URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Рашевский П.К.; Марчук Н.Г., Широков Д.С. КОМПЛЕКТ: 1. Курс дифференциальной геометрии. 2. Теория спиноров. 3. Теория алгебр Клиффорда и спиноров Обложка Рашевский П.К.; Марчук Н.Г., Широков Д.С. КОМПЛЕКТ: 1. Курс дифференциальной геометрии. 2. Теория спиноров. 3. Теория алгебр Клиффорда и спиноров
Id: 320455
2539 р.

КОМПЛЕКТ:
1. Курс дифференциальной геометрии. 2. Теория спиноров. 3. Теория алгебр Клиффорда и спиноров

2023. 1104 с.
  • Мягкая обложка

Аннотация

1. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Мягкая обложка. 432 стр.

В настоящей книге, написанной известным отечественным математиком-геометром П.К.Рашевским, излагается учебный курс дифференциальной геометрии. Курс включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применениям к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к 3-му изданию7
Введение8
Глава 1. Первоначальные сведения о кривых на плоскости10
1.1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой10
1.2. Строение кривой вблизи обыкновенной точки13
1.3. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Декартовы координаты19
1.4. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Параметрическое представление25
1.5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Полярные координаты27
1.6. Строение кривой вблизи особых точек. Основные факты32
1.7*. Строение кривой вблизи особых точек. Точная теория38
1.8. Огибающая семейства кривых51
1.9*. Семейство кривых вблизи данной точки58
1.10. Асимптоты64
1.11*. Асимптота как предельное положение касательной67
1.12. Асимптоты алгебраических кривых68
Глава 2. Дифференцирование вектор-функций и его простейшие применения к теории кривых73
2.1. Определение производной и техника дифференцирования73
2.2. Истолкование вектор-функции как радиус-вектора кривой в параметрическом представлении80
2.3. Достаточный признак обыкновенной точки81
2.4. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функции83
2.5. Дифференциал вектор-функции86
2.6. Две леммы88
2.7. Ряд Тейлора для вектор-функции90
2.8. Строение параметрически заданной кривой в окрестности произвольной точки92
2.9. Длина дуги как параметр97
2.10. Касание кривых102
2.11*. Дополнительные сведения по теории касания кривых107
Глава 3. Теория кривизны плоских кривых114
3.1. Соприкасающаяся окружность114
3.2. Построение соприкасающейся окружности предельным переходом121
3.3. Кривизна123
3.4. Векторы t, n127
3.5. Формулы Френе129
3.6. Эволюта131
3.7. Эвольвента136
3.8. Натуральное уравнение кривой139
Глава 4. Теория кривизны пространственных кривых147
4.1. Касательные; нормали147
4.2*. Касание кривой с поверхностью154
4.3. Точки распрямления157
4.4. Соприкасающаяся плоскость159
4.5. Сопровождающий трехгранник163
4.6. Две леммы об окружности167
4.7. Соприкасающаяся окружность169
4.8. Кривизна пространственной кривой172
4.9. Формулы Френе. Кручение173
4.10. Вычислительные формулы для кривизны и кручения180
4.11. Строение кривой вблизи обыкновенной точки188
4.12*. Соприкасающаяся сфера194
4.13. Натуральные уравнения200
Глава 5. Первоначальные сведения по теории поверхностей213
5.1. Криволинейные координаты на поверхности213
5.2. Кривые на поверхности218
5.3. Первая основная квадратичная форма222
5.4. Вторая основная квадратичная форма на поверхности231
5.5. Основная формула для кривизны кривой на поверхности235
5.6. Теорема Менье236
5.7. Линейная вектор-функция на плоскости241
5.8. Собственные направления и собственные значения243
5.9. Основная вектор-функция и главные направления247
5.10. Исследования кривизны нормальных сечений250
5.11. Формула Эйлера. Главные кривизны252
5.12. Вычисление главных кривизн и главных направлений255
5.13. Три типа точек на поверхности259
5.14. Вычислительные формулы265
5.15. Линии кривизны268
5.16. Асимптотические линии274
5.17. Третья основная квадратичная форма. Сопряженные направления281
5.18*. Зависимость между тремя основными квадратичными формами285
5.19. Сферическое отображение поверхности286
Глава 6. Линейчатые и развертывающиеся поверхности292
6.1. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях292
6.2. Горловая точка296
6.3. Горловая линия. Строение развертывающейся поверхности299
6.4*. Параметр распределения306
6.5. Огибающая семейства поверхностей от одного параметра308
6.6. Развертывающаяся поверхность как огибающая семейства плоскостей313
6.7*. Ребро возврата огибающей семейства плоскостей314
6.8*. Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой поверхности320
6.9. Развертывающиеся поверхности как поверхности нулевой полной кривизны322
6.10*. Ортогональные траектории развертывающихся поверхностей324
6.11. Геометрические свойства линий кривизны330
6.12*. Сопряженные сети на поверхности334
Глава 7. Внутренняя геометрия поверхности340
7.1. Понятие об изгибании340
7.2. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности341
7.3. Индексные обозначения342
7.4. Деривационные формулы первой группы344
7.5*. Деривационные формулы второй группы348
7.6*. Роль второй квадратичной формы350
7.7. Теорема Гаусса354
7.8*. Формулы Петерсона—Кодацци358
7.9*. Векторы на поверхности360
7.10*. Градиент скалярного поля на поверхности362
7.11*. Параллельное перенесение векторов на поверхности365
7.12*. Свойства параллельного перенесения368
7.13. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности372
7.14. Вычисление геодезической кривизны375
7.15. Геодезические линии на поверхности378
7.16*. Геодезические линии с точки зрения параллельного перенесения на поверхности382
7.17*. Полугеодезическая система координат на поверхности382
7.18*. Экстремальное свойство геодезических386
7.19*. Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны390
7.20*. Случай поверхностей, изгибаемых в поверхности вращения396
7.21*. Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны402
7.22*. Поверхности вращения постоянной кривизны406
7.23*. Обнесение вектора по замкнутому контуру412
Краткие исторические сведения422
Алфавитный указатель426

