URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности: Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности Обложка Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности: Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности
Id: 319617
1399 р.

Введение в теорию размерности:
Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. Изд. 2, стереотип.

2025. 576 с.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Книга вводит читателя в область топологии, известную под названием «теория размерности». Эта область посвящена нахождению и изучению достаточно простых и имеющих наглядный смысл закономерностей, связывающих весьма общие математические объекты — топологические пространства — с основными геометрическими образами — линиями, поверхностями, многообразиями трех и больше измерений.

Авторы не стремятся к изложению многочисленных, доказанных... (Подробнее)


Оглавление
top
Оглавление3
Предисловие7
Вводные замечания13
Глава первая ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ15
§ 1. Топологические пространства и основные связанные с ними понятия15
§ 2. Базы и вес топологических пространств31
§ 3. Метрические и метризуемые пространства36
§ 4. Связность46
§ 5. Аксиомы отделимости53
§ 6. Системы множеств и покрытия66
§ 7. Бикомпактные, финально компактные, паракомпактные пространства. Совершенные отображения75
§ 8. Топологические произведения. Теоремы А. Н. Тихонова. Локально бикомпактные пространства89
§ 9. Максимальное бикомпактное расширение106
§ 10. Покрытия нормальных пространств112
§11. Метризация и паракомпактность122
Прибавление к главе первой142
§ 1. Обратные спектры топологических пространств142
§ 2. Веерные произведения топологических пространств152
Глава вторая ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ157
§ 1. Перегородки. Большая и малая индуктивные размерности157
§ 2. Размерность dim X (определенная посредством покрытий)164
§ 3. Нульмерные пространства170
§ 4. Малая индуктивная размерность. Формула Урысона — Менгера. Примеры нульмерных и не нульмерных пространств179
Глава третья РАЗМЕРНОСТЬ ПОЛИЭДРОВ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ190
Введение190
§ 1. Пространство R^n и его симплексы191
§ 2.Симплициальные комплексы201
§ 3. Равенство dim Р^n = n для n-мерных (в элементарном смысле) полиэдров. Леммы Шпернера211
§ 4. Некоторые дальнейшие следствия леммы Шпернера218
§ 5. Существенные отображения на замкнутый симплекс224
Прибавление к главе третьей227
§ 1. Понятие гомотопии; существенные отображения на сферу227
§ 2. Лемма о грибе231
Глава четвертая ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. I236
Введение236
§ 1. Канонические и барицентрические отображения242
§ 2. Аппроксимационные теоремы247
§ 3. Доказательство теоремы об ω- и ε-отображениях. Нульмерные отображения компактов в кубы той же размерности254
§ 4. Теорема Нёбелинга — Понтрягина259
§ 5. Усиления теоремы Нёбелинга — Понтрягина и их следствия262
§ 6. Доказательство теоремы о существенных отображениях265
§ 7. Доказательство теоремы суммы271
§ 8. Некоторые следствия теоремы суммы и окончание исследования пространств со счетной базой272
§ 9. Теорема суммы для локально конечных систем замкнутых множеств нормального пространства; локальная размерность loc dim X282
§ 10. Первая теорема Даукера284
§ 11. Вторая теорема Даукера: dim X = dim∞ X = dim *Х287
Глава пятая ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. II293
Введение293
§ 1. Равенства (1) dim β X = dimX, (2) Ind β Х = Ind X для нормальных пространств. Дискретная сумма пространств296
§ 2. Первая факторизационная теорема для бикомпактов и ее следствия300
§ 3. Вторая (общая) факторизационная теорема для бикомпактов304
§ 4. Универсальные бикомпакты данного веса и данной размерности. Теорема Скляренко308
§ 5. Случай компактов: теорема Фрейденталя310
§ 6. Бикомпакты с несовпадающими размерностями dim X ≠ ind X314
§ 7. Анализ неравенства ind X ≤ dim Х пономаревские пространства. Возвращение к пространствам со счетной базой326
§ 8. Теорема о перегородках338
§ 9. Размерность произведения. Канторовы многообразия344
§ 10. Аксиоматика размерности компактов355
Прибавление к главе пятой358
§ 1. Доказательство специальной теоремы358
§ 2. Несводимость аксиомы счетной суммы к аксиоме конечной суммы361
§ 3. Независимость введенной системы аксиом364
Глава шестая ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ. III366
Введение366
§ 1. Малая факторизационная теорема для метрических пространств, ω-дискретные отображения на пространства со счетной базой368
§ 2. Второе доказательство тождества Даукера dim∞ X = dim X371
§ 3. Тождество Катетова dim X = Ind X для метрического пространства Х, другие характеристики размерности метрического пространства375
§ 4. Факторизационная теорема для метрических пространств. Универсальные метрические пространства388
Глава седьмая НАСЛЕДСТВЕННО НОРМАЛЬНЫЕ И СОВЕРШЕННО НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА396
Введение396
§ 1. Неравенство Урысона — Менгера dim (Р U Q) ≤ dim Р + dim Q + 1 для любых множеств Р и Q, лежащих в наследственно нормальном пространстве398
§ 2. Аддиционная теорема для большой индуктивной размерности401
§ 3. Теорема монотонности и теорема суммы для большой индуктивной размерности в совершенно нормальных пространствах406
§ 4. Некоторые следствия из теоремы суммы для большой индуктивной размерности в совершенно нормальных пространствах411
§ 5. Теорема Катетова: равенство dimX=IndX для метрических пространств (доказательство Даукера — Гуревича)416
Глава восьмая НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О МНОЖЕСТВАХ, ЛЕЖАЩИХ В R^m422
Введение422
§ 1. Множества размерности m в R^m425
§ 2. О разбиении пространства R^n лежащими в нем замкнутыми множествами428
§ 3. Теорема Куратовского и пример Ситникова434
§ 4. Формула Катетова μ dim X ≤ dim X ≤ 2μ dim X441
§ 5. Теорема Ситникова о метрических свойствах n-мерных замкнутых множеств в R^m445
Глава девятая НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОВЫШАЮЩИЕ И ПОНИЖАЮЩИЕ РАЗМЕРНОСТЬ449
Введение449
1. Замкнутые отображения, повышающие размерность449
2. Замкнутые отображения, понижающие размерность452
3. Счетнократные открытые отображения456
4. Нульмерные открытые отображения, повышающие размерность462
Прибавление к главе девятой473
Глава десятая БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Введение492
§ 1. Трансфинитные индуктивные размерности494
§ 2. Счетномерные пространства503
§ 3. Слабо счетномерные пространства517
§ 4. Определение слабо и сильно бесконечномерных пространств, их характеристика при помощи отображений в гильбертов кирпич528
§ 5. Теоремы монотонности, сложения и суммы для слабо бесконечномерных пространств534
§ 6. Строение S-слабо бесконечномерных пространств538
§ 7. Бикомпактные расширения слабо бесконечномерных пространств513
§ 8. Бесконечномерные канторовы многообразия550
ПРИЛОЖЕНИЕ 554
Факторизационная теорема для большой индуктивной размерности. Теоремы об универсальном бикомпакте и бикомпактном расширении данного веса и данной большой индуктивной размерности555
Литература565
Предметный указатель573

