Оглавление | 3
|
Принятые сокращения | 6
|
Предисловие (Е. М. Морозов) | 7
|
Введение | 8
|
Часть 1. Гибридные функции | 13
|
1.1. Гибридные функции первого рода | 13
|
1.2. Цепные гибридные функции первого рода | 18
|
1.3. Гибридные функции второго рода | 18
|
1.4. Цепные гибридные функции второго рода | 20
|
1.5. Смешанные гибридные функции | 21
|
1.6. Обратные гибридные функции | 21
|
1.7. Интерпретация гибридных функций | 25
|
1.8. Обратная связь | 26
|
1.9. Программирование и гибридные функции | 28
|
Часть 2. Необратимость и катастрофы. Аппроксимация экспериментальных переходов | 32
|
2.1. Необратимость нелинейных процессов | 32
|
2.2. Бифуркационное дифференциальное уравнение | 35
|
2.3. Катастрофы | 38
|
2.3.1. Математическая катастрофа | 38
|
2.3.2. Катастрофа в системе «пружинка – маятник» | 41
|
2.4. Аппроксимация переходных процессов | 46
|
2.4.1. Переход от ламинарного течения к турбулентному | 47
|
2.4.2. Катастрофа (бифуркация) на переходе в сверхзвук | 48
|
2.4.3. Вольт-амперная характеристика туннельного диода | 50
|
2.5. Математические мутации | 52
|
2.6. Единичная функция и операции над гибридными функциями | 54
|
2.6.1. Единичная функция | 54
|
2.6.2. Операции над гибридными функциями | 54
|
Часть 3. Обратные задачи аналитической геометрии | 57
|
3.1. Отрезок и антиотрезок | 58
|
3.2. Угол и антиугол | 60
|
3.3. Треугольник и антитреугольник | 62
|
3.4. Три ипостаситреугольника | 64
|
3.5. Окружность и антиокружность | 74
|
Часть 4. Фракталы | 78
|
4.1. Кривая Коха | 79
|
4.2. Снежинка Коха | 82
|
4.3. Фрактал Серпинского | 85
|
4.4. Фрактальная ёлка | 87
|
4.5. Алфавит. Буквы и цифры | 92
|
Часть 5. Архитектура | 96
|
5.1. Дом | 96
|
5.2. Портик | 99
|
5.3. Колокольня | 101
|
Часть 6. Гибридные функции в гуманитарных науках | 106
|
6.1. Отрицательное сопротивление | 106
|
6.2. Рост и ограничение народонаселения | 107
|
6.2.1. Гиперболический закон | 107
|
6.3.2. Моделирование роста населения на основе экспоненты | 108
|
6.3.3. Рост населения на основе последних данных | 110
|
6.3. Изменение концепции развития предприятия или страны | 111
|
6.4. Бифуркация в РАН РФ | 112
|
6.5. Экономическая катастрофа | 114
|
6.6. Внешнее управление государством | 115
|
6.7. Экология | 117
|
6.7.1. Геометрическая модель «река – дельта – море» | 117
|
6.7.2. Динамическая модель «река – дельта – море» | 121
|
6.8. Миграция населения | 121
|
Часть 7. Дополнения | 124
|
7.1. Задача по символьному программированию | 124
|
7.1.1. Описывающий треугольник | 124
|
7.1.2. Вписанный треугольник | 127
|
7.2. Гибридные функции в полярной системе координат | 130
|
7.2.1. Дифференцирование и интегрирование гибридных функций | 132
|
7.3. Деструкция гибридных систем | 138
|
7.4. Трехмерные структуры | 147
|
7.4.1. Математическая модель чаши и основания фонтана | 147
|
7.4.2. Круглая пирамида | 149
|
7.5. Сложные управляющие комплексы | 150
|
7.5.1. Векторные управляющие комплексы | 150
|
7.5.2. Функциональные управляющие комплексы | 154
|
7.6. Башня В.Г. Шухова | 158
|
7.7. Стохастическая модель возникновения порядка из хаоса | 166
|
7.8. Прямая и обратная линейная перспектива | 170
|
7.9. Переползающий червь | 175
|
7.10. Термодинамические циклы | 180
|
7.11. Преобразование пекаря | 184
|
Заключение | 196
|
Благодарности | 200
|
Литература | 201
|
Первое (поверхностное) знакомство с содержанием данной книги ввергает читателя в некое потрясение, связанное с разнообразием тем и вопросов, отраженных в перечне параграфов. Наряду с обычными (и привычными) математическими терминами мы видим такие понятия, как «рост населения», «управление государством», «притоки и дельта рек, «состояние дел в Российской академии наук», «миграция» и т.п. Понятия, казалось бы, не имеющие никакого отношения к математике. Но оказывается, коль скоро (по тем или иным причинам), происходит смена действия (или обстоятельств), приводящее к потере устойчивости исходного состояния объекта (или явления) с переходом в другое состояние, то возникает возможность математического описания этого перехода (по терминологии автора – бифуркация). Причем физическое или техническое содержание этих состояний не имеет значения. А, поэтому, размерности объектов исходного состояния и последующего (после перехода) могут быть разными, что и объясняет введенное автором прилагательное «гибридные». Большая заслуга автора состоит в создании математического приема для описания перехода (бифуркации) от одного состояния к другому с помощью введения функции, названной автором «управляющая функция» или «переключатель).
Прикладное значение введенного математического аппарата в виде гибридных функций трудно переоценить. Предложенный математический аппарат естественным образом вкладывается в методы и представления, используемые при описании эффектов необратимости. процессов самоорганизации в синергетике, что довольно подробно обсуждается автором во введении. Вне всякого сомнения, можно заявить, что мы присутствуем при возникновении нового раздела прикладной математики – переходные состояния (бифуркационные модели) в теории функций.
Е. М. Морозов