URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Босс В. Лекции по математике: Анализ Обложка Босс В. Лекции по математике: Анализ
Id: 321097
629 р.

Лекции по математике:
Анализ. Т.1. Изд. стереотип. (5-му, испр.)

2024. 216 с.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Настоящая книга представляет собой первый том «Лекций по математике», посвященный математическому анализу. В первой части дается обширный материал стандартных курсов математического анализа. Во второй, «необязательной» части излагаются — в стиле обзоров и очерков — примыкающие к анализу предметы: аналитические функции, топология и неподвижные точки, векторный анализ.

Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до... (Подробнее)


Содержание
top
Предисловие7
Глава 1. Предварительные сведения9
1.1. Комбинаторика9
1.2. Бином Ньютона11
1.3. Многочлены11
1.4. Комплексные числа14
1.5. Показательная и логарифмическая функции16
1.6. Множества17
Часть I Анализ19
Глава 2. Последовательности и пределы20
2.1. Стартовые понятия20
2.2. Теорема о трех собачках22
2.3. Критерий Коши23
2.4. Число e и другие пределы26
2.5. Леммы Больцано—Вейерштрасса и Гейне—Бореля28
2.6. Предел функции30
2.7. Непрерывность33
2.8. Числовые ряды35
2.9. Гипноз и математика39
Глава 3. Дифференцирование41
3.1. Производная41
3.2. Правила дифференцирования44
3.3. Зачем нужны производные46
3.4. Вывод формул47
3.5. Дифференциалы49
3.6. Теоремы о среднем52
3.7. Формула Тэйлора54
3.8. Монотонность, выпуклость, экстремумы56
3.9. Дифференциальные уравнения60
3.10. Раскрытие неопределенностей61
3.11. Контрпримеры64
Глава 4. Функции n переменных66
4.1. Пространство n измерений66
4.2. Подводные рифы многомерности68
4.3. Предел и непрерывность69
4.4. Повторные пределы71
4.5. Частные производные и дифференциал74
4.6. Дифференциалы высших порядков и ряд Тэйлора76
4.7. Градиент77
4.8. Теорема о среднем79
4.9. Векторнозначные функции79
4.10. Линейный анализ81
4.11. Эквивалентные нормы84
4.12. Принцип сжимающих отображений86
4.13. Неподвижные точки разрывных операторов87
4.14. Дифференцирование оператора88
4.15. Обратные и неявные функции90
4.16. Оптимизация92
4.17. Множители Лагранжа95
Глава 5. Интегрирование99
5.1. Определения и общая картина99
5.2. Уточнения и формальности104
5.3. Теоремы о среднем107
5.4. Приемы интегрирования108
5.5. Дифференциальные уравнения110
5.6. Несобственные интегралы113
5.7. Интегралы, зависящие от параметра117
5.8. Двойные интегралы120
5.9. Кратные интегралы124
5.10. Механические задачи126
Глава 6. Функциональные ряды129
6.1. Равномерная сходимость129
6.2. Степенные ряды131
6.3. Ортогональные разложения133
6.4. Ряды Фурье137
6.5. Интеграл Фурье139
Часть II Обзоры и дополнения141
Глава 7. Элементы векторного анализа142
7.1. Координаты и ориентация142
7.2. Векторное произведение144
7.3. Кинематика147
7.4. Дивергенция149
7.5. Оператор Гамильтона154
7.6. Циркуляция155
Глава 8. От числа к функциональному пространству159
8.1. Вещественные числа159
8.2. Проблемы бесконечности161
8.3. Характеризация множеств163
8.4. Мера Лебега167
8.5. Аксиома выбора170
8.6. Функциональные пространства173
8.7. Теорема Жордана и парадокс Брауэра177
Глава 9. Топология и неподвижные точки179
9.1. Идеология окутывания179
9.2. Гомотопные векторные поля181
9.3. Основные теоремы182
9.4. Разрешимость уравнений183
9.5. Ориентация184
9.6. Индексы и алгебраическое число нулей186
9.7. Нечетные поля187
9.8. Собственные векторы188
9.9. Обратные и неявные функции189
Глава 10. Аналитические функции191
10.1. О загадке комплексных чисел191
10.2. Дифференцируемость193
10.3. Элементарные свойства195
10.4. Контурные интегралы198
10.5. Интеграл Коши201
10.6. Регулярность203
10.7. Аналитическое продолжение204
10.8. Многозначные функции206
10.9. Об остальном207
Сокращения и обозначения209
Предметный указатель211