Предисловие к 3-му изданию
top

При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений в методике изложения, в расположении и планировке материала, в выборе доказательств и т.д.

Особенное внимание было обращено на отчетливое выделение основного, минимального материала курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отмеченные звездочкой.

Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметрического представления кривой; построение соприкасающейся окружности предельным переходом; параметр распределения и горловая линия линейчатой поверхности.

К курсу присоединены также исторические сведения.

Считаю своим долгом выразить глубокую признательность редактору книги А.З.Рывкину за его исключительно добросовестную работу над текстом и сделанные им ценные замечания.

Автор

Об авторах
top
photoРашевский Петр Константинович
Выдающийся советский математик-геометр. Заслуженный деятель науки РСФСР. Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил МГУ. Воспитанник школы В. Ф. Кагана. Преподавал в Московском энергетическом институте и в Московском педагогическом институте. До конца жизни заведовал кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ.

П. К. Рашевский — автор многих фундаментальных работ по различным разделам геометрии: римановой, аффинной, дифференциальной, по созданной им полиметрической геометрии, аксиоматике проективной геометрии однородных пространств, связанной с группами Ли, и другим. Им были написаны учебники и монографии в области геометрии и математической физики: "Риманова геометрия и тензорный анализ" (URSS), "Курс дифференциальной геометрии" (URSS), "Геометрическая теория уравнений с частными производными" (URSS), "Теория спиноров" (URSS). Первые две книги переведены на испанский язык. Ученики П. К. Рашевского, входившие в созданную им школу, развивали также теорию однородных пространств, методы вариационного исчисления.

photoМарчук Николай Гурьевич
Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва.

Доктор физико-математических наук, является ведущим научным сотрудником отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. С 1992 г. реализует исследовательский проект построения теории поля на основе математического аппарата алгебры Клиффорда и алгебры генформ.

photoШироков Дмитрий Сергеевич
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва.

В 2009 г. окончил с отличием механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ) имени М. В. Ломоносова. В 2013 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук защитил кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля». В настоящее время является сотрудником НИУ ВШЭ и ИППИ РАН. Сфера научной деятельности связана с алгебро-геометрическими методами в математической физике.