|
Оглавление
Предисловие
Настоящая монография представляет собой обобщение результатов работы авторов в области прикладной математической статистики. Ее цель – предложить практикующим аналитикам инструмент исследования временных рядов, опирающийся на некоторые эмпирические статистики, а также имеющий и определенные теоретические обоснования. В основе развиваемого подхода лежит понятие выборочной функции распределения, меняющейся с течением времени. Изучение нестационарного временного ряда использует представление об эволюции во времени соответствующего выборочного распределения, что позволяет поставить задачу прогнозирования в терминах кинетических уравнений. Наибольшая информация о процессе содержится в функции распределения параметров, интересующих исследователя, поэтому именно эволюция функции распределения этих параметров должна быть первичным объектом изучения. По структуре данная работа условно разделяется на две части. Первая часть – теоретическая, в ней излагаются необходимые сведения из теории стационарных и нестационарных случайных процессов и математической статистики и описывается подход авторов к проблеме анализа нестационарных временных рядов. В ней также содержатся основы метода кинетических уравнений применительно к задаче эволюции выборочной функции распределения и приведены некоторые результаты теории динамических систем с хаосом и с вырождением в фазовом пространстве. Во второй части приводятся примеры практического применения развитой теории для анализа и прогнозирования временных рядов, встречающихся в различных областях деятельности – от прогнозирования биржевых котировок до анализа литературных текстов. Примеры для иллюстрации возможностей метода относятся к различным статистическим задачам или типам временных рядов. Это задачи прогнозирования существенно нестационарных рядов без какой-либо внутренней структуры (биржевые котировки акций) и с выраженной структурой (назначенная периодичность на рынке электроэнергии). Рассматриваются также задачи оптимизации небольших объемов выборок в используемых моделях макроэкономики на примере рынка энергоресурсов, в частности природного газа. Разобран пример применения метода выборочных функций распределения к задаче кластеризации, возникающей при анализе литературных текстов. Во введении делается обзор основных направлений исследований в области статистического анализа нестационарных временных рядов и формулируются проблемы, возникающие при разработке различных моделей прогнозирования. В первой главе приводятся основные определения математической статистики, а также утверждения, на основе которых построены часто применяющиеся на практике методы анализа случайных процессов. Описываются существующие методы прогнозирования стационарных временных рядов и обсуждаются проблемы, возникающие при анализе реальных ситуаций. Подробно рассмотрены подходы к анализу и прогнозированию нестационарных временных рядов. Вторая глава посвящена изложению кинетической теории применительно к традиционным объектам – динамическим системам, к которым часто сводятся модели стационарных случайных процессов. В ней с кинетической точки зрения рассмотрены модели динамического хаоса и системы с вырожденной динамикой, которые также могут демонстрировать хаотическое поведение. В третьей главе ставится задача о построении статистик, описывающих изменчивость ряда. Такими статистиками являются: ряд оптимальных объемов выборки для целей прогнозирования выборочной функции распределения на заданном интервале времени с заданной точностью, а также ряд максимальных горизонтов прогнозирования, использующих заданный объем выборки. Важно подчеркнуть, что, в отличие от собственно ряда, прогноз выборочной функции распределения может быть осуществлен с точностью, определяемой доступным объемом выборки, т.е. эта точность часто может быть задана в достаточно широких пределах как дополнительное условие задачи. В этой же главе выводятся основные свойства статистики оптимального объема выборки: строится функционал соответствующего критерия, находятся явные формулы для стационарного случая и дается их обобщение на нестационарные процессы. В четвертой главе формулируется метод кинетических уравнений для исследования нестационарных временных рядов и строятся модели эволюции соответствующих выборочных функций распределения. В частности, построены математические модели прогнозирования выборочных функций распределения для нестационарных временных рядов с помощью кинетических уравнений Лиувилля и уравнений типа Фоккера–Планка. Рассмотрен подход к конструированию моделей временных рядов на основе зацепляющихся кинетических уравнений для функций распределения по аналогии с классическим