|
|
|
| Предисловие | 5
|
| Глава I. Рациональные числа | 7
|
| § 1. Основные законы действий над числами | 7
|
| § 2. Скалярные числовые поля и их свойства | 8
|
| § 3. Свойства обратных операций в числовом поле | 11
|
| § 4. Система рациональных чисел как минимальное скалярное числовое поле | 14
|
| § 5. Аксиоматика натурального ряда | 15
|
| § 6. Действия над натуральными числами | 17
|
| § 7. Обобщение понятия числа. Метод пар | 20
|
| § 8. Теория целых чисел как пар натуральных чисел | 22
|
| § 9. Теория рациональных чисел как пар целых чисел | 25
|
| § 10. Действительные числа | 28
|
| Глава II. Теория делимости и алгорифм Евклида | 31
|
| §11. Отношение делимости и его простейшие свойства | 31
|
| § 12. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное двух чисел | 33
|
| § 13. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное нескольких чисел | 36
|
| § 14. Теория делимости в поле рациональных чисел | 38
|
| § 15. Алгорифм Евклида | 41
|
| § 16. Элементарная теория непрерывных дробей | 46
|
| §17. Неопределенные уравнения первой степени с двумя неизвестными | 52
|
| Глава III. Простые числа | 60
|
| § 18. Разложение на первоначальные множители | 60
|
| § 19. Разложение больших чисел на множители | 62
|
| § 20. Теорема Вильсона | 62
|
| § 21. Критерии Эйлера | 64
|
| § 22. Следствия теоремы о разложении на первоначальные множители | 69
|
| § 23. Числовая функция Эйлера | 76
|
| § 24. Решето Эратосфеиа | 81
|
| §. 25. Формула Лежандра | 83
|
| § 26. Вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду | 91
|
| § 27. О порядке величины π(х) при х→со | 104
|
| Глава IV. Задачи аддитивной теории чисел | 117
|
| § 28. Разбиение чисел на слагаемые | 117
|
| § 29. Теорема Эйлера-Лежандра | 119
|
| § 30. Рекуррентные соотношения, вытекающие из теоремы Эйлера-Лежандра | 124
|
| § 31. Разложение натуральных чисел на сумму двух квадратов | 127
|
| § 32. Разложение натуральных чисел на сумму четырех квадратов | 130
|
| § ЗЗ. Проблема Вариига | 134
|
| Глава V. Теория сравнений | 137
|
| § 34. Понятие о сравнении. Классы равноостаточных чисел по данному модулю | 137
|
| § 35. Основные свойства сравнений. Операции сложения и умножения по данному модулю. Признаки делимости чисел | 140
|
| § 36. Операция деления. Делители нуля. Приведенная система вычетов | 144
|
| § 37. Решение сравнений первой степени | 147
|
| § 38. Дроби по простому модулю | 151
|
| § 39. Теоремы Ферма и Эйлера. Приложения к решению сравнений первой степени | 155
|
| § 40. О числе решений сравнений высших степеней | 158
|
| § 41. Степенные вычеты | 160
|
| § 42. Первообразные корни простого модуля | 162
|
| § 43. Первообразные корни модуля ра | 165
|
| § 44. Теория индексов и ее приложения | 166
|
| § 45. Приложения теории степенных вычетов к выводу признаков делимости | 171
|
| § 46. Периодические дроби, получающиеся при обращении простых Дробей в десятичные | 173
|
| § 47. Сравнения по функциональному и двойному модулю | 182
|
| Глава VI Рациональные приближения иррациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа | 183
|
| § 48. Введение | 183
|
| § 49. Представление иррациональных чисел непрерывными дробями | 185
|
| § 50. Эквивалентные числа | 190
|
| § 51. Рациональные приближения действительных чисел и подходящие дроби | 193
|
| § 52. Уравнение Пелля | 201
|
| § 53. Разложение квадратических иррациональностей в непрерывную дробь | 203
|
| § 54. Решение уравнения Пелля | 208
|
| § 55. Рациональные приближения алгебраических чисел | 211
|
| § 56. Трансцендентность чисел e и π | 217
|
| Глава VII. Неопределенные уравнения высших степеней | 225
|
| § 57. Положительные квадратичные формы | 225
|
| § 58. Неопределенные квадратичные формы | 234
|
| § 59. Задача Ферма | 240
|
| Приложения | 248
|
| Краткий асторико-биографический справочник | 248
|
| Упражнения | 254
|
| Числовые таблицы | 269
|
Предметом теории чисел является, как известно, изучение специфических свойств целых чисел. Сюда относятся: соотношения делимости, свойства простых чисел, решение неопределенных уравнений в целых числах и т. п. В настоящей книге, предназначенной в первую очередь для педвузов, в первой главе рассматриваются, в соответствии с программой, вопросы несколько иного порядка, относящиеся скорей к теоретической арифметике, а именно: логическое обоснование и обобщение понятия числа в связи с общим аксиоматическим определением скалярного (расположенного) числового поля. Во второй главе, в связи с той же целевой установкой, несколько подробнее, чем это было бы нужно для теории чисел в собственном смысле этого слова, рассматриваются свойства общего наибольшего делителя и наименьшего кратного двух и нескольких чисел и элементарные приемы решения неопределенных уравнений первой степени. Таким образом, при желании возможно быстрее перейти к третьей главе читатель может ограничиться из материала первых двух глав ознакомлением с § 11, 15, 16 и с основной частью § 17.
