Из предисловия автора к первому изданию |
Предисловие автора к седьмому изданию |
Предисловие автора к девятому изданию |
ГЛАВА I. | ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ |
| 1-2 | Рациональные числа |
| 3-7 | Иррациональные числа |
| 8 | Действительные числа |
| 9 | Соотношения величины между действительными числами |
| 10-11 | Алгебраические действия над действительными числами |
| 12 | Число sqrt(2) |
| 13-14 | Квадратичные иррациональности |
| 15 | Континуум |
| 16 | Непрерывное действительное переменное |
| 17 | Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда |
| 18 | Точки накопления |
| 19 | Теорема Вейерштрасса |
| Разные примеры |
ГЛАВА II. | ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
| 20 | Понятие функции |
| 21 | Графическое представление функций. Координаты |
| 22 | Полярные координаты |
| 23 | Полиномы |
| 24-25 | Дробно-рациональные функции |
| 26-27 | Алгебраические функции |
| 28-29 | Трансцендентные функции |
| 30 | Графическое решение уравнений |
| 31 | Функции от двух переменных и их графическое представление |
| 32 | Кривые на плоскости |
| 33 | Геометрические места в пространстве |
| Разные примеры |
ГЛАВА III. | КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА |
| 34-38 | Смещения |
| 39-42 | Комплексные числа |
| 43 | Квадратное уравнение с действительными коэффициентами |
| 44 | Диаграмма Аргана |
| 45 | Теорема Муавра |
| 46 | Рациональные функции комплексного переменного |
| 47-49 | Корни из комплексных чисел |
| Разные примеры |
ГЛАВА IV. | ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА |
| 50 | Функции целочисленного положительного аргумента |
| 51 | Интерполяция |
| 52 | Конечные и бесконечные классы |
| 53-57 | Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n |
| 58-61 | Определение предела и другие определения |
| 62 | Колеблющиеся функции |
| 63-68 | Общие теоремы о пределах |
| 69-70 | Монотонно возрастающие или убывающие функции |
| 71 | Другое доказательство теоремы Вейерштрасса |
| 72 | Предел xn |
| 73 | Предел (1 + 1/n)n |
| 74 | Некоторые алгебраические леммы |
| 75 | Предел n(sqrtnx - 1) |
| 76-77 | Бесконечные ряды |
| 78 | Бесконечная геометрическая прогрессия |
| 79 | Представление функций от непрерывного действительного переменного с помощью пределов |
| 80 | Грани ограниченной совокупности |
| 81 | Грани ограниченной функции |
| 82 | Верхний и нижний пределы ограниченной функции |
| 83-84 | Общий признак сходимости |
| 85-86 | Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными членами |
| 87-88 | Приложения к zn и к геометрической прогрессии |
| 89 | Символы О, о, tilde |
| Разные примеры |
ГЛАВА V. | ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЭГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ |
| 90-92 | Пределы при x –> oo или x –> –oo |
| 93-97 | Пределы при x –> a |
| 98 | Символы О и о, tilde: порядки малости и роста |
| 99-100 | Непрерывные функции действительного переменного |
| 101-105 | Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции. Колебание функции в интервале |
| 106-107 | Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне – Бореля |
| 108 | Непрерывные функции нескольких переменных |
| 109-110 | Неявные и обратные функции |
| Разные примеры |
ГЛАВА VI. | ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ |
| 111-113 | Производные |
| 114 | Общие правила дифференцирования |
| 115 | Производные комплексно-значных функций |
| 116 | Обозначения дифференциального исчисления |
| 117 | Дифференцирование многочленов |
| 118 | Дифференцирование дробно-рациональных функций |
| 119 | Дифференцирование алгебраических функций |
| 120 | Дифференцирование трансцендентных функций |
| 121 | Повторное дифференцирование |
| 122 | Общие теоремы о производных. Теорема Ролля |
| 123-125 | Максимумы и минимумы |
| 126-127 | Теорема о среднем значении |
| 128 | Теорема Коши о среднем значении |
| 129 | Теорема Дарбу |
| 130-131 | Интегрирование. Логарифмическая функция |
| 132 | Интегрирование многочленов |
| 133-134 | Интегрирование дробно-рациональных функций |
| 135-142 | Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование рационализацией. Интегрирование по частям |
| 143-147 | Интегрирование трансцендентных функций v |
| 148 | Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми |
| 149 | Длины плоских кривых |
| Разные примеры |
ГЛАВА VII. | ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
| 150-151 | Теорема Тейлора |
| 152 | Ряд Тейлора |
| 153 | Приложения теоремы Тейлора к теории максимумов и минимумов |
| 154 | Вычисление некоторых пределов |
| 155 | Касание плоских кривых |
| 156-158 | Дифференцирование функций нескольких переменных |
| 159 | Теорема о среднем для функций двух переменных |
| 160 | Дифференциалы |
| 161-162 | Определенные интегралы |
| 163 | Тригонометрические функции |
| 164 | Вычисление определенного интеграла как предела суммы |
| 165 | Общие свойства определенного интеграла |
| 166 | Интегрирование по частям и подстановкой |
| 167 | Другое доказательство теоремы Тейлора |
| 168 | Приложение к биномиальному ряду |
| 169 | Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона |
| 170 | Интегралы от комплексно-значных функций |
| Разные примеры |
ГЛАВА VIII. | СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
| 171-174 | Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера |
| 175 | Признаки, основанные на отношениях следующих друг за другом членов |
| 176 | Теорема Дирихле |
| 177 | Умножение рядов с положительными членами |
| 178-180 | Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интегральный признак Маклорена |
| 181 | Ряды sum n–s |
| 182 | Признак сгущения Коши |
| 183 | Дальнейшие признаки, основанные на отношениях |
| 184-189 | Несобственные интегралы |
| 190 | Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены. |
