|
Оглавление
Предисловие к первому изданию
В данной книге изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из них относятся «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.) и «одномерный бильярд» (конечное число точечных шаров, движущихся по отрезку, лучу или по всей бесконечной прямой). Общим свойством бильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. О геометрических, «арифметических», физических следствиях этого закона и рассказывается в книге. Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы. Многие из излагаемых в книге результатов являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой. Проблемы этой теории непосредственно близки к переднему краю сегодняшней математики. Поэтому книга, возможно, будет интересна не только школьникам, ио и студентам, и специалистам — математикам, механикам, физикам. В ней сформулировано немало вопросов, остающихся открытыми, и мы надеемся, что кому-нибудь из читателей книги удастся продвинуться в их исследовании. Учитывая элементарность методов (при неэлементарности результатов) и плодотворность свежего взгляда иа рассматриваемые вопросы и проблемы, мы особенно рассчитываем на читателей-старшеклассников. Многие из решаемых в книге задач разбирались на занятиях кружков в физико-математической школе-интернате при МГУ, в летнем лагере Малой академии наук Крыма «Искатель». Часть материала публиковалась в журнале «Квант» (см. список литературы в конце книги). Некоторые идеи и результаты, приводимые в книге, неоднократно обсуждались с участниками семинара МГУ по теории динамических систем и с его руководителем Я. Г. Синаем. Этот семинар является одним из наиболее известных мировых центров по теории динамических систем и, в частности, по теории бильярдов; часть приводимых нами результатов принадлежит его участникам. Многолетнее участие авторов в работе этого семинара в значительной мере способствовало написанию этой книги. Читателю не следует рассчитывать на легкое чтение — через некоторые параграфы, наверное, придется буквально продираться, вооружившись карандашом и бумагой, иногда — ножницами и клеем, а может быть, микрокалькулятором или компьютером. Книгу не обязательно читать подряд — напротив, проскочив (как бильярдный шар) через параграф или главу, читатель может найти интересующий его (и доступный ему) материал — потом можно и возвратиться. В книге много отступлений от чисто бильярдной тематики, вызванных тем, что бильярды имеют отношение к большому числу интересных и, иа наш взгляд, красивых задач, и поэтому мы надеемся, что читатель сможет разнообразить свои впечатления, узнать что-то новое и даже не совсем обычное. Но стоит сразу предупредить любителей игры в бильярд — в нашей книге нет не только соответствующих полезных советов, но даже и правил этой древней игры. Эта книга — по математике, а любителям обычного бильярда мы можем порекомендовать публикации журнала «Наука и жизнь» (см. [1] в списке литературы) н книгу Г. Г. Кориолиса «Математическая теория явлений бильярдной игры» (М.: Гостехиздат, 1956), а также посетить возродившиеся чемпионаты страны по бильярду. Как известно, «нестрого» не означает «неверно», равно как и «строго» не означает «уместно» или «интересно» (это высказываение принадлежит современному американскому физику Дж. Лебови-цу — одному из ведущих специалистов по статистической механике). Поэтому в большинстве важных математических вопросов (при изложении методов) мы старались придерживаться полной (насколько это возможно при принятом элементарном подходе) строгости, однако в ряде вопросов более общего (физического) характера (когда касались общих принципов или идей) ограничились интуитивным уровнем описания. Это следует иметь в виду и читателю-ригористу, и читателю-«физику», привыкшему больше доверять своей интуиции. Представление о структуре книги можно получить не только из оглавления — в конце Введения, в котором сформулирована основная часть рассматриваемых далее вопросов и проблем, коротко рассказано и о последовательности изложения. Читатель, заинтересовавшийся дальнейшими деталями «математики бильярдов» или другими подходами к излагаемым вопросам, может обратиться к списку литературы в конце книги. Мы благодарны Я. Г. Синаю, внимательно прочитавшему всю рукопись и сделавшему много замечаний и предложений по улучшению ее текста, а также Л. А. Бунимовичу, Я. Б. Песину, А. М. Степину и Ю. П. Соловьеву, своими замечаниями способствовавшими улучшению отдельных мест книги.
