Вабищевич П.Н. Вычислительные методы математической физики:
Стационарные задачи, обратные задачи и задачи управления, нестационарные задачи. Изд. 3, испр.

2025. 624 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Аннотация

В предлагаемой читателю книге рассматриваются вопросы численного решения стационарных и нестационарных задач математической физики, обратных задач и задач управления. В задачах математической физики ищется решение уравнений с частными производными, которые дополняются граничными и начальными условиями. Можно выделить краевые задачи для эллиптических уравнений. В обратных задачах математической физики в качестве неизвестных могут... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				13
Основные обозначения				15
Часть 1. Стационарные задачи математической физики				17
Глава 1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка				19
1.1. Линейное уравнение				19
1.2. Принцип максимума				21
1.3. Краевые задачи в гильбертовом пространстве				22
1.4. Априорные оценки в гильбертовых пространствах				25
Глава 2. Построение разностных схем				27
2.1. Приближенное решение краевых задач				27
2.2. Основные понятия теории разностных схем				29
2.3. Простейшие разностные операторы				31
2.4. Метод непосредственной аппроксимации				34
2.5. Интегро-интерполяционный метод				39
2.6. Разностные схемы метода конечных элементов				43
2.7. Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации				45
Глава 3. Равномерная сходимость разностных схем				48
3.1. Каноническая форма разностного уравнения				48
3.2. Принцип максимума				49
3.3. Однозначная разрешимость разностных задач				51
3.4. Теоремы сравнения				53
3.5. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле				55
3.6. Третья краевая задача				57
Глава 4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве				60
4.1. Уравнения в конечномерном гильбертовом пространстве				60
4.2. Некоторые разностные соотношения				63
4.3. Априорные оценки и сходимость разностной задачи Дирихле				65
4.4. Неравномерные сетки и разрывные коэффициенты				70
4.5. Граничные условия третьего рода				72
Глава 5. Прямые методы решения сеточных уравнений				76
5.1. Методы решения систем линейных уравнений				76
5.2. Метод прогонки				78
5.3. Двумерная задача				80
5.4. Метод разделения переменных				82
Глава 6. Итерационные методы линейной алгебры				85
6.1. Основные понятия				85
6.2. Метод простой итерации				87
6.3. Чебышевский набор итерационных параметров				87
6.4. Метод переменных направлений				88
6.5. Двухслойные методы вариационного типа				89
6.6. Метод сопряженных градиентов				90
Глава 7. Итерационные методы решения сеточных уравнений				93
7.1. Разностная задача Дирихле				93
7.2. Двухслойный итерационный метод				94
7.3. Диагональный оператор B				95
7.4. Треугольные итерационные методы				99
7.5. Попеременно-треугольные методы				102
Глава 8. Модельные задачи конвекции-диффузии				109
8.1. Стационарные краевые задачи конвекции-диффузии				109
8.2. Свойства операторов диффузионного и конвективного переноса				110
8.3. Априорные оценки				114
8.4. Принцип максимума				115
8.5. Разностный оператор диффузионного переноса на прямоугольной сетке				116
8.6. Двумерные разностные операторы конвективного переноса				118
8.7. Априорные оценки и сходимость разностных схем				124
8.8. Принцип максимума для разностных схем				127
8.9. Монотонные схемы для задач в недивергентной форме				129
8.10. Задачи конвекции-диффузии в дивергентной форме				131
8.11. О сходимости монотонных разностных схем				132
Глава 9. Численное решение задач в нерегулярных областях				136
9.1. Криволинейные ортогональные координаты				136
9.2. Нерегулярные сетки				138
9.3. Метод фиктивных областей				141
9.4. Методы декомпозиции без наложения подобластей				144
9.5. Методы декомпозиции с наложением подобластей				148
Глава 10. Общие нерегулярные сетки				153
10.1. Треугольные сетки				153
10.1.1. Структурированные и неструктурированные сетки				153
10.1.2. Треугольные сетки				156
10.2. Разностные схемы на треугольных сетках				158
10.2.1. Схемы метода конечных элементов				158
10.2.2. Метод опорных операторов				158