| 191-192 | Абсолютно сходящиеся ряды |
| 193-194 | Условно сходящиеся ряды |
| 195 | Знакочередующиеся ряды |
| 196 | Признаки сходимости Абеля и Дирихле |
| 197 | Ряды с комплексными членами |
| 198-201 | Степенные ряды |
| 202 | Умножение рядов |
| 203 | Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы |
| Разные примеры |
ГЛАВА IX. | ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
| 204-205 | Логарифмическая функция |
| 206 | Функциональное уравнение для ln x |
| 207-209 | Поведение ln x при x стремящемся к бесконечности или к нулю |
| 210 | Логарифмическая шкала порядков роста |
| 211 | Число e |
| 212-213 | Показательная функция |
| 214 | Общая показательная функция ax |
| 215 | Представление ex в виде предела |
| 216 | Представление ln x в виде предела |
| 217 | Обыкновенные логарифмы |
| 218 | Логарифмические признаки сходимости |
| 219 | Экспоненциальный ряд |
| 220 | Логарифмический ряд |
| 221 | Ряд для arc tg x |
| 222 | Биномиальный ряд |
| 223 | Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций |
| 224-226 | Аналитическая теория тригонометрических функций |
| Разные примеры |
ГЛАВА X. | ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
| 227-228 | Функции комплексного переменного |
| 229 | Криволинейные интегралы |
| 230 | Определение логарифмической функции |
| 231 | Значения логарифмической функции |
| 232-234 | Показательная функция |
| 235-236 | Общая показательная функция а |
| 237-240 | Тригонометрические и гиперболические функции |
| 241 | Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями |
| 242 | Экспоненциальный ряд |
| 243 | Ряды для cos z и sin z |
| 244-245 | Логарифмический ряд |
| 246 | Представление показательной функции в виде предела |
| 247 | Биномиальный ряд |
| Разные примеры |
Приложение I. Неравенства Гельдера и Минковского |
Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень |
Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах |
Приложение IV. Бесконечное в анализе и в геометрии |
Эта книга написана в первую очередь для студентов первых
курсов университетов, способности которых приближаются к тому
уровню, который обычно требуется для получения стипендии. Я надеюсь,
что она окажется полезной и для другого круга читателей,
но в основном я учитывал интересы именно этого круга. Во всяком
случае эта книга написана для математиков; я нигде не пытался
итти навстречу студентам технических специальностей, и вообще
не принимал во внимание запросов тех читателей, чьи интересы не являются
в первую очередь математическими.
Я рассматриваю эту книгу как действительно элементарную. В ней
содержится много трудных примеров (преимущественно в конце
глав); такие примеры я снабжал, где это было возможно с точки
зрения объема, указаниями к решению. Но я всячески старался избегать
действительно трудных понятий. Например, равномерная сходимость,
двойные ряды, бесконечные произведения даже не упоминаются
в этой книге; я не доказываю никаких общих теорем относительно
перестановки предельных переходов.
В последних двух главах иногда интегрируется степенной
ряд, но я ограничиваюсь только простейшими случаями и для
каждого из них провожу специальное исследование.
В этом издании книга подверглась самым серьезным изменениям
со времени второго издания. Я воспользовался тем, что книга заново
набиралась, и это дало мне возможность свободно изменять ее
содержание.
Бывшее Приложение II (относительно обозначений "О, о и tilde")
я включил в соответствующих местах в текст книги. Заново написаны
части глав VI и VII, относящиеся к элементарным свойствам
производных. Здесь я следую курсу де ла Валле-Пуссена; эта часть
книги несомненно значительно улучшена. Эти важные изменения
повлекли за собой, конечно, много других более мелких исправлений.
Я включил большое число новых примеров из числа задач, предлагавшихся
на экзаменах в Кэмбридже за последние 20 лет, которые
будут полезны кэмбриджским студентам. Эти задачи были подобраны
для меня Лявом (E.R.Love), который прочел также все гранки
и исправил много ошибок.
Общий план книги остался без изменений. Внимательно перечитывая
книгу впервые за 20 лет, я неоднократно испытывал желание
произвести в ней более радикальные изменения как в содержании, так
и в стиле. Она была написана в то время, когда в Кэмбридже пренебрегали
математическим анализом, и ее патетический стиль кажется теперь
немного смешным. Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже
не писал (по выражению проф. Литтльвуда) как "проповедник, разговаривающий
с каннибалами", а значительно суше и с соответствующей
сдержанностью. Более того, я писал бы гораздо короче и смог бы включить значительно больше материала. Книга приняла бы
характер обычного курса анализа.
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем,
и возможно, что это к лучшему, так как, вероятно, я написал бы
значительно лучшую, но гораздо менее оригинальную книгу. Эта
книга была бы не так полезна в качестве введения к руководствам
по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
В результате критических замечаний, сделанных проф. Г.Дэвенпортом
(Н. Davenport), я изменил некоторые места в первых двух
главах. В остальном текст остался без изменений, за исключением
исправления нескольких незначительных ошибок и включения небольшого
числа дополнительных ссылок.
Известен своими исследованиями по теории чисел и теории функций.
Большинство работ выполнил совместно с Дж. Литлвудом. В теории чисел
занимался диофантовыми приближениями и, в частности, вопросами распределения
дробных долей, аддитивной теорией чисел, теорией простых чисел и теорией
дзета-функции. В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов
и исследованием неравенств. Ряд трудов посвящен теории интегральных преобразований
и интегральных уравнений. Ему принадлежат также работы по генетике.