При составлении остальной части книги в выборе материала и способа изложения я руководствовался следующими соображениями. Содержание теории чисел как самостоятельной научной дисциплины отнюдь не исчерпывается теми вопросами, которые в большинстве курсов объединяются в систематическом порядке в связи с более или менее подробным изложением теории сравнений. По существу эта последняя является лишь подсобным аппаратом теории чисел в более широком смысле слова, и сухое изложение относящихся сюда положений вряд ли способно дать представление о действительном характере всей дисциплины в целом и пробудить живой интерес к ее задачам и методам. С другой стороны, для будущих преподавателей весьма существенно возможно более широкое ознакомление как с достигнутыми в настоящее время результатами, так и с примыкающими к ним отдельными частными вопросами, допускающими элементарную трактовку, а потому я и считал целесообразным принять следующий план изложения. Отводя сравнительно подчиненное место аппарату теории сравнений, я, уже начиная с третьей главы, стремился ознакомить читателя с возможно большим количеством конкретных теоретико-числовых фактов, допускающих элементарное изложение, а в тех случаях, когда провести доказательство полностью не представлялось возможным, пытался дать читателю представление о соответствующих результатах в обзорном порядке. При этом изложение ведется так, что выделение обязательного по программе минимального материала не должно представить никаких затруднений. Дополнительный же материал может быть выбираем со значительной степенью произвола, в зависимости от условий чтения курса или направления интересов читателя. Следует, однако, иметь в виду, что к концу книги (гл. VI и § 57, 58) характер излагаемых вопросов несколько усложняется и самостоятельное чтение может потребовать от читателя большей затраты усилий, нежели в начале.
Прилагаемый в конце краткий исторический справочник не претендует на полноту и однородность, а имеет в виду лишь осветить основные моменты развития теории чисел в рамках тех вопросов, которые были затронуты в книге.
Отдел упражнений содержит задачи разной степени трудности, требующие, однако, для решения применения лишь элементарных приемов.
Замечу в заключение, что соответствующие отделы этой книги полностью включают в себя содержание двух последних глав первого издания моей книги „Теоретическая арифметика", во втором издании которой эти главы опущены.
И. Арнольд,
Москва, февраль, 1939.
Арнольд Игорь Владимирович Известный математик и методист. Доктор педагогических наук, профессор, член-корреспондент АПН РСФСР. Отец выдающегося математика В. И. Арнольда. Родился в Харькове, в семье экономиста и статистика В. Ф. Арнольда. В 1918–1921 гг. учился на математическом отделении Новороссийского университета. В 1922 г. начал преподавательскую деятельность в институтах Одессы. В 1924 г. переехал в Москву и поступил на математическое отделение Московского университета, которое окончил в 1929 г. В 1929–1932 гг. — аспирант Научно-исследовательского института при МГУ; участвовал в семинарах видных ученых — А. Я. Хинчина, С. А. Яновской, приезжавшей в Москву из Германии Эмми Нётер. С 1933 г. — ассистент, позднее доцент и, наконец, исполняющий обязанности профессора математики Физического института МГУ. В 1935 г. удостоен степени кандидата физико-математических наук; в 1941 г. защитил докторскую диссертацию по методике математики. В 1944 г. был избран по конкурсу заведующим кафедрой высшей математики Московского института стали; одновременно читал лекции на физическом факультете МГУ.
Основные научные интересы И. В. Арнольда относились к области методики преподавания математики в средней и высшей школе. Он обосновал цели преподавания арифметики в средней школе, предложил доступную учащимся методику преподавания отрицательных чисел, развил учение о показательной и логарифмической функциях, сформулировал принципы отбора и составления арифметических задач. Им были написаны учебники и учебные пособия по арифметике и алгебре, благодаря которым соответствующие курсы в педагогических институтах стали преподаваться на более высоком, чем прежде, научно-педагогическом уровне.
|
|
|
|