10.2.3. Метод баланса (интегро-интерполяционный метод)				159
10.3. Сетки				160
10.4. Оператор диффузионного переноса				161
10.5. Разностная лемма Фридрихса				164
10.6. Операторы конвективного переноса				167
10.7. Монотонные аппроксимации				172
10.8. Дивергентные аппроксимации				174
Задачи				177
Часть 2. Нестационарные задачи математической физики				186
Глава 1. Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка				188
1.1. Линейное нестационарное уравнение				188
1.2. Принцип максимума				190
1.3. Операторная формулировка задач нестационарной теплопроводности				191
Глава 2. Разностные схемы для нестационарных задач				194
2.1. Многослойные разностные схемы				194
2.2. Каноническая форма двух- и трехслойных разностных схем				195
2.3. Устойчивость двухслойных разностных схем				196
2.4. Связь устойчивости по правой части с устойчивостью по начальным данным				197
2.5. Сходимость разностных схем для нестационарных задач				199
Глава 3. Равномерная сходимость разностных схем				201
3.1. Разностные схемы для уравнения теплопроводности				201
3.2. Погрешность аппроксимации схем с весами				203
3.3. Принцип максимума				204
3.4. Сходимость разностной схемы				205
3.5. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности				207
Глава 4. Устойчивость в конечномерных банаховых пространствах				209
4.1. Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений				209
4.2. Схема с весами				211
4.3. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения				213
Глава 5. Двухслойные операторно-разностные схемы				214
5.1. Устойчивость по начальным данным				214
5.2. Устойчивость по правой части				217
5.3. Схемы с весами				219
Глава 6. Трехслойные операторно-разностные схемы				221
6.1. Устойчивость по начальным данным				221
6.2. Переход к двухслойной схеме				223
6.3. -устойчивость трехслойных схем				225
6.4. Оценки в более простых нормах				227
6.5. Устойчивость по правой части				228
6.6. Схемы с весами для уравнений первого порядка				229
6.7. Схемы с весами для уравнений второго порядка				231
Глава 7. Устойчивость проекционно-разностных схем				232
7.1. Введение				232
7.2. Устойчивость схем конечных элементов				233
7.3. Устойчивость проекционно-разностных схем				236
7.4. Условия -устойчивости проекционно-разностных схем				238
7.5. Схемы с весами				240
7.6. Устойчивость по правой части				242
7.7. Устойчивость трехслойных проекционно-разностных схем по начальным данным				243
7.8. Устойчивость по правой части				245
7.9. Схема с весами для эволюционного уравнения первого порядка				246
Глава 8. Разностные схемы для уравнения переноса				248
8.1. Введение				248
8.2. Дифференциальные задачи				249
8.3. Разностные операторы конвективного переноса				255
8.4. Двухслойные разностные схемы				261
8.5. Трехслойные разностные схемы				264
8.6. Схемы с направленными разностями для уравнений переноса				268
8.7. Монотонные и консервативные разностные схемы				273
Глава 9. Нестационарные задачи конвекции-диффузии				276
9.1. Дифференциальные задачи				276
9.2. Дифференциально-разностная задача				280
9.3. Двухслойные разностные схемы				283
9.4. Сходимость разностных схем				290
9.5. Трехслойные схемы для задач конвекции-диффузии				292
9.6. Устойчивость в банаховых пространствах				294
9.7. Монотонные разностные схемы				297
Глава 10. Аддитивные схемы двухкомпонентного расщепления				299
10.1. Аддитивные разностные схемы				299
10.2. Схема Писмена—Рекфорда				302
10.3. Устойчивость схемы переменных направлений				303
10.4. Точность схемы переменных направлений				304
10.5. Другие схемы переменных направлений				305
10.6. Факторизованные схемы				306
10.7. Устойчивость и точность факторизованных схем				307
10.8. Попеременно-треугольный метод				309
10.9. Исследование устойчивости и сходимости				310
10.10. Трехслойные аддитивные схемы				311
Глава 11. Аддитивные схемы суммарной аппроксимации				314
11.1. Схемы покомпонентного расщепления				314
11.2. Оценки решений промежуточных задач				315
11.3. Устойчивость схем покомпонентного расщепления				316
11.4. Сходимость схем покомпонентного расщепления				318
11.5. Сходимость аддитивных схем в банаховых пространствах				319
