|
Содержание
 Предисловие.................................... 8
1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры......................... 11 1.1. Мотивировка............................. 11 1.2. Декартовы и криволинейные координаты ........... 14 1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат .. 21 Задачи к п. 1............................. 25 2. Длина кривой в криволинейной системе координат ........................... 25 2.1. Длина кривой в евклидовой системе координат........ 25 2.2. Длина кривой в криволинейной системе координат..... 29 2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства................ 33 2.4. Индефинитные метрики...................... 36 Задачи к п. 2............................. 40 3. Геометрия на сфере, плоскости .................. 40 Задачи к п. 3............................. 48 4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского............. 48 Задачи к п. 4 ............................. 69
1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств................... 70 1.1. Метрические пространства .................... 70 1.2. Топологические пространства................... 74 1.3. Непрерывные отображения.................... 76 Задачи к п. 1 ............................. 82 2. Связность. Аксиомы отделимости................. 82 2.1. Связность............................... 82 2.2. Аксиомы отделимости....................... 86 Задачи к п. 2 ............................. 89 3. Компактные пространства ...................... 89 3.1. Компактные пространства..................... 89 3.2. Свойства компактных пространств ................ 90 3.3. Метрические компактные пространства............. 92 3.4. Операции над компактными пространствами......... 94 Задачи к п. 3............................. 95 4. Функциональная отделимость................... 95 5. Разбиение единицы.......................... 99 Задачи к п. 5............................. 101
Введение................................. 102 1. Понятие многообразия........................ 104 1.1. Основные определения....................... 104 1.2. Функции замены координат. Определение гладкого многообразия .............. 109 1.3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм............. 116 Задачи к п. 1 ............................. 121 2. Задание многообразий уравнениями............... 121 3. Касательные векторы. Касательное пространство...... 126 3.1. Простейшие примеры ....................... 127 3.2. Общее определение касательного вектора........... 131 3.3. Касательное пространство Tp0 (M)................ 132 3.4. Пучок соприкасающихся кривых................. 134 3.5. Производная функции по направлению............. 136 3.6. Касательное расслоение ...................... 142 Задачи к п. 3 ............................. 145 4. Подмногообразия ........................... 145 4.1. Дифференциал гладкого отображения .............. 145 4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал...... 151 4.3. Теорема Сарда............................ 154 4.4. Вложение многообразий в евклидово пространство...... 158 4.5. Риманова метрика на многообразии............... 162 Задачи к п. 4 ............................. 164
1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве................... 165 1.1. Теория кривых на плоскости. Формулы Френе ......... 165 1.2. Теория пространственных кривых. Формулы Френе ..... 173 Задачи к п. 1 ............................. 180 2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы......................... 180 2.1. Первая квадратичная форма.................... 180 2.2. Вторая квадратичная форма .................... 184 2.3. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности ........................ 189 2.4. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей . . . 198 Задачи к п. 2 ............................. 219 3. Группы преобразований....................... 219 3.1. Простейшие примеры групп преобразований......... 219 3.2. Матричные группы преобразований ............... 234 3.3. Полная линейная группа GL(n, R) и GL(n, C)......... 236 3.4. Специальная линейная группа SL(n, R) и SL(n, C)...... 236 3.5. Ортогональная группа O(n, R) и O(n, C)............ 236 3.6. Унитарная группа U(n) и специальная унитарная группа SU(n) ............................ 238 3.7. Симплектическая группа Sp(n).................. 245 Задачи к п. 3 ............................. 249 4. Динамические системы ....................... 249 5. Классификация двумерных поверхностей ........... 267 5.1. Многообразия с краем....................... 267 5.2. Ориентируемые многообразия .................. 269 5.3. Классификация двумерных многообразий ........... 273 6. Римановы поверхности алгебраических функций ...... 295
1. Общее понятие тензорного поля на многообразии ........................ 315 2. Простейшие примеры тензорных полей ............ 321 3. Алгебраические операции над тензорами........... 326 4. Кососимметричные тензоры .................... 331 5. Внешние дифференциальные формы .............. 332 6. Объем области на многообразии ................. 336 7. Связность и ковариантное дифференцирование....... 344 7.1. Определение и свойства аффинной связности......... 344 7.2. Аксиоматическое задание ковариантного дифференцирования ........................ 351 8. Римановы связности ......................... 354 9. Параллельный перенос. Геодезические ............. 358 9.1. Предварительные замечания................... 358 9.2. Уравнение параллельного переноса ............... 360 9.3. Геодезические ............................ 363 9.4. Общие свойства геодезических .................. 373 10. Тензор кривизны ............................ 380 10.1. Предварительные замечания ................... 380 10.2. Координатное определение тензора кривизны ......... 381 10.3. Инвариантное определение тензора кривизны ........ 384 10.4. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана..... 386 10.5. Некоторые приложения тензора кривизны Римана...... 390
