| Ключ к пониманию нелинейной реальности (Г. Г. Малинецкий) | 9
|
| От автора | 19
|
| Предисловие | 20
|
| Список литературы | 36
|
| 1 Локальная динамика логистического уравнения с запаздыванием и диффузией | 39
|
| Введение | 39
|
| 1.1 Бифуркация Андронова — Хопфа в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией | 41
|
| 1.1.1 Пространственно-неоднородные возмущения коэффициентов | 43
|
| 1.1.2 Бифуркации при возмущениях в краевых условиях | 46
|
| 1.1.3 Бифуркация Андронова — Хопфа в случае краевых условий Дирихле | 48
|
| 1.1.4 Бифуркации при периодических по времени возмущениях | 51
|
| 1.1.5 Влияние запаздывающего возмущения на динамические свойства логистического уравнения с запаздыванием и диффузией | 59
|
| 1.2 Влияние коэффициента сопротивления внешней среды на динамику популяции | 61
|
| 1.2.1 Основные результаты в случае 0<а<1 | 62
|
| 1.2.2 О зависимости периодического решения от коэффициента диффузии | 64
|
| 1.2.3 Основные результаты в случае г(х)а(х) = const | 66
|
| 1.3 Влияние граничных условий на динамические свойства логистического уравнения с запаздыванием и диффузией | 70
|
| 1.3.1 Линейный анализ при условии х = 0 | 73
|
| 1.3.2 Нелинейный анализ при условии х = 0 | 76
|
| 1.3.3 Исследование краевой задачи (9.5) при я ^ 0 | 79
|
| 1.3.4 Нелинейный анализ в предельном случае | 82
|
| 1.3.5 О динамике логистического уравнения с запаздыванием, малой диффузией и с классическими граничными условиями общего вида | 83
|
| 1.4 Логистическое уравнение с диффузией и сильно запаздывающей обратной связью | 88
|
| 1.4.1 Линейный анализ | 89
|
| 1.4.1 Линейный анализ | 89
|
| 1.4.2 Построение квазинормальных форм | 92
|
| 1.5 Имитация запаздывания с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений | 96
|
| 1.5.1 Динамика системы (1.175) | 99
|
| 1.5.2 О локальной динамике системы (1.177) | 108
|
| 1.5.3 Обсуждение результатов | 109
|
| Список литературы | 113
|
| 2 Применение принципа усреднения к распределенному логистическому уравнению с запаздыванием | 119
|
| Введение | 119
|
| 2.1 Бифуркация Андронова — Хопфа в логистическом уравнении с запаздыванием, диффузией и быстро осциллирующими по времени коэффициентами | 124
|
| 2.1.1 Постановка задачи | 124
|
| 2.1.2 Построение усредненного уравнения | 126
|
| 2.1.3 О решениях вспомогательной краевой задачи | 128
|
| 2.1.4 Бифуркация из состояния равновесия | 131
|
| 2.2 Усреднение по пространственной переменной в нелинейных параболических системах | 141
|
| 2.2.1 Принцип усреднения | 141
|
| 2.2.2 Алгоритм построения периодического решения | 145
|
| 2.2.3 Обоснование теоремы | 148
|
| 2.2.4 Бифуркация Андронова — Хопфа | 150
|
| 2.2.5 Бифуркации в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией | 155
|
| 2.2.6 Периодические решения уравнений с большим коэффициентом диффузии | 160
|
| Список литературы | 165
|
| 3 Нелокальные пространственно-неоднородные структуры влогистическом уравнении с запаздыванием и диффузией | 169
|
| Введение | 169
|
| 3.1 Асимптотика неоднородного периодического решения логистического уравнения с запаздыванием и диффузией | 170
|
| 3.2 Асимптотика установившихся режимов конечно-разностных аппроксимаций логистического уравнения с запаздыванием и с малой диффузией | 176
|
| 3.3 Анализ одной упрощенной системы из двух связанных логистических уравнений | 189
|
| 3.4 Пример. К вопросу об оптимизации охотничьего промысла | 193
|
| 3.4.1 Основные результаты | 195
|
| 3.4.2 Возможное обобщение задачи | 196
|
| Список литературы | 197
|
| 4 Бесконечномерные бифуркации в пространственно-распределенном логистическом уравнении с запаздыванием и адвекцией (переносом) | 201
|
| Введение | 201
|
| 4.1 Бифуркации, определяемые коэффициентом переноса Ъ | 204
|
| 4.2 Уравнения с малым коэффициентом диффузии | 211
|
| 4.3 О бесконечномерных бифуркациях в случае большого запаздывания и краевых условиях Дирихле | 228
|
| 4.4 Бифуркации в логистическом уравнении с запаздыванием и с вырожденным диффузионным оператором | 238
|
| 4.4.1 Линейный анализ | 240
|
| 4.4.2 Нелинейный анализ | 241
|
| Список литературы | 243
|
| 5 Квазинормальные формы для цепочек связанных логистических уравнений с запаздыванием | 245
|
| Введение | 245
|
| 5.1 Динамика полносвязной пространственно-распределенной цепочки | 251
|
| 5.1.1 Случай малых значений параметра 7 | 251
|
| 5.1.2 Случай «средних» значений параметра 7 | 255
|
