Колоколов И.В., Кузнецов Е.А., Мильштейн А.И., Подивилов Е.В., Черных А.И., Шапиро Д.А., Шапиро Е.Г.; Босс В. КОМПЛЕКТ:
1. ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ ФИЗИКИ. 2. Лекции по математике: УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 3. ПОДАРОК: Наваждение

Предисловие

Предлагаемый сборник задач основан на 15-летнем опыте обучения студентов физического факультета Новосибирского государственного университета методам математической физики (ММФ). В виде эксперимента преподавание ММФ было поручено физикам-теоретикам. Была поставлена цель не только обучить студентов основам теории, но и применению математических методов для решения конкретных физических задач квантовой механики, классической электродинамики, оптики, физики плазмы, механики жидкости и газа. В результате заметно изменилась как программа курса, так и методика его преподавания. Упор был сделан на решение задач – от простых упражнений, иллюстрирующих основные понятия, до сравнительно сложных задач, например, квантовой механики. Сейчас мы можем с удовлетворением сказать, что новый подход к преподаванию ММФ полностью себя оправдал.

Обучение ММФ обычно завершает общее математическое образование студентов-физиков третьего–четвертого года обучения. Считается, что эти студенты уже знакомы с линейной алгеброй, аналитической геометрией, математическим анализом, обыкновенными дифференциальными уравнениями, теорией функций комплексной переменной в объеме университетского курса. Стандартный курс ММФ, через который прошли многие поколения студентов, включает в себя, как правило, теорию уравнений в частных производных. Элементы функционального анализа, теории специальных функций и теории групп в программах ММФ часто носят фрагментарный характер и не являются обязательными.

Методы математической физики как университетский курс является устоявшейся дисциплиной. Этому посвящены многие отечественные и переводные учебники по всем ее разделам. Но в них не содержится достаточного количества задач. Сборники задач по ММФ немногочисленны и неполны. Они не охватывают всех необходимых разделов математической физики и несколько оторваны от исходных физических задач, из которых возникают эти уравнения. Практически нет задач по уравнениям Шрщдингера, Дирака и даже Максвелла. Приложения к физике, как правило, ограничены механикой, теорией теплопроводности, электричеством и магнетизмом. Устранение всех этих недостатков является одной из целей предлагаемого задачника.

Программа курса и, соответственно, содержание данного задачника включает в себя следующие разделы: гильбертовы пространства, метод характеристик, уравнения второго порядка с частными производными, автомодельность и нелинейные уравнения, специальные функции, асимптотические методы, функции Грина, интегральные уравнения (включая обратную задачу для оператора Шрщдингера), группы и представления, группы Ли и их применение в физике.

Каждый раздел содержит краткое изложение теории, иллюстрируемое решением типичных задач, а также краткий список рекомендуемой литературы по данному вопросу. Более полная библиография, в которой изложены разделы теории, включенные в данный сборник, приведена в конце книги. Почти все задачи (за исключением простейших) содержат подробные указания и решения. Порядок расположения задач помогает усвоению сложных математических понятий и выработке навыков решения физических задач. Поэтому сборник будет также весьма полезным для самообразования. Если читатель после работы с этим задачником сможет самостоятельно решать задачи математической физики и использовать полученные знания в дальнейшей работе, то мы сочтем свою миссию выполненной.

Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность всем тем, кто в разные годы либо читали курс лекций ММФ на физическом факультете НГУ, либо вели практические занятия, за вклад в создание курса и, в частности, этого задачника. Особую признательность мы выражаем Б.Г.Конопельченко, В.М.Малкину, А.М.Рубенчику, М.Д.Спектору, М.Г.Степанову, Б.И.Стурману, С.К.Турицыну. Мы также благодарны А.В.Тельнову, указавшему на ряд опечаток.

Август 1999 г.

Новосибирск

Оглавление

Об авторах

Кузнецов Евгений Александрович

Академик РАН. Руководитель научного совета РАН «Нелинейная динамика», главный научный сотрудник лаборатории математической физики в Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН. Лауреат Премии РАН имени Л. И. Мандельштама.

Босс В.

Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».