Введение.................................394 1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии ............................... 395 1.1. Дифференцирование внешних дифференциальных форм.....................395 1.2. Когомологии гладкого многообразия (когомологии де Рама) ....................... 402 1.3. Гомотопические свойства групп когомологий.........405 2. Интегрирование внешних форм .................. 412 2.1. Интеграл дифференциальной формы по многообразию..........................413 2.2. Формула Стокса...........................417 3. Степень отображения и ее приложения.............423 3.1. Пример ................................ 423 3.2. Степень отображения ........................ 425 3.3. Основная теорема алгебры .................... 427 3.4. Интегрирование форм ....................... 428 3.5. Гауссово отображение гиперповерхности ............ 429 4. Теорема Брауэра и индекс векторного поля.......... 434 4.1. Теорема Брауэра........................... 434 4.2. Индекс векторного поля на многообразии ........... 435 4.3. Другое доказательство теоремы Брауэра ............ 443 5. Дополнение: Двойственность Пуанкаре ............. 444 5.1. Когомологии де Рама с компактными носителями ...... 444 5.2. Когомологии евклидова пространства .............. 445 5.3. Точная последовательность Майера—Виеториса........447 5.4. Вычисление когомологий де Рама для n-мерной сферы Sn ......................448 5.5. Выпуклые окрестности риманова многообразия ........ 449 5.6. Конечномерность когомологий де Рама для компактных многообразий .................. 452 5.7. Гомологии многообразий ..................... 452
1. Понятие функционала. Экстремальные функции....... 455 2. Уравнение Эйлера........................... 458 3. Экстремальность геодезических.................. 463 4. Локальная минимальность геодезических........... 467 5. Минимальные поверхности..................... 472 6. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия ................... 478 7. Гамильтоновы динамические системы .............490
Предисловие
Дифференциальная геометрия и топология представляет собой важный раздел математики. Бурное развитие теоретической физики и механики XX в. привело к пониманию фундаментальности геометрических представлений в этих науках. Достаточно указать такие области, как теория относительности, механика сплошных сред, электродинамика, где геометрические методы являются основой математического аппарата. Настоящий курс посвящен основам дифференциальной геометрии и топологии. Современное состояние этой области возникло в результате усилий многих поколений математиков. Трудность описания истории развития геометрии заключается в том, что в настоящее время многие геометрические проблемы и идеи мы представляем, совсем в ином свете, нежели математики прежних времен. По-новому осмыслены почти все геометрические (и не только геометрические) методы в математике. С современной точки зрения геометрия и топология, основы которых излагаются в учебнике, базируются на нескольких фундаментальных идеях, которые кратко можно изложить следующим образом. Теоретико множественная, или общая, топология — это раздел геометрии, вобравший в себя формальные общие приемы исследования вопросов сходимости и непрерывности. Важная идея в геометрии — это идея использования криволинейных систем координат, приведшая в конечном итоге к тензорному анализу и теории инвариантов. Если математический анализ и теория дифференциальных уравнений в основном исследуют свойства функций «в малом» (на бесконечно малых расстояниях точек друг от друга), то геометрия изучает свойства функций и других аналогичных объектов «в большом», т. е. на достаточно больших расстояниях точек друг от друга. Эта интуитивная идея изучения свойств геометрических объектов «в большом» привела к фундаментальному понятию многообразия, как обобщению понятия области евклидова пространства. Не менее важным для геометрии в дальнейшем явилось сочетание указанных идей в их различных конкретных приложениях: геометрическое осмысление теории интегрирования, теория гомологии как формальное алгебраическое оформление интуитивного перехода от изучения пространств «в малом» к их изучению «в большом»; геометрическая интерпретация линейной аппроксимации нелинейных функций и отображений, принцип общего положения в геометрии и многие другие. Все эти геометрические идеи возникли при решении конкретных задач, способствуя как их решению, так и развитию геометрических представлений и методов. Иногда бывает трудно отделить представления, относимые теперь к дифференциальной геометрии и топологии, от других геометрических идей, оформившихся сейчас в разделы аналитической геометрии и линейной алгебры или вообще относящиеся к другим разделам математики. Геометрия древних, получившая свое завершение в «Началах» Евклида, в наименьшей степени затронула развитие дифференциальной геометрии. Один только вопрос, на протяжении многих веков казавшийся главнейшим, нашел простое и естественное разрешение в рамках дифференциальной геометрии. Это вопрос о доказательстве пятого постулата Евклида. Формулировка пятого постулата Евклида казалась настолько далекой от самоочевидности и независимости от других аксиом геометрии, что на протяжении многих веков математики безуспешно пытались дать ему доказательство на основании других аксиом. Первая в Европе попытка доказать постулат о параллельных была, по-видимому, сделана Львом Герсо нидом (12881344). Доказательством пятого постулата занимались такие математики, как К. Клавий (1574), П.