подходом в теории кинетических уравнений. Разработанная методика прогнозирования выборочной функции распределения нестационарного временного ряда формулируется на уровне алгоритма, и описывается ее численная реализация. В пятой главе кинетический метод прогнозирования и сам алгоритм подробно описаны на примере ряда цен и объемов продаж на российском рынке электроэнергии. В шестой главе приведены примеры анализа и прогнозирования нестационарных временных рядов, возникающих в финансовой области. Это ряды на рынке ценных бумаг, динамика индексов и курсов валют. Функционалы от так называемой "горизонтной статистики", введенной для анализа нестационарных рядов, могут служить индикаторами изменчивости конкретного рынка. В седьмой главе строятся модели прогнозирования на сырьевых рынках. Эти модели несколько отличаются от моделей прогнозирования финансовых инструментов, поскольку позволяют более четко выделить детерминированную составляющую, определяемую спросом на тот или иной тип ресурсов. Рассматривается динамика цен на энергоресурсы, в частности на нефть и газ. Подробно рассмотрен вопрос о прогнозировании цен на мировых рынках сжиженного природного газа, связанный с задачей нахождения коинтегрированных временных рядов. В восьмой главе приводятся примеры применения статистического анализа в литературе. Литературное произведение может быть формально представлено в виде последовательного набора определенных знаков (букв), разумеется, не совсем случайных для их авторов, но в значительной степени случайных для читателей. Статистический анализ позволяет определить "фирменную подпись" автора произведения, а также достаточный для формирования этой подписи объем текста. Использование функций распределения произведения по буквам полезно при изучении особенностей языка в широком смысле – как носителя информации. В заключении подытоживаются основные результаты данной работы и обсуждаются области их дальнейшего применения, указываются ограничения построенной прогнозной модели и возможности ее совершенствования. В приложении представлены блок-схемы разработанных численных алгоритмов прогнозирования нестационарных выборочных функций распределения, написанных на языке Java. Благодарности Авторы признательны своим коллегам – сотрудникам Мехмата МГУ, кафедры высшей математики МФТИ и отдела кинетических уравнений и вычислительной физики ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, обсуждение с которыми результатов данной работы было исключительно полезным. Особую благодарность авторы выражают зав. сектором ИПМ им.М.В.Келдыша РАН к. ф.-м. н. Н.А.Митину, прочитавшему книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний и советов. Об авторах
 Орлов Юрий Николаевич Доктор физико-математических наук, заведующий сектором кинетических уравнений отдела вычислительной физики и кинетических уравнений Института прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН, профессор МФТИ. Окончил Московский физико-технический институт в 1987 г., специалист в области математической статистики, а также классической и квантовой статистической механики.
 Осминин Константин Павлович Кандидат физико-математических наук. Окончил мехмат МГУ имени М. В. Ломоносова в 2005 г., специалист в области геометрии, топологии и теории особенностей, математической статистики и математического моделирования.
 Мантенья Росарио Н. Доктор Росарио Н. Мантенья работает в области эмпирического и теоретического моделирования сложных систем. Начиная с 1989 г. его исследования сосредоточены на изучении финансовых систем с использованием методов статистической физики. В частности, он является создателем так называемого «усеченного полета Леви»; им установлено, что этот процесс описывает различные статистические свойства индекса S&P 500. Он также применил концепции многомерных пространств и корреляционных матриц к моделированию финансовых рынков. Д-р Мантенья является профессором физики университета Палермо.
 Стенли Г. Юджин Доктор Г. Юджин Стенли более 30 лет работает на физических факультетах Массачусетского технологического института (MIT) и Бостонского университета. Он является автором монографии под названием «Введение в фазовые переходы и критические явления» (Oxford Univеrsity Press, 1971). Его книга донесла до широкой аудитории ключевые идеи масштабной инвариантности, которые, как теперь доказано, весьма полезны в самых разнообразных прикладных областях. В последнее время д-р Стенли и его сотрудники исследовали вопрос о том, в какой степени скейлинговые концепции по-новому освещают проблемы экономической теории, а также проблемы, характерные для биологии и медицины.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||