11.6. Аддитивно-усредненные схемы				320
11.7. Аддитивные схемы второго порядка точности				322
Глава 12. Регуляризованные аддитивные схемы				324
12.1. Принцип регуляризации разностных схем				324
12.2. Аддитивная регуляризация				325
12.3. Мультипликативная регуляризация				327
12.4. Задача Коши для уравнения первого порядка				328
12.5. Регуляризация аддитивных схем				329
12.6. Устойчивость и сходимость				330
12.7. Регуляризованные и аддитивно-усредненные схемы				332
12.8. Схемы повышенного порядка точности				333
12.9. Регуляризованные схемы				335
12.10. Разностные схемы для уравнений второго порядка				337
12.11. Регуляризованные схемы				338
Глава 13. Схемы декомпозиции области				341
13.1. Общее описание методов декомпозиции области				341
13.2. Модельная параболическая задача				342
13.3. Декомпозиция области				343
13.4. Операторы декомпозиции области				347
13.5. Регионально-аддитивные схемы				348
13.6. Точность разностного решения				350
13.7. Регионально-аддитивные схемы многокомпонентного расщепления				352
13.8. Сходимость схем декомпозиции				355
Глава 14. Разностные схемы для решения нестационарных векторных задач				359
14.1. Введение				359
14.2. Постановка задачи				361
14.3. Оценки решения дифференциальных задач				363
14.4. Аппроксимация по пространству				365
14.5. Схемы с весами				366
14.6. Попеременно-треугольный метод				368
Задачи				371
Часть 3. Обратные задачи математической физики				381
Глава 1. Прямые и обратные задачи математической физики				382
1.1. Краевые задачи				382
1.2. Корректные задачи для уравнений с частными производными				385
1.3. Некорректные задачи				391
1.4. Классификация обратных задач математической физики				394
Глава 2. Метод регуляризации А. Н. Тихонова для решения некорректных задач				398
2.1. Постановка задачи				398
2.2. Вариационный метод				399
2.3. Сходимость метода регуляризации				400
2.4. Скорость сходимости метода регуляризации				402
2.5. Выбор параметра регуляризации				405
2.6. Метод невязки				407
Глава 3. Итерационные методы решения некорректных задач				409
3.1. Особенности применения итерационных методов				409
3.2. Итерационное решение некорректной задачи				410
3.3. Оценки скорости сходимости				412
3.4. Обобщения				414
Глава 4. Восстановление правой части стационарных задач по известному решению				416
4.1. Постановка задачи				416
4.2. Разностные алгоритмы				417
4.3. Регуляризация по А. Н. Тихонову				420
4.4. Другие алгоритмы				422
Глава 5. Идентификация правой части параболического уравнения				424
5.1. Модельная задача				424
5.2. Глобальная регуляризация				425
5.3. Локальная регуляризация				427
5.4. Итерационное решение задачи идентификации				429
Глава 6. Восстановление зависимости правой части от времени				432
6.1. Обратная задача				432
6.2. Краевая задача для нагруженного уравнения				433
6.3. Разностная схема				434
6.4. Сеточная нелокальная задача				435
Глава 7. Идентификация постоянной правой части параболического уравнения				437
7.1. Постановка задачи				437
7.2. Оценка устойчивости				438
7.3. Разностная задача				440
7.4. Решение сеточной задачи				442
Глава 8. Восстановление правой части эллиптического уравнения по данным граничных наблюдений				445
8.1. Постановка обратной задачи				445
8.2. Единственность решения обратной задачи				446
8.3. Разностная задача				447
8.4. Решение сеточной задачи				451
Глава 9. Нелокальное возмущение начальных условий				454
9.1. Постановка задачи				454
9.2. Общие методы решения некорректных эволюционных задач				455
9.3. Возмущение начальных условий				457
9.4. Сходимость приближенного решения к точному				460
9.5. Эквивалентность нелокальной задачи и задачи оптимального управления				463
9.6. Разностные нелокальные задачи				466
Глава 10. Регуляризованные разностные схемы				470
10.1. Принцип регуляризации разностных схем				470
10.2. Задача с обратным временем				474
10.3. Метод квазиобращения				476
10.4. Регуляризованные аддитивные схемы				484
Глава 11. Итерационное решение ретроспективной задачи				489
11.1. Постановка задачи				489
11.2. Разностная задача				490
11.3. Итерационное уточнение начального условия				490