Предисловие к "Лекциям"
top
Самолеты позволяют летать, но добираться до аэропорта приходится самому.

Для нормального изучения любого математического предмета необходимы по крайней мере четыре ингредиента:

1) живой учитель;

2) обыкновенный подробный учебник;

3) рядовой задачник;

4) учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем".

До четвертого пункта у системы образования руки не доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев – при параллельном исполнении функций обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.

"Лекции" ставят 4Нй пункт своей главной целью. Сопутствующая идея – экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.

Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств – такого сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих "короткие дороги" тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими путями.

В вопросе "на кого рассчитано" – есть и другой аспект. На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит "на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.

Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему – надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший – покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, – но по-другому.


Предисловие
top
Сложное – и дурак придумает.
Михаил Кошкин, автор легендарного танка Т-34.

Для изучения одного предмета нужны минимум два учебника. Этот факт загадочным образом выпадал из поля зрения, хотя, казалось бы, нет ничего очевиднее. Любая спираль обучения начинается с двух витков. На первом – происходит знакомство с предметом, которое заканчивается "умением передвигать фигуры" и кашей в голове. На втором – все приводится в определенный порядок. Разумеется, до второй стадии не всегда доходит, но если доходит, то оба процесса тесно переплетаются.

Беда в том, что обычные учебники по матанализу ориентированы на первый виток, где требуется "пешее обследование", тогда как для второго нужны книги, обеспечивающие "осмотр с вертолета". Лекции предназначены как раз для таких итераций учебного процесса. Изложение формально начинается с нуля, но какая-то подготовительная работа предполагается выполненной. Первая часть книги – сжатый курс матанализа. Чуть более сотни страниц, но "все есть". Некоторые детали, конечно, опускаются, но это не потери, а приобретения. Сбросив десяток лишних килограммов, человек выглядит лучше, живет интереснее. Так и здесь. Многие подробности мешают видеть суть. И освобождение от балласта, как ни странно, позволяет обсуждать принципиальные вопросы, на которые в толстых учебниках не хватает места. Вторая часть, "необязательная", представляет собой обзоры и дополнения в стиле очерков, что имеет целью дать представление об окрестностях и может служить основой факультативных курсов.

Лекции рассчитаны "на всех". На всех, кто так или иначе изучает высшую математику. Это может показаться странным, но здесь излагается общее ядро. Просто, коротко, без лишних деталей, но с обсуждением мотивов, причин и взаимосвязей. А это, как раз, нужно всем. Разумеется, речь о замысле. Об исполнении – судить читателю.

Во многих отношениях книга нестандартна, но об этом не имеет смысла говорить заранее. Единственное, о чем стоит предупредить, – нетрадиционное использование петита: для расстановки акцентов, соблюдения баланса частей, отражения смысловых перепадов и т.п. Короче, на мелкий шрифт далее желательно смотреть просто как на элемент пейзажа.

Наконец, с благодарностью хотелось бы отметить: все ценное, что содержится в лекциях, принадлежит математическому сообществу. Все ошибки, само собой, – автору.


Из интервью с В.Боссом
top
dop

Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?

– Диалектика обучения – во взаимодействии сторон. Понимание – умение. Суть – детали. "Лекции" добиваются понимания.

Как?

– Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему "целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".

Объяснениями на пальцах?

– Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное – обнажение сути.

А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?

– Таблетку димедрола.

УРСС "не верит глазам своим"

В.Босс – автор замечательной книги "Интуиция и математика" (Айрис-Пресс, 2003) – предложил нам издавать его "Лекции по математике". Пока выходят первые два тома "Анализ" и "Дифференциальные уравнения". Но до этого – были раздумья. Сразу стало ясно, что "Лекции" очень эффектны, но нетрадиционны. Поэтому мы решили: соберем отклики. Разослали сто экземпляров рукописи, и теперь "не верим глазам своим". Отзывы "зашкаливают".

Это очень хорошие учебники. Из тех, что ругают в стенах ВУЗов, но зачитывают до дыр.

Доцент Ю.Сингин

О загадке книг В.Босса. "Интуиция и математика" читается как детектив. "Лекции" на кафедре шли нарасхват. В чем дело – не понимаю. Какие-то скрытые пружины.

Аспирант В.Жеглов

"Лекции" В.Босса опасны. Автор просто так отдает то, чего студенты должны добиваться годами. На легких хлебах хороших специалистов не выращивают.

Профессор М.Штольц

Передайте В.Боссу благодарность от студентов Казахстана. Ксероксы в Алма-Ате перегреваются. Книги замечательные.

Студенты Политеха

Все как на ладони. Где Босс раньше был?

Студент Д.Петров

О загадке бестселлеров В.Босса
top

Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом еще раз, чтобы разобраться, в чем дело, но скрытых пружин так и не нашел. Конечно, великолепный подбор миниатюр, точный язык, мягкий юмор, располагающая интонация, – но все это вместе взятое не объясняет результат даже наполовину. Сын моего приятеля – парню 14 лет – выучил "Интуицию" почти наизусть. Измучил родителей вопросами, прочел гору дополнительной литературы. Понятно – особый случай, но показательный! В целом ситуация, безусловно, мягче. Однако отзывы все положительные, а процент восторженных – удивителен и необъясним.

"Лекции по математике" того же автора – другое дело. Кое-кто из моих коллег принял их в штыки, поскольку система образования, естественно, противится нововведениям. Лишняя головная боль для преподавателя. Тем не менее, в результате итогового обсуждения – первые два тома "Лекций" пришли к нам на отзыв – В.Босс получил высший бал.

Лично мне "Лекции" нравятся даже больше, чем "Интуиция". Ясное и продуманное изложение предмета. Лаконичное до неправдоподобия, но без ущерба для содержания. Вот что по этому поводу пишет сам автор: "Первая часть книги – сжатый курс матанализа. Чушь более сотни страниц, но "все есть". Некоторые детали, конечно, опускаются, но это не потери, а приобретения. Сбросив десяток лишних килограмм, человек выглядит лучше, живет интереснее. Так и здесь. Многие подробности мешают видеть суть. И освобождение от балласта, как ни странно, позволяет обсуждать принципиальные вопросы, на которые в толстых учебниках не хватает места".

Первый опыт показывает, что студенты – и сильные, и слабые – благосклонно принимают "Лекции". В этом еще одна удивительная, хотя и понятная особенность изложения. Короткий и ясный взгляд на предмет, обсуждение мотивов, общая картина, – нужны всем.

Наконец, я бы не писал в газету, если бы речь шла просто о хороших и даже очень хороших книгах. "Лекции" В.Босса, на мой взгляд, явление неординарное. Дело в том, что информационная лавина сейчас многое меняет. В результате, сложившаяся система образования подходит к критической точке. Конечно, как в доме накапливаются ненужные вещи, так и в образовании со временем укореняется масса атавизмов. Но хуже другое. То, без чего вроде бы нельзя обойтись, перестает помещаться в рамки. Поэтому необходимы новые подходы и принципы. "Лекции" обеспечивают прорыв в этом направлении.

Профессор МФТИ А.П.Афанасьев

Об авторе
top
photoБосс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».