|
Содержание
§ 1. Что такое математика?
Сложен процесс познания человеком реального мира. В этом процессе участвует вся система наук, все три ее подсистемы – естественные, гуманитарные и математические науки, различающиеся по своим методам и по объектам исследования. Фундаментальную роль в процессе познания играет философия, изучающая мировоззренческие вопросы, общие для всех наук, задающая общую систему взглядов на окружающий мир: на природу, общество, человека. Математику можно считать находящейся на стыке между естествознанием и философией. Абстрактная по форме, эта наука по существу изучает (широко понимаемые) количественные отношения и пространственные формы реального мира. Она дает в распоряжение ученых методику качественных оценок и конкретного количественного анализа наблюдаемых результатов, средства и способы исследования. И арсенал этих средств в наши дни необычайно богат. Методами математического анализа и моделирования исследуют и зарождение галактик, и геологические процессы в недрах земли, решают вопросы экономического и социального планирования в стране, районе, производственном коллективе. Что же такое математика в современном мире и какова ее роль? Почему так быстро растет ее значение во всех областях деятельности? Попробуем разобраться в этом вопросе. Давно сложилось разделение наук на естественные и гуманитарные. Естественные науки – физика, химия, геология и др. – изучают окружающий нас материальный мир; гуманитарные – история, филология, социология и др. – человеческое общество. Математика образует сравнительно самостоятельную группу. Это объясняется тем, что, хотя математика и уходит своими историческими корнями в практику, в ходе развития она отрывается от своей эмпирической базы и развивается сугубо теоретически, имея дело с абстрактными конструкциями, создаваемыми в нашей голове. И с этой точки зрения различие между математикой и "нематематикой " оказывается несравненно более глубоким, чем различие между естественными и гуманитарными дисциплинами. Более того, за последние десятилетия граница между последними постепенно стирается, так что про ту или иную область знания в настоящее время зачастую оказывается уже вовсе не просто сказать, относится ли она к кругу естественных или гуманитарных наук. Что представляет собой сегодня, скажем, экономика? По происхождению и стоящим перед ней целям она бесспорно должна быть причислена к наукам гуманитарного цикла; однако характерная для наших дней методика экономических исследований да и сама постановка основных вопросов здесь таковы, что в ряде отношений представляется гораздо более естественным отнести экономику к той же группе наук, что и физика или геология, а не объединять ее, скажем, с историей или искусствоведением. Далее, для гуманитарных наук всегда характерен был несколько умозрительный характер используемых в них рассуждений, отсутствие экспериментов: ведь как не соблазнительно было бы, скажем, опытным путем осуществить еще одну битву при Ватерлоо, где на этот раз французский маршал Груши пришел бы на поле боя раньше австрийца Блюхера, и посмотреть, как выглядела бы история Европы в этом варианте, но возможности-то такой у нас все равно нет. А вот, безусловно, изучающая человеческое общество социология сразу зародилась (в XX в.) как чисто экспериментальная наука; ныне же она широко использует и математические методы и дедукцию, пройдя за короткий срок путь, во многом подобный тому, какой прошла некогда физика. Сращивание естественных наук с гуманитарными стимулируется бурным проникновением в гуманитарные науки математических методов (ранее традиционно применявшихся только в физике и в астрономии!), характерной для наших дней широкой "математической экспансией", завоеванием математикой новых, до того совершенно ею не контролируемых территорий. В самом деле, ранее гуманитарные науки математическим аппаратом и дедуктивными рассуждениями, как правило, не пользовались, что в первую очередь и создавало резкое отличие этих наук от физики, например, или химии. Это отличие заходило настолько далеко, что во французском или в английском языках сам термин "наука" (science) до сих пор, как правило, не прилагают к таким дисциплинам, как литературоведение или история. Однако в настоящее время ситуация здесь изменилась весьма радикально – и "математическая лингвистика " (и даже "математическое искусствоведение" или "математическое литературоведение"), "математическое правоведение " и иные подобные области знания (не говоря уже о "математической экономике"!) заняли весьма большое место в научном багаже ученых-гуманитариев. В силу этого на филологических, юридических или экономических факультетах университетов ныне зачастую читаются весьма обширные курсы математики, заметно превосходящие по объему традиционный курс "высшей математики", испокон веков читавшийся будущим инженерам. Заметим, впрочем, что изменились за последние десятилетия не только гуманитарные науки, но и математика. В самом деле, ранее "доказательная" математика всегда пренебрегала индуктивными и чисто описательными соображениями, в силу чего столь неожиданно прозвучало само название известной книги Дж.Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения", в которой автор раскрывал те "секреты" математического творчества, о которых не принято было говорить вслух. Однако ныне сближение математики и гуманитарных наук привело к определенной "гуманизации" математики, к проникновению в нее подходов и точек зрения, характерных именно для гуманитариев. Выразительным примером этого положения может служить, скажем, учение Л.Заде о "размытых множествах ". Естественные и гуманитарные науки изучают объективно существующую реальность и единственным критерием истины, скажем, для физика является совпадение получаемых им результатов с наблюдаемыми, с прямым экспериментом. Физическое доказательство является правильным, если полученный с его помощью результат совпадает с реально наблюдаемыми фактами, и неправильным, если этот результат противоречит экспериментам; никакого другого определения "истинности" физика не знает. Напротив, математика не имеет дела ни с какой "лабораторией", отличной от человеческой головы. Критерием истинности математического рассуждения является лишь логическая его безукоризненность, выполнение на всех этапах рассуждения устанавливаемых самим математиком правил вывода, относящихся к вполне определенной ветви математической науки, – к математической логике. При этом на сегодняшний день мы имеем уже вовсе не один единственный набор правил вывода, а много разных a priori возможных таких наборов, достаточно глубоко расходящихся между собой. Правда, реально сказываются эти различия пока лишь в научном творчестве специалистов по математической логике и основаниям математики, однако, вполне возможно допустить, что впоследствии мы столкнемся с ними и в вопросах, относящихся к области прикладной математики: ведь недаром некоторые из новейших школ в области оснований математики, вроде так называемого ультраинтуиционизма, декларируют свое происхождение из попыток осмысления возможностей электронных вычислительных машин. При этом ныне вполне может случиться, что математическое рассуждение, которое признает правильным один ученый, другой таковым считать откажется, причем эти две диаметрально противоположные позиции вовсе не будут означать, что один из упомянутых ученых (скажем, сторонник гильбертова формализма) прав, а второй (например, математик-конструктивист) ошибается: нет, правы они будут оба, только исходят они из разных "правил (математической) игры", что и приводит их к двум разным "математикам " (в нашем случае – неконструктивной и конструктивной). Об авторе
 Яглом Исаак Моисеевич Выдающийся советский математик и педагог, автор популярных учебных и образовательных книг по математике. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Свердловский университет в 1942 г.; учился в аспирантуре переехавшего тогда в Свердловск Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова под руководством заведующего кафедрой дифференциальной геометрии В. Ф. Кагана. Преподавал математику в различных вузах, в том числе в МГУ имени М. В. Ломоносова и Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина.
Будучи блестящим ученым, педагогом и популяризатором науки, И. М. Яглом написал более 40 книг, многие из которых стали классическими не только в нашей стране, но и за рубежом. Является одним из соавторов знаменитого трехтомника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ставшего на долгие годы основным руководством для многих любителей математики. Кроме популярных математических задачников и пособий, И. М. Яглом выпустил ряд работ по истории математики, в которых исследовались связи математики с естественными и гуманитарными науками, а также ее роль в жизни общества. |
|||||||||||||||||||||
