Оглавление | 3
|
Предисловие | 7
|
Вводные замечания | 13
|
Глава первая ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ | 15
|
§ 1. Топологические пространства и основные связанные с ними понятия | 15
|
§ 2. Базы и вес топологических пространств | 31
|
§ 3. Метрические и метризуемые пространства | 36
|
§ 4. Связность | 46
|
§ 5. Аксиомы отделимости | 53
|
§ 6. Системы множеств и покрытия | 66
|
§ 7. Бикомпактные, финально компактные, паракомпактные пространства. Совершенные отображения | 75
|
§ 8. Топологические произведения. Теоремы А. Н. Тихонова. Локально бикомпактные пространства | 89
|
§ 9. Максимальное бикомпактное расширение | 106
|
§ 10. Покрытия нормальных пространств | 112
|
§11. Метризация и паракомпактность | 122
|
Прибавление к главе первой | 142
|
§ 1. Обратные спектры топологических пространств | 142
|
§ 2. Веерные произведения топологических пространств | 152
|
Глава вторая ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ | 157
|
§ 1. Перегородки. Большая и малая индуктивные размерности | 157
|
§ 2. Размерность dim X (определенная посредством покрытий) | 164
|
§ 3. Нульмерные пространства | 170
|
§ 4. Малая индуктивная размерность. Формула Урысона — Менгера. Примеры нульмерных и не нульмерных пространств | 179
|
Глава третья РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ | 190
|
Введение | 190
|
§ 1. Пространство R^n и его симплексы | 191
|
§ 2.Симплициальные комплексы | 201
|
§ 3. Равенство dim Р^n = n для n-мерных (в элементарном смысле) полиэдров. Леммы Шпернера | 211
|
§ 4. Некоторые дальнейшие следствия леммы Шпернера | 218
|
§ 5. Существенные отображения на замкнутый симплекс | 224
|
Прибавление к главе третьей | 227
|
§ 1. Понятие гомотопии; существенные отображения на сферу | 227
|
§ 2. Лемма о грибе | 231
|
Глава четвертая ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I | 236
|
Введение | 236
|
§ 1. Канонические и барицентрические отображения | 242
|
§ 2. Аппроксимационные теоремы | 247
|
§ 3. Доказательство теоремы об ω- и ε-отображениях. Нульмерные отображения компактов в кубы той же размерности | 254
|
§ 4. Теорема Нёбелинга — Понтрягина | 259
|
§ 5. Усиления теоремы Нёбелинга — Понтрягина и их следствия | 262
|
§ 6. Доказательство теоремы о существенных отображениях | 265
|
§ 7. Доказательство теоремы суммы | 271
|
§ 8. Некоторые следствия теоремы суммы и окончание исследования пространств со счетной базой | 272
|
§ 9. Теорема суммы для локально конечных систем замкнутых множеств нормального пространства; локальная размерность loc dim X | 282
|
§ 10. Первая теорема Даукера | 284
|
§ 11. Вторая теорема Даукера: dim X = dim∞ X = dim *Х | 287
|
Глава пятая ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II | 293
|
Введение | 293
|
§ 1. Равенства (1) dim β X = dimX, (2) Ind β Х = Ind X для нормальных пространств. Дискретная сумма пространств | 296
|
§ 2. Первая факторизационная теорема для бикомпактов и ее следствия | 300
|
§ 3. Вторая (общая) факторизационная теорема для бикомпактов | 304
|
§ 4. Универсальные бикомпакты данного веса и данной размерности. Теорема Скляренко | 308
|
§ 5. Случай компактов: теорема Фрейденталя | 310
|
§ 6. Бикомпакты с несовпадающими размерностями dim X ≠ ind X | 314
|
§ 7. Анализ неравенства ind X ≤ dim Х пономаревские пространства. Возвращение к пространствам со счетной базой | 326
|
§ 8. Теорема о перегородках | 338
|
§ 9. Размерность произведения. Канторовы многообразия | 344
|
§ 10. Аксиоматика размерности компактов | 355
|
Прибавление к главе пятой | 358
|
§ 1. Доказательство специальной теоремы | 358
|
§ 2. Несводимость аксиомы счетной суммы к аксиоме конечной суммы | 361
|
§ 3. Независимость введенной системы аксиом | 364
|
Глава шестая ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III | 366
|
Введение | 366
|
§ 1. Малая факторизационная теорема для метрических пространств, ω-дискретные отображения на пространства со счетной базой | 368
|
§ 2. Второе доказательство тождества Даукера dim∞ X = dim X | 371
|
§ 3. Тождество Катетова dim X = Ind X для метрического пространства Х, другие характеристики размерности метрического пространства | 375
|
§ 4. Факторизационная теорема для метрических пространств. Универсальные метрические пространства | 388
|
Глава седьмая НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ И СОВЕРШЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА | 396
|
Введение | 396
|
§ 1. Неравенство Урысона — Менгера dim (Р U Q) ≤ dim Р + dim Q + 1 для любых множеств Р и Q, лежащих в наследственно нормальном пространстве | 398
|
§ 2. Аддиционная теорема для большой индуктивной размерности | 401
|
§ 3. Теорема монотонности и теорема суммы для большой индуктивной размерности в совершенно нормальных пространствах | 406
|
§ 4. Некоторые следствия из теоремы суммы для большой индуктивной размерности в совершенно нормальных пространствах | 411
|
§ 5. Теорема Катетова: равенство dimX=IndX для метрических пространств (доказательство Даукера — Гуревича) | 416
|
Глава восьмая НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ, ЛЕЖАЩИХ В R^m | 422
|
Введение | 422
|
§ 1. Множества размерности m в R^m | 425
|
§ 2. О разбиении пространства R^n лежащими в нем замкнутыми множествами | 428
|
§ 3. Теорема Куратовского и пример Ситникова | 434
|
§ 4. Формула Катетова μ dim X ≤ dim X ≤ 2μ dim X | 441
|
§ 5. Теорема Ситникова о метрических свойствах n-мерных замкнутых множеств в R^m | 445
|
Глава девятая НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ | 449
|
Введение | 449
|
1. Замкнутые отображения, повышающие размерность | 449
|
2. Замкнутые отображения, понижающие размерность | 452
|
3. Счетнократные открытые отображения | 456
|
4. Нульмерные открытые отображения, повышающие размерность | 462
|
Прибавление к главе девятой | 473
|
Глава десятая БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Введение | 492
|
§ 1. Трансфинитные индуктивные размерности | 494
|
§ 2. Счетномерные пространства | 503
|
§ 3. Слабо счетномерные пространства | 517
|
§ 4. Определение слабо и сильно бесконечномерных пространств, их характеристика при помощи отображений в гильбертов кирпич | 528
|
§ 5. Теоремы монотонности, сложения и суммы для слабо бесконечномерных пространств | 534
|
§ 6. Строение S-слабо бесконечномерных пространств | 538
|
§ 7. Бикомпактные расширения слабо бесконечномерных пространств | 513
|
§ 8. Бесконечномерные канторовы многообразия | 550
|
ПРИЛОЖЕНИЕ | 554
|
Факторизационная теорема для большой индуктивной размерности. Теоремы об универсальном бикомпакте и бикомпактном расширении данного веса и данной большой индуктивной размерности | 555
|
Литература | 565
|
Предметный указатель | 573
|