1990 г.
Об авторах
 Гальперин Григорий Александрович Кандидат физико-математических наук, профессор математики Университета Восточного Иллинойса (США; с 2003 г.). Специалист в области теории динамических систем и теории информации, создатель способа получения значения числа π с помощью опытов с бильярдными шарами — «пи-бильярда». Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова и его аспирантуру (научный руководитель А. Н. Колмогоров). В 1978 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «Асимптотическое поведение некоторых многокомпонентных динамических систем с локальным взаимодействием». Вместе с академиком Я. Г. Синаем работал над математической теорией бильярда. В 1980-е гг. — старший преподаватель, доцент физико-математического факультета Московского государственного заочного педагогического института (МГЗПИ). С 1992 г. — член Фонда Александра фон Гумбольдта (Германия). В 1992–1993 гг. — приглашенный профессор Северо-Западного университета (г. Эванстон, Иллинойс, США). В начале 2000-х гг. работал в Билефельдском университете (Германия).
Г. А. Гальперин был организатором и координатором московских, всесоюзных и американских математических олимпиад. С 1999 г. по настоящее время — член жюри Американской математической олимпиады (USAMO), составитель задач. В 2003 г. — руководитель команды США на Международной математической олимпиаде в Токио. Награжден премией имени Карла Аллендорфера Математической ассоциации Америки (2004), премией им. Т. Шапиро Университета штата Пенсильвания (2011), премией за выдающиеся заслуги перед Иллинойской секцией Математической ассоциации Америки (2014), премией Фонда Александра фон Гумбольдта (2015).  Земляков Александр Николаевич Советский и российский математик-педагог, автор учебно-педагогической литературы. Кандидат педагогических наук. В 1967 г. окончил физико-математическую школу-интернат № 18 при МГУ с золотой медалью и поступил на механико-математический факультет МГУ. Будучи еще студентом, начал работать в школе-интернате № 18, проработав там в общей сложности 15 лет. С 1975 г. работал в Институте общего среднего образования РАО, ведущим научным сотрудником которого оставался до конца жизни, параллельно продолжая преподавать в экспериментальной школе в Черноголовке. В 1983 г. защитил диссертацию по методике преподавания математики.
Научные интересы А. Н. Землякова лежали в области эргодической теории. Он был одним из учеников Я. Г. Синая, ставшего впоследствии академиком РАН. А. Н. Земляков создавал собственные курсы алгебры, анализа, геометрии, математики для летней школы «Как решать конкурсные задачи» и оригинальные учебные пособия к ним. Он опубликовал в общей сложности около 200 научно-педагогических работ, среди которых книги по геометрии, ставшие настольными для учителей по всей стране и выдержавшие несколько переизданий. Его многочисленные спецкурсы неизменно собирали полные аудитории, и для многих учеников А. Н. Земляков на всю жизнь остался любимым учителем. Кориолис Гаспар-Гюстав
Выдающийся французский математик, инженер и ученый. Родился в Париже. Окончил в 1812 г. Политехническую школу, где позже стал преподавателем, а затем профессором и в 1831 г. директором. Преподавал также в Центральной школе искусств и ремесел и в Школе мостов и дорог. В 1836 г. был избран академиком Парижской академии наук.
Г. Кориолис дал окончательную формулировку теории относительного движения, введя понятия о так называемых силе Кориолиса и ускорении Кориолиса. Он вывел знаменитую теорему, получившую название теоремы Кориолиса и являющуюся основной в механике относительного движения. Им было дано определение понятия «механическая работа», имевшего впоследствии решающее значение для установления закона сохранения энергии. Важное значение имели его труды, посвященные расчету действия машин, соударению упругих шаров и др. Книга «Математическая теория явлений бильярдной игры», которую автор называл своим любимым произведением, была опубликована в 1835 г.  Босс В. Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».
Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем. Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов». За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете. Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования. Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому». |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
