Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений Изд. 5

URSS. 2024. 248 с. ISBN 978-5-9519-4787-1.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Классический учебник МГУ

Типографская бумага

Аннотация

Книга содержит весь учебный материал в соответствии с программой курса дифференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей университетов. Имеется также небольшое количество дополнительного материала, связанного с техническими приложениями. Это позволяет выбирать материал для лекций в зависимости от профиля вуза. Объем книги существенно уменьшен по сравнению с имеющимися учебниками... (Подробнее)

Содержание

Предисловие				5
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения				7
1.1. Понятие о дифференциальном уравнении				7
1.2. Простейшие методы отыскания решений				14
1.3. Методы понижения порядка уравнений				23
Глава 2. Существование и общие свойства решений				27
2.1. Нормальный вид системы дифференциальных уравнений и ее векторная запись				27
2.2. Существование и единственность решения				34
2.3. Продолжение решений				47
2.4. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения				52
2.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной				57
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы				67
3.1. Свойства линейных систем				67
3.2. Линейные уравнения любого порядка				81
3.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами				92
3.4. Линейные уравнения второго порядка				109
3.5. Краевые задачи				115
3.6. Линейные системы с постоянными коэффициентами				124
3.7. Показательная функция матрицы				138
3.8. Линейные системы с периодическими коэффициентами				146
Глава 4. Автономные системы и устойчивость				151
4.1. Автономные системы				151
4.2. Понятие устойчивости				159
4.3. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова				167
4.4. Устойчивость по первому приближению				175
4.5. Особые точки				181
4.6. Предельные циклы				190
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру и ее применения				196
5.1. Дифференцируемость решения по параметру				196
5.2. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений				203
5.3. Первые интегралы				213
5.4. Уравнения с частными производными первого порядка				222
Литература				235
Предметный указатель				238

Предисловие

Книга содержит подробное изложение всех вопросов программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей университетов, а также некоторые другие вопросы, актуальные для современной теории дифференциальных уравнений и приложений: краевые задачи, линейные уравнения с периодическими коэффициентами, асимптотические методы решения дифференциальных уравнений; расширен материал по теории устойчивости.

Новый материал и некоторые вопросы, традиционно включающиеся в курс (например, теоремы о колеблющихся решениях), но не обязательные для первого знакомства с теорией дифференциальных уравнений, даны мелким шрифтом, начало и конец которого отделены горизонтальными стрелками. В зависимости от профиля вуза и направлений подготовки студентов на кафедре остается выбор, что из этих вопросов включать в курс лекций и программу экзамена.

Объем книги существенно меньше объема известных учебников по данному курсу за счет сокращения дополнительного (не входящего в обязательную программу) материала и за счет выбора более простых доказательств из имеющихся в учебной литературе.

Материал излагается подробно и доступно для студентов со средним уровнем подготовки. Используются лишь классические понятия математического анализа и основные сведения из линейной алгебры, включая жорданову форму матрицы. Вводится минимальное число новых определений. После изложения теоретического материала приводятся с подробными пояснениями примеры его применения. Указываются номера задач для упражнений из "Сборника задач по дифференциальным уравнениям" А.Ф.Филиппова.

В конце почти каждого параграфа перечисляются несколько направлений, в которых развивались исследования по данному вопросу, – направлений, которые можно назвать, пользуясь уже известными понятиями, и по которым имеется литература на русском языке.

В каждой главе книги принята своя нумерация теорем, примеров, формул. Ссылки на материал других глав редки и даются с указанием номера главы или параграфа.

Об авторе

Филиппов Алексей Федорович

Советский и российский математик, доктор физико-математических наук (1976), профессор (1980). Участник Великой Отечественной войны. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова (1950). С 1953 г. и до конца жизни работал на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (с 1978 г. — профессор). Награжден медалями «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», «Ветеран труда», «За доблестный труд» и др. Лауреат премии имени М. В. Ломоносовa за педагогическую деятельность (1993). В 1996 г. удостоен звания «Заслуженный профессор МГУ».

А. Ф. Филиппов опубликовал более 70 научных работ и несколько монографий, читал ряд курсов по дифференциальным уравнениям на мехмате МГУ. Одной из первых опубликованных работ А. Ф. Филиппова стало элементарное доказательство теоремы Жордана. Среди его научных интересов дифференциальные уравнения, теория дифракции, дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, дифференциальные включения. Широко известные учебник и задачник А. Ф. Филиппова по дифференциальным уравнениям используются для проведения занятий как в российских университетах, так и в зарубежных учебных заведениях.