Глава 12. Эволюционное уравнение второго порядка				494
12.1. Модельная задача				494
12.2. Эквивалентное уравнение первого порядка				495
12.3. Возмущение начальных условий				497
12.4. Возмущение уравнения				500
12.5. Регуляризованные разностные схемы				503
Глава 13. Продолжение нестационарных полей по данным точечных наблюдений				508
13.1. Постановка задачи				508
13.2. Вариационная задача				509
13.3. Сеточная задача				511
13.4. Численное решение сеточной задачи				513
Глава 14. Продолжение по пространственной переменной в граничной обратной задаче				516
14.1. Постановка задачи				516
14.2. Метод квазиобращения				518
14.3. Разностные схемы метода квазиобращения				521
Глава 15. Нелокальное возмущение граничных условий				525
15.1. Модельная задача				525
15.2. Нелокальная краевая задача				526
15.3. Локальная регуляризация				526
15.4. Разностная нелокальная задача				529
Глава 16. Идентификация граничного режима в двумерной задаче				531
16.1. Постановка задачи				531
16.2. Итерационный метод				532
16.3. Сеточная задача				535
16.4. Итерационное уточнение граничного условия				537
Глава 17. Коэффициентная обратная задача для нелинейного параболического уравнения				541
17.1. Постановка задачи				541
17.2. Функциональная оптимизация				542
17.3. Параметрическая оптимизация				545
17.4. Сеточная задача				549
Глава 18. Коэффициентная обратная задача для эллиптического уравнения				552
18.1. Постановка задачи				552
18.2. О единственности решения обратной задачи				553
18.3. Сеточная обратная задача				555
18.4. Итерационное решение обратной задачи				557
Задачи				560
Часть 4. Задачи управления				567
Глава 1. Численные методы решения вариационных задач				569
1.1. Вариационная формулировка краевых задач				569
1.2. Задачи управления				572
1.3. Условия оптимальности				573
1.4. Численное решение задач без ограничений				575
1.5. Решение задач оптимизации с ограничениями				577
1.6. Метод штрафа				578
Глава 2. Управление источниками в стационарных задачах				579
2.1. Постановка задачи				579
2.2. Градиент функционала				580
2.3. Разностная задача				582
2.4. Решение сеточной задачи				584
2.5. Градиентный метод				586
2.6. Задачи управления с ограничениями				587
2.7. Задачи с геометрическими ограничениями				589
2.8. Точечное управление				590
Глава 3. Управление источниками в нестационарных задачах				593
3.1. Нестационарная задача управления				593
3.2. Условия оптимальности				594
3.3. Разностная задача				596
3.4. Итерационный метод				598
3.5. Другие задачи управления				599
Глава 4. Управление граничными режимами				600
4.1. Управление потоком на границе				600
4.2. Разностная задача				602
4.3. Управление решением на границе				604
4.4. Граничный контроль				605
4.5. Нестационарные задачи				606
Глава 5. Задачи финального наблюдения				608
5.1. Задача оптимизации конечного температурного состояния				608
5.2. Разностная задача				610
5.3. Экономичные схемы				612
5.4. Граничное управление				613
5.5. Упрощенная оптимизация				614
Задачи				616
Литература				618
Предметный указатель				621

Об авторе

Вабищевич Петр Николаевич

Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области вычислительной математики и математического моделирования. Работает в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова и Северо-Восточном федеральном университете имени М. К. Аммосова (г. Якутск). П. Н. Вабищевич разработал новые эффективные вычислительные алгоритмы для численного решения многомерных задач математической физики, внёс большой вклад в разработку методов численного решения обратных задач математической физики. Созданные им методы применяются при решении прикладных проблем механики сплошной среды, тепло- и массопереноса. Автор более 300 научных работ, в том числе нескольких монографий и учебных пособий, обладатель более 10 патентов РФ.

Вабищевич П.Н. Вычислительные методы математической физики: Стационарные задачи, обратные задачи и задачи управления, нестационарные задачи. Изд. 3, испр.

Аннотация

Вабищевич П.Н. Вычислительные методы математической физики:
Стационарные задачи, обратные задачи и задачи управления, нестационарные задачи. Изд. 3, испр.