| Предисловие | 7
|
| Глава 1. Введение | 10
|
| 1.1. Постановки простейших задач вариационного исчисления | 10
|
| 1.1.1. Принцип Ферма | 10
|
| 1.1.2. Цепная линия | 12
|
| 1.1.3. Задача о брахистохроне | 14
|
| 1.1.4. Механическая система. Принцип наименьшего действия | 15
|
| 1.2. Базовые определения и обозначения | 16
|
| 1.2.1. Общие обозначения | 16
|
| 1.2.2. Фазовое пространство | 17
|
| 1.2.3. Функции и их производные | 18
|
| 1.2.4. Дифференциальные уравнения | 20
|
| 1.2.5. Локальный минимум | 22
|
| Глава 2. Простейшая задача вариационного исчисления | 23
|
| 2.1. Строгая постановка простейшей задачи вариационного исчисления с закрепленными концами | 23
|
| 2.2. Необходимые условия минимума в простейшей задаче вариационного исчисления с закрепленными концами | 25
|
| 2.3. Интегралы решения уравнения Эйлера—Лагранжа | 30
|
| 2.3.1. Вырожденный случай L=L(t,x) | 30
|
| 2.3.2. L зависит лишь от t и dx/dt | 30
|
| 2.3.3. L не зависит от t | 31
|
| 2.4. Решение модельных задач | 32
|
| 2.4.1. Задача о цепной линии | 33
|
| 2.4.2. Задача о брахистохроне | 34
|
| 2.4.3. Задачи | 35
|
| 2.5. Необходимое условие минимума в задаче со свободными концами (задаче Больца) | 37
|
| 2.5.1. Случай свободного правого конца | 37
|
| 2.5.2. Задача навигации | 40
|
| 2.5.3. Балка со свободным концом | 42
|
| 2.5.4. Задача с обоими свободными концами | 44
|
| 2.5.5. Задачи | 44
|
| 2.6. Задача вариационного исчисления в классе кусочно-гладких кривых | 45
|
| 2.6.1. Пример | 50
|
| 2.7. Упражнения | 52
|
| Глава 3. Задача Лагранжа, изопериметрическая задача и задача со старшими производными | 54
|
| 3.1. Необходимое условие минимума в задаче Лагранжа | 54
|
| 3.2. Изопериметрическая задача | 61
|
| 3.2.1. Задача о вращающейся жидкости | 63
|
| 3.2.2. Задачи | 65
|
| 3.3. Задача со старшими производными | 68
|
| 3.3.1. Балка на двух опорах | 71
|
| 3.3.2. Задачи | 74
|
| 3.4. Упражнения | 75
|
| 3.5. Обобщение задач на условный экстремум | 76
|
| 3.5.1. Задача с выбором времени | 77
|
| 3.5.2. Задачи | 78
|
| 3.5.3. Задача Лагранжа в общей постановке | 80
|
| 3.5.4. Задачи | 82
|
| Глава 4. Вариационные задачи с многомерной независимой переменой | 90
|
| 4.1. Постановка задачи | 90
|
| 4.2. Необходимое условие минимума | 91
|
| 4.3. Примеры | 93
|
| 4.4. Упражнения | 94
|
| Глава 5. Гамильтонов формализм и теорема Нётер | 95
|
| 5.1. Преобразование Лежандра | 95
|
| 5.1.1. Упражнения | 98
|
| 5.1.2. Приложение к термодинамике | 98
|
| 5.1.3. Задачи | 99
|
| 5.2. Уравнения Гамильтона | 99
|
| 5.2.1. Скобки Пуассона | 100
|
| 5.2.2. Упражнения | 103
|
| 5.2.3. Задачи | 103
|
| 5.3. Симплектические преобразования и уравнение Гамильтона—Якоби | 105
|
| 5.3.1. Задачи | 107
|
| 5.3.2. Уравнение Гамильтона—Якоби | 107
|
| 5.3.3. Кеплеровское движение | 112
|
| 5.3.4. Поверхность Лиувилля | 114
|
| 5.3.5. Задачи | 117
|
| 5.4. Теорема Нётер | 118
|
| 5.4.1. Примеры | 124
|
| 5.4.2. Задачи | 126
|
| 5.5. Методы нахождения вариационных преобразований | 127
|
| 5.5.1. Задачи | 130
|
| 5.5.2. Симметрия и решение обратных задач динамики | 134
|
| 5.5.3. Задачи | 136
|
| Глава 6. Вторая вариация | 137
|
| 6.1. Необходимые условия второго порядка в задаче с закрепленными концами | 137
|
| 6.1.1. Пример | 141
|
| 6.2. Условие Якоби как необходимое | 141
|
| 6.3. Достаточное условие оптимальности в терминах условий Якоби и Лежандра | 144
|
| 6.4. Упражнения | 148
|
| 6.5. План решения задачи | 148
|
| 6.6. Примеры | 150
|
| Глава 7. Достаточные условия | 157
|
| 7.1. Элементы теории поля | 157
|
| 7.2. Условие Вейерштрасса | 159
|
| 7.3. План решения и дорожная карта | 164
|
| 7.4. Примеры | 165
|
| 7.5. Задачи | 168
|
| Глава 8. Прямые методы вариационного исчисления | 170
|
| 8.1. Слабая сходимость в функциональных пространствах | 170
|
| 8.2. Пространство абсолютно непрерывных функций | 173
|
| 8.3. Теорема Тонелли | 175
|
| 8.4. Феномен Лаврентьева | 184
|
| 8.5. Построение приближенных решений | 187
|
| 8.5.1. Метод Ритца | 187
|
| 8.5.2. Пример | 190
|
| 8.5.3. Метод Эйлера | 192
|
| 8.5.4. Пример | 193
|
| 8.5.5. Метод Канторовича | 195
|
| 8.5.6. Пример | 197
|
| 8.5.7. Задачи | 199
|
| Ответы к задачам | 200
|
| Литература | 202
|
Сурков Платон Геннадьевич Старший научный сотрудник Института математики и механики имени Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, доцент кафедры прикладной математики и механики Уральского федерального университета. Окончил математико-механический факультет Уральского государственного университета им. А. М. Горького (2008 г.), аспирантуру Института математики и механики Уральского отделения Российской академии наук. В 2011 г. получил ученую степень кандидата физико-математических наук. Области научных интересов: теория управления, теория некорректных задач, функционально-дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с дробной производной, асимптотические методы.
Авербух Юрий Владимирович 