Катальди (1603), Дж. Борелли (1658), Дж. Витале (1680), Дж. Валлис (1663), Дж. Саккери (1733), И. Ламберт (1766), А.Лежандр (1800), Ф.Швейкарт (1818), Ф.Тауринус (1825) и К.Ф. Гаусс. Хотя попытки доказательства пятого постулата оказались безуспешными, роль этих исследований велика — они заложили фундамент для развития новой, неевклидовой геометрии. Основоположником этой геометрии, основанной на отказе от пятого постулата, явился великий русский математик Н.И.Лобачевский (17921856). В 1826 г. он сделал первое сообщение о новой неевклидовой геометрии. С этого времени открывается новая эра в развитии геометрических представлений. В 1832 г. была опубликована работа Я. Больяи аналогичного содержания. К таким же идеям пришел и К. Ф. Гаусс, не опубликовавший свои работы. Если Н. И. Лобачевский пришел к своей неевклидовой геометрии, основываясь на аксиоматическом методе исследований, то дальнейшее развитие новых идей в геометрии происходило уже в соединении с другими фундаментальными принципами определения геометрических объектов, связанными с введением системы координат. Координаты употреблялись еще древними в географии и астрономии. В птолемеевой «Географии» встречаются уже широта и долгота как числовые координаты. В Европе близко к идее координат подошел Н. Орезм (13231382) при графическом задании функций. Однако о самих координатах у него нет и речи. Создателями метода координат и на его основе аналитической геометрии являются Р.Декарт (15961650) и П. Ферма (16011666). Системати ческое использование криволинейных координат в соединении с идеями Лобачевского привели к бурному развитию собственно дифференциальной геометрии. Б.Риман (18261866) сделал принципиально новый шаг — стал изучать произвольные, так называемые римановы, пространства, нашедшие важные приложения в механике, теории относительности и др. Возникли крупные быстро развивающиеся разделы геометрии — векторное и тензорное исчисление, риманова геометрия. Одновременно с римановой геометрией закладываются основы топологии, как части геометрии, посвященной свойству непрерывности. Конечно, истоки топологии следует искать в анализе бесконечно малых. Но первые работы собственно топологического характера появились уЛ. Эйлера (17071783) и К. Жордана (18381922). В начале XX в. создаются основы топологии (М. Фреше, Ф. Хаусдорф, А.Лебег, Л. Брауэр). Большую роль в создании топологии и ее применении сыграл А. Пуанкаре. Топология в настоящее время является бурно развивающейся областью. Несколько ранее оформился раздел дифференциальной геометрии — теория поверхностей. Теория поверхностей началась с работ Л. Эйлера и Г. Монжа. Соединение идей нелинейных координат, векторного и тензорного исчисления, теории поверхностей, а также плодотворность геометрических представлений в различных задачах естествознания привели к важнейшему в геометрии понятию — многообразию. По-видимому, первым четко выделил это понятие А.Пуанкаре (18541912). В настоящее время понятие многообразия прочно укоренилось в математическом мышлении. Наконец, следует остановиться еще на одном фундаментальном принципе, сыгравшем важную роль в развитии и понимании геометрии и многих фундаментальных проблем современной теоретической физики. Это так называемые групповые методы, основанные на идее инвариантности геометрических объектов относительно группы симметрий пространств. В геометрии групповые методы зародились при изучении проективной геометрии и связаны с именами Понселе, Штаудта, Мебиуса, Плюккера, Кэли. В 1872 г. вышла знаменитая работа Ф. Клейна, которая в дальнейшем получила название «Эралангенская программа». В ней Ф. Клейн подвел итоги и четко сформулировал групповые принципы построения геометрии. Групповые методы оказали большое влияние на развитие дифференциальной геометрии, топологии и различных приложений геометрии к другим разделам математики и естественных наук, хотя следует отметить, что все многообразие геометрических методов не сводится к групповой точке зрения на геометрию. Число математиков, внесших большой вклад в развитие дифференциальной геометрии и топологии, очень велико. Отметим, что русские и советские геометры оказали существенное влияние на это развитие.
Об авторах
 Мищенко Александр Сергеевич Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Ведущий научный сотрудник математического института им. В. A. Стеклова PAH. Окончил механико-математический факультет МГУ (1965). Область научных интересов: геометрия и топология и их приложения. Основное направление его работ связано с изучением и применением алгебраических и функциональных методов в теории гладких многообразий, c некоммутативной геометрией и топологией. Читает основные курсы лекций по топологии, по линейной алгебре и геометрии, по классической дифференциальной геометрии, по дифференциальной геометрии и топологии. Лауреат премии Московского математического общества (1971), Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники (1996), Ломоносовской премии Московского государственного университета (2001). Заслуженный профессор Московского университета с 2006 г. Подготовил 19 кандидатов и 4 докторов наук. Автор более 200 научных работ, в том числе более 20 монографий и учебных пособий.
 Фоменко Анатолий Тимофеевич Академик Российской академии наук, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||