| 5.1.3 Об одной модификации задачи полносвязных цепочек логистических уравнений | 258
|
| 5.2 Динамика цепочек в случае диффузионного типа связей | 259
|
| 5.3 Корпоративная динамика в цепочках с однонаправленной связью | 265
|
| 5.4 Управление динамикой пространственно-распределенного логистического уравнения с запаздыванием | 268
|
| 5.4.1 Релаксационные колебания при малом коэффициенте 7 | 271
|
| 5.4.2 Локальная динамика при малых значениях параметра 7 | 274
|
| 5.4.3 Асимптотический анализ периодических решений | 277
|
| 5.5 Динамика логистического уравнения с запаздыванием и с большим коэффициентом пространственно-распределенного управления | 284
|
| 5.6 Динамика сильно связанных пространственно-распределенных логистических уравнений с запаздыванием | 301
|
| 5.6.1 Динамика в случае симметричной функции F(s) | 303
|
| 5.6.2 Динамика в случае несимметричной F(s) | 306
|
| 5.6.3 Квазинормальные формы в случае существенной несимметричности функции F(s) | 309
|
| Список литературы | 315
|
| 6 Динамика логистического уравнения с пространственно-распределенным насыщением | 321
|
| Введение | 321
|
| 6.1 Локальная динамика логистического уравнения с пространственно-распределенным насыщением | 324
|
| 6.2 Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций в распределенном логистическом уравнении | 328
|
| 6.2.1 Первый случай | 331
|
| 6.2.2 Второй случай | 337
|
| 6.3 Нелокальные пространственно-неоднородныепериодические решения логистического уравнения с запаздыванием и распределенным насыщением | 341
|
| 6.3.1 Случай симметричной F(x) | 342
|
| 6.3.2 Случай несимметричной F(x) | 343
|
| 6.3.3 Результаты численного исследования | 345
|
| Список литературы | 349
|
| 7 Распространение волн в уравнениях Колмогорова — Петровского — Пискунова с запаздыванием или с отклонением пространственной переменной | 351
|
| Введение | 351
|
| 7.1 Распространение волн в уравнениях Колмогорова — Петровского— Пискунова с запаздыванием | 351
|
| 7.1.1 Некоторые свойства уравнения распространения волны | 353
|
| 7.1.2 Локальный асимптотический анализ | 355
|
| 7.1.3 Численный анализ уравнения КПП с запаздыванием | 358
|
| 7.2 Особенности динамики уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова с отклонением по пространственной переменной | 370
|
| 7.2.1 Периодическая краевая задача для уравнения КПП с отклонением пространственной переменной | 372
|
| 7.2.2 Некоторые свойства волновых решений задачи | 376
|
| 7.2.3 Волновые решения в задаче с периодическими условиями | 378
|
| 7.2.4 Численный анализ уравнения КПП с пространственным отклонением | 381
|
| Список литературы | 392
|
| 8 Динамика комплексного пространственно-распределенного логистического уравнения с диффузией | 397
|
| Введение | 397
|
| 8.1 Динамика комплексного пространственно-распределенного логистического уравнения с запаздыванием и диффузией | 397
|
| 8.1.1 Краевая задача с периодическими краевыми условиями | 398
|
| 8.1.2 Краевая задача с условиями непроницаемости | 399
|
| 8.2 Динамика комплексного пространственно-распределенного уравнения Курамото с диффузией | 401
|
| 8.2.1 Динамика уравнения Курамото с малым коэффициентом пространственно-распределенного управления | 402
|
| 8.2.2 Медленно осциллирующие структуры | 406
|
| 8.2.3 Быстро осциллирующие структуры | 408
|
| 8.2.4 Случай существенно несимметричной F(x) | 409
|
| Список литературы | 412
|
| 9 Логистическое уравнение с запаздыванием, диффузией и нестандартными граничными условиями | 415
|
| Введение | 415
|
| 9.1 Бифуркации Андронова — Хопфа в уравнении с нелинейными граничными условиями | 415
|
| 9.1.1 Квазилинейный случай | 415
|
| 9.1.2 Бифуркации в логистическом уравнении | 418
|
| 9.2 Бифуркации в логистическом уравнении с диффузией и запаздыванием в граничном условии | 421
|
| 9.2.1 Построение нормальной формы для краевой задачи (9.31), (9.34) | 423
|
| 9.2.2 Нормальная форма для краевой задачи (9.31), (9.40) | 424
|
| 9.2.3 Нормальная форма в случае больших значений коэффициента h | 425
|
| 9.3 Логистическое уравнение с запаздыванием, диффузией и нестандартными граничными условиями | 427
|
| 9.3.1 Устойчивость нулевого решения задачи с запаздыванием в граничном условии | 429
|
| 9.3.2 Устойчивость состояния равновесия в задаче без запаздывания в граничном условии | 430
|
| 9.3.3 Исследование динамики исходных нелинейных задач | 432
|
| Список литературы | 436
|
Кащенко Сергей Александрович 
