Александров П.С. Что такое неэвклидова геометрия Изд. стереотип.

Содержание

Предисловие

Эта маленькая книга представляет собою второе лишь немного видоизмененное, издание моей статьи, опубликованной под тем же названием в сборнике "Николай Иванович Лобачевский", изданном в 1943 г. Государственным издательством технико-теоретической литературы к 150-летию со дня рождения великого геометра и состоящем из трех статей (кроме переиздаваемой ныне статьи, в сборник входила еще составленная мною же статья биографического характера и статья А.Н.Колмогорова "Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века").

Предлагаемая вниманию читателя в отдельном издании статья моя не является даже и кратким учебником неэвклидовой геометрии и не претендует заменить имеющиеся в русской литературе систематические изложения этой дисциплины. Моя цель совсем другая: я стремлюсь лишь ввести читателя в основные наиболее принципиальные идеи неэвклидовой геометрии и представить эти идеи в возможно компактной форме и в возможно тесной связи с другими геометрическими идеями (прежде всего с проективной геометрией, а также, конечно, и с задачей обоснования геометрии). Я начинаю с изложения общепринятой в настоящее время аксиоматики эвклидовой геометрии, ввожу при этом в связи с аксиомами конгруэнтности понятие движения и заканчиваю эту часть книжки аксиомой параллельных Эвклида и Лобачевского. При этом дается много образцов доказательства теорем элементарной геометрии, однако, при малом объеме книги, я, естественно, не мог ставить себе задачи полного построения системы элементарной геометрии со всеми доказательствами, отправляясь от аксиом и определений; решение этой задачи означало бы написание нового курса оснований геометрии, что я не имел и не мог иметь в виду.

Вторая часть книги посвящена в основном построению и исследованию двух моделей геометрии Лобачевского (модель Клейна и модель Пуанкаре) и получающемуся из этого исследования доказательству непротиворечивости названной геометрии. Изложение здесь ведется с привлечением основных понятий проективной геометрии в их аналитической форме. Этим подготавливается почва и для того, чтобы в третьей, последней, части книги ввести читателя и во вторую неэвклидову геометрию – в геометрию эллиптической плоскости, что, в свою очередь, через посредство сферической геометрии, подводит нас к вопросу о дифференциально-геометрической реализации неэвклидовой геометрии. Изложение, которое я стремился вести с наибольшей наглядностью, содержит, как мне кажется, достаточно доказательств, чтобы удовлетворить естественную любознательность читателя и в отношении логики всего построения, но все же некоторые точно сформулированные геометрические факты приводятся без доказательств.

Я представлял себе в основном два круга читателей этой книги. Во-первых, наше учительство, во-вторых, ученики старших классов средней школы, обладающие специальным интересом и способностями к математике. Учителя наши в своем большинстве окончили педагогический институт и, следовательно, изучили в свое время тот или иной курс оснований геометрии, быть может, сейчас уже несколько позабытый. Предлагаемая их вниманию книга, как я надеюсь, напомнит им основное содержание этого курса, не загроможденное деталями, и прямой дорогой введет их в круг основных идей неэвклидовой геометрии.

Но я считаю, что понять эти идеи можно и не изучив никакого курса оснований геометрии, и именно эта моя уверенность и позволяет мне иметь в виду и учащихся старших классов средней школы. Я думаю, что те из них, для которых геометрия является любимым предметом, в состоянии будут увлечься грандиозными геометрическими идеями Лобачевского и с пользой смогут прочитать значительную часть этой книги. О себе могу в связи с этим сказать, что впервые познакомился с идеями неэвклидовой геометрии, будучи учеником средних классов гимназии, со слов моего учителя А.Р.Эйгеса, памяти которого и посвящаю эту книжку. Основные концепции геометрии Лобачевского в талантливом изложении А.Р.Эйгеса настолько увлекли меня, что заставили меня выбрать математику как будущую специальность. Я надеюсь, что для молодых людей, впервые знакомящихся по этой книге с геометрическими понятиями и идеями, выходящими за пределы школьного курса математики, чтение ее послужит побуждением к более глубокому изучению неэвклидовой геометрии (например, к изучению соответствующих глав прекрасной книги Н.В.Ефимова "Высшая геометрия" или книги "Основания геометрии" В.И.Костина).

Замечу, наконец, что читателю рекомендуется попробовать самому восстановить пропущенные в тексте доказательства теорем; во многих случаях (особенно в применении к теоремам первых глав) это ему удастся.

Об авторе

Александров Павел Сергеевич

Выдающийся ученый-математик, создатель отечественной топологической школы, получившей мировое признание. Лауреат Сталинской премии первой степени за научные работы в области математики: «Общая комбинаторная топология» и «О гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств». Герой Социалистического Труда. Награжден шестью орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом «Знак Почета». Лауреат Премии имени Н. И. Лобачевского за цикл работ по гомологической теории размерностей.

Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1917 г. Доцент Московского университета с 1921 г., профессор с 1929 г. В том же году был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1953 г. — академиком. В 1932–1964 гг. — президент Московского математического общества, в 1958–1962 гг. — вице-президент Международного математического союза.

П. С. Александров ввел ряд фундаментальных понятий и конструкций топологии, создал теорию существенных отображений и гомологическую теорию размерности, основал и развил теорию компактных и бикомпактных пространств. Получил большое количество важных результатов в области теории множеств, теории функций действительного переменного. Среди его учеников такие известные математики, как Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, Л. Д. Кудрявцев, А. Г. Курош, Ю. М. Смирнов.