Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами Изд. 3

2025. 376 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Книга для школьников... И НЕ ТОЛЬКО!

Типографская бумага

Аннотация

Данное пособие посвящено задачам с параметрами, которые для большинства абитуриентов традиционно являются задачами повышенной трудности.

В пособии основное внимание уделено классификации методов, основанных на использовании различных свойств функций (ограниченность, монотонность, периодичность, четность и т.д.), симметрии переменных, применении производной, а также специальных приемов решения задач с параметрами, требующих глубокого... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				3
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ				7
1.1. Область допустимых значений параметров и неизвестных				11
1.2. Область изменения функции				14
1.3. Условия равносильности преобразований				18
1.4. Непрерывность и монотонность изменения функций				22
1.5. Четность функций и симметричность переменных				25
1.6. Задачи для самостоятельного решения				31
1.7. Указания и ответы				35
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ГРАФИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ				37
2.1. Метод сечений				37
2.2. Метод областей				52
2.3. Задачи для самостоятельного решения				62
2.4. Указания и ответы				65
Глава 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ				69
3.1. Краткая теория квадратного трехчлена				69
3.2. Задачи на исследование квадратичной функции				73
3.3. Задачи, приводимые к исследованию квадратичной функции				79
3.4. Решение относительно параметра				88
3.5. Задачи для самостоятельного решения				92
3.6. Указания и ответы				95
Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ				97
4.1. Краткая теория систем линейных уравнений				97
4.2. Задачи на решение систем линейных уравнений				103
4.3. Смешанные задачи на линейные системы и квадратный трехчлен				112
4.4. Задачи для самостоятельного решения				116
4.5. Указания и ответы				119
Глава 5. ЭКСТРЕМУМЫ				121
5.1. Разные задачи на минимум и максимум				121
5.2. Использование производной при решении экстремальных задач				131
5.3. Условные экстремумы и изопериметрические задачи				140
5.4. Задачи для самостоятельного решения				152
5.5. Указания и ответы				157
Глава 6. "НЕСТАНДАРТНЫЕ" И "ЛОГИЧЕСКИЕ" ЗАДАЧИ				159
6.1. Необходимые и достаточные условия				159
6.2. "...Хорошая догадка - половина решения!"				162
6.3. "Квазиэквивалентность" уравнений и неравенств				167
6.4. Логические задачи на использование свойств четности и симметрии				174
6.5. Логические задачи на количество решений				181
6.6. Задачи для самостоятельного решения				190
6.7. Указания и ответы				193
Глава 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ				195
7.1. Параметры в тригонометрических задачах				195
7.2. Параметры в логарифмических задачах				206
7.3. Задачи на делимость многочленов				211
7.4. Задачи с параметрами на множестве комплексных чисел				218
7.5. "Совсем разные" задачи				226
7.6. Задачи для самостоятельного решения				233
7.7. Указания и ответы				241
Послесловие с комментарием к наглядному материалу и историко-литературными отступлениями				245
Приложение I. КОНКУРСНЫЕ ПРИМЕРЫ С ПАРАМЕТРАМИ КАК АНАЛОГИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ				263
Приложение II. ЗАДАЧИ ПОСЛЕДНИХ ЛЕТ				305
Указания и ответы				348
Литература				365

Об авторах

Натяганов Владимир Леонидович

Кандидат физико-математических наук, доцент. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Работает на кафедре газовой и волновой динамики механико-математического факультета. Специалист в области уравнений математической физики, электромагнитной механики сплошных сред и обратных задач геофизики. Был директором Специализированного учебно-научного центра им. А. Н. Колмогорова при МГУ (СУНЦ); позже был заведующим кафедрой математики. В настоящее время ведет спецкурс по решению задач с параметрами. Область научных интересов — прогнозирование и моделирование опасных явлений природы катастрофического характера: землетрясений, торнадо, тайфунов, шаровых молний. Соавтор двух патентов на открытие «Способ краткосрочного прогноза землетрясений» в 2017 и 2018 гг. Автор более 150 научных и методических работ, ряда коллективных монографий и учебных пособий.

За научные достижения награжден Национальным комитетом по теоретической и прикладной механики медалью им. Х. А. Рахматулина, Федерацией космонавтики России — медалью им. Г. А. Тюлина, к 250-летию МГУ — памятным знаком «За самоотверженное служение науке и образованию».

Лужина Любовь Михайловна

Кандидат физико-математических наук. Окончила механико-математический факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Доцент кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ. Преподавала в ФМШ №18 на подготовительном отделении и подготовительных курсах МГУ. Автор более 50 научных и методических работ, ряда учебных пособий.