениях165
5 . 1 Методы построения и исследования решений167
5 . 2 Асимптотические разложения172
5 . 3 Интегральные представления решений179
5 . 4 Автомодельные решения184
5 . 5 Решения типа бегущих и стоячих волн190
5 . 6 Фазовый портрет195
5 . 7 Обобщенные решения201
5 . 8 Выбор степени точности решения207
5 . 9 Выяснение точности решения211
5.10 Особенности процесса решения содержательных задач216
5.11 О применении компьютеров220
Глава 6. Методы самоконтроля229
6 . 1 Прикидки231
6 . 2 Контроль размерностей234
6 . 3 Другие виды контроля236
6 . 4 Роль примеров240
6 . 5 О верификации модели245
Глава 7. Распространенные ошибки249
7 . 1 Ошибки в выборе модели251
7 . 2 Влияние интерполяции и экстраполяции254
7 . 3 Ошибки в выборе метода исследования257
Добавление261
Д . 1 Вывод некоторых уравнений математической физики263
Д.1.1. Уравнение теплопроводности263
Д.1.2. Уравнение продольных упругих колебаний прямолинейного стержня265
Д.1.3. Телеграфное уравнение266
Д . 2 Дельта-функция268
Д . 3 Метод Гал¨еркина. Метод конечных элементов273
Д . 4 Итерационные методы280
Д . 5 Число степеней свободы и многомерные многообразия283
Д . 6 Локальные и интегральные характеристики полей287
Д . 7 Сплайны291
Список литературы294

Предисловие
top

Инженер или будущий инженер изучают математику для того, в первую очередь, чтобы уметь ее применять. Однако применение математики основано на понятии математической модели, которому в общем втузовском курсе математики обычно почти не уделяют внимания. Построение и исследование математических моделей важны для почти всех специальных дисциплин и используют знания из них, поэтому ряд конкретных математических моделей подробно рассматривается в соответствующих курсах. Но имеются и общие соображения, которые могут оказаться небесполезными.

В этой небольшой книге мы приведем и проиллюстрируем некоторые общие положения, связанные с понятием математической модели. Соответствующие примеры также имеют общий характер; они элементарны и взяты, в основном, из физики, динамики и т.п. Методологической основой текста является книга [6], к которой мы отсылаем интересующегося читателя за дальнейшими обсуждениями; оттуда же взяты и некоторые конкретные соображения и примеры.

Люди начали пользоваться математическими моделями еще до осознания математики как самостоятельной науки – достаточно вспомнить исчисление площадей в Древнем Египте. И.Кеплер и особенно И.Ньютон, применив математику к задачам естествознания и практики, заложили основы современного представления о математических моделях. В дальнейшем развитии науки и техники область применения математических моделей все более расширялась, модели становились разнообразнее. Значительное усложнение математических моделей, потребность в существенном ускорении решения прикладных математических задач привели к необходимости появления принципиально новых вычислительных средств, и ЭВМ, проникшие сейчас в самые разнообразные области деятельности, были впервые созданы именно для "обслуживания" математических моделей. И сейчас роль ЭВМ при изучении и применении математики столь велика, что термин математическое моделирование часто применяется по отношению к области прикладной математики, включающей в себя как построение и исследование математических моделей, так и создание вычислительных алгоритмов и программ, реализующих эти алгоритмы на ЭВМ.

Попытка сколько-нибудь подробно осветить все вопросы, связанные с понятием математической модели, привела бы к чрезмерному разбуханию книги. Поэтому я решил ограничить себя и рассмотреть только наиболее технически (не методически!) простые, но порой весьма существенные вопросы, связанные с самим написанием уравнений, их упрощением, выбором решения и т.п. Многолетняя практика преподавания во втузах, многочисленные контакты с инженерами показали мне, что эти вопросы, несмотря на их кажущуюся простоту, порой вызывают большие затруднения и нигде систематически не излагаются. Несмотря на указанное ограничение, в книге все время имеются в виду возможность, а зачастую и необходимость обращения к ЭВМ при применении математических моделей и обсуждаются некоторые возникающие при этом проблемы.

Наше изложение имеет характер неформального повествования. Думается, что это неизбежно, так как значительная часть излагаемого материала в принципе не допускает формализации. В связи с этим в книге всюду приводятся, как правило, лишь основные, неформальные соображения и схемы доказательств; более точные формулировки и полные доказательства читатель при необходимости может найти в математической литературе.

Книга предназначена, в основном, для студентов старших курсов и аспирантов втузов, а также для инженеров, сталкивающихся в своей деятельности с применением математики. Поэтому изложение опирается, как правило, на знание обычного втузовского курса математики. Некоторые математические вопросы, сейчас часто встречающиеся при построении математических моделей инженерных систем и порой недостаточно представленные во втузовских курсах математики, освещены в Добавлении к книге.

В заключение отмечу, что различные общие и особенно конкретные вопросы, связанные с понятием математической модели, можно найти во многих книгах, среди которых, не претендуя на полноту, укажу на [1, 8, 9, 11, 13, 15–17, 19, 21, 23, 25, 29, 30, 32, 33, 35–40].

Выражаю благодарность А.М.Ильину, В.Б.Колмановскому и М.А.Красносельскому за полезные замечания.


Об авторе
top
photoМышкис Анатолий Дмитриевич
Известный отечественный математик. Окон­чил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный ра­ботник высшей школы. Заслуженный соросовский профессор. Дей­ствительный член Академии нелинейных наук. Область научных интересов: дифференциальные уравнения (обыкновенные и с част­ными производными), функционально-дифференциальные уравнения, методология приложений математики, математические проблемы механики. А. Д. Мышкис был официальным руководителем 36 защи­щенных кандидатских диссертаций; семеро из их авторов стали в дальнейшем докторами наук. Был официальным оппонентом 50 докторских и около 100 кандидатских диссертаций. Является автором и соавтором 17 книг, выдержавших более 40 изданий на 10 языках, 332 научных статей, 2 авторских свидетельств, 6 официально зарегистрированных рукописей, 67 методических публикаций, 304 информационных заметок, 13 статей в газетах и журнале; был редактором и переводчиком 16 книг.