Об авторах
top
photoАлександров Павел Сергеевич
Выдающийся ученый-математик, создатель отечественной топологической школы, получившей мировое признание. Лауреат Сталинской премии первой степени за научные работы в области математики: «Общая комбинаторная топология» и «О гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств». Герой Социалистического Труда. Награжден шестью орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом «Знак Почета». Лауреат Премии имени Н. И. Лобачевского за цикл работ по гомологической теории размерностей.

Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1917 г. Доцент Московского университета с 1921 г., профессор с 1929 г. В том же году был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1953 г. — академиком. В 1932–1964 гг. — президент Московского математического общества, в 1958–1962 гг. — вице-президент Международного математического союза.

П. С. Александров ввел ряд фундаментальных понятий и конструкций топологии, создал теорию существенных отображений и гомологическую теорию размерности, основал и развил теорию компактных и бикомпактных пространств. Получил большое количество важных результатов в области теории множеств, теории функций действительного переменного. Среди его учеников такие известные математики, как Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, Л. Д. Кудрявцев, А. Г. Курош, Ю. М. Смирнов.

photoПасынков Борис Алексеевич
Доктор физико-математических наук. Заслуженный профессор Московского университета. Работал на механико-математичеком факультете МГУ с 1960 года, сразу после его окончания, по 2020 год. Прошел путь от ассистента до профессора. Внес огромный вклад в построение теории размерности и теории послойной общей топологии. Факторизационные теоремы, теоремы монотонности размерности и теоремы о размерности произведений, полученные Б. А. Пасынковым, вошли в число важнейших результатов теории размерности. Введенные им понятия частичного произведения, прямоугольности произведения, d-расположенности подмножеств, почти метризуемости топологической группы стали классическими инструментами топологии. Б. А. Пасынков — автор более 114 научных трудов по топологии, имеющих мировую значимость.