URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Матвиевская Г.П. История математики: Курс лекций Обложка Матвиевская Г.П. История математики: Курс лекций
Id: 318219
539 р.

История математики:
Курс лекций. Изд. стереотип.

URSS. 2024. 208 с. ISBN 978-5-9519-4676-8.
Типографская бумага

Аннотация

Настоящая книга представляет собой курс лекций по истории математики, в котором прослеживается история развития математической науки с древнейших времен до XIX века. Данный материал призван помочь читателю увидеть математику «в целом» и понять закономерности ее развития.

Книга задумана как учебное пособие для студентов математических факультетов, но может представить интерес и для более широкого круга читателей. (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие5
Лекция 1. Введение6
Лекция 2. Основные периоды истории математики12
Лекция 3. Системы счисления18
Лекция 4. Период зарождения математики24
Лекция 5. Математика Древней Греции44
Лекция 6. Школа Пифагора50
Лекция 7. Открытие несоизмеримости60
Лекция 8. Греческая математика V–IV вв. до н. э. 74
Лекция 9. Архимед87
Лекция 10. Математика в странах Римской империи99
Лекция 11. Математика средневекового Ближнего и Среднего Востока111
Лекция 12. Алгебра Омара Хайяма126
Общий итог развития математики Ближнего и Среднего Востока в Средние века129
Лекция 13. Математика в средневековой Европе135
Лекция 14. Математика эпохи Возрождения141
Лекция 15. Начало математики переменных величин152
Лекция 16. Развитие инфинитезимальных методов161
Лекция 17. Анализ бесконечно малых: И. Ньютон и Г. В. Лейбниц179
Лекция 18. Математика XVIII в. 190
Вопросы для дифференцированного зачета по истории математики200
Список рекомендуемой литературы202

Предисловие
top

Настоящее учебное пособие написано на основе курса лекций, читавшихся в Оренбургском государственном педагогическом университете с 1994 по 2017 годы. Выражаю глубокую признательность за помощь в редактировании текста и подготовке его к печати доценту ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный педагогический университет», доктору педагогических наук, кандидату физико-математических наук Инессе Васильевне Игнатушиной и доценту ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный университет», кандидату физико-математических наук Инне Каримовне Зубовой. Благодарю также лаборантов кафедры математики и методики преподавания математики ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный педагогический университет» Люцию Гумеровну Богдалову и Елену Михайловну Санкову за оформление рукописи.

Автор


Лекция 1. Введение
top

История математики представляет собой, с одной стороны, научную дисциплину (как часть истории науки) и, с другой, — учебный предмет. Как правило, курс истории математики завершает математическое образование в университете. Он должен помочь студенту увидеть математику «в целом» и понять закономерности ее развития.

В обиходе математику обычно подразделяют на элементарную, полагая, что ее изучают в средней школе, и высшую, изучаемую в вузах. В действительности элементарная математика — это учение о числе (т. е. арифметика и алгебра как теория уравнений) и постоянных геометрических величинах (т. е. планиметрия и стереометрия). Высшая математика оперирует с переменными величинами.

В вузовский курс математики включены те ее разделы, которые сформировались к середине XIX века и могут быть названы классическими: математический анализ, теория обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, аналитическая и дифференциальная геометрия и т. д. О многочисленных математических теориях, появившихся позднее (функциональный анализ, топология, теория вероятностей и др.), студент получает лишь самое общее представление, так как современная математика огромна по объему и очень сложна по содержанию. Кроме того, математика находится в постоянном развитии, и ее объем постоянно расширяется и структурно усложняется.

Современная математика — это целая система научных дисциплин, которые оперируют существенно различными абстрактными понятиями и используют различные математические языки (например, теория чисел и теория вероятностей).

Эти различия настолько серьезны, что в 20-х годах XX века возник вопрос: существует ли единая наука математика? Положительный ответ на него был дан группой французских математиков, выступавших под псевдонимом Никола Бурбаки (A. Вейль, Ж. А. Дьедонне, В. Шевалле, Л. Шварц и др.). В серии книг, вышедших под общим названием «Элементы математики», был дан обзор всей математики, построенной на современном уровне научной строгости и опирающейся на возможно более общие принципы. Это удалось благодаря переводу всех математических теорий на единый предельно абстрактный математический язык. Таким образом, было доказано, что математика — это наука, имеющая единый предмет и метод.

Что же такое математика? Наиболее известно определение, которое было дано во второй половине XIX века: «Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира» (Ф. Энгельс).

Уже тогда было ясно, что эта наука имеет свои характерные особенности: абстрактность, бесспорность утверждений, универсальность применения результатов. Остановимся на этом вопросе подробнее.

1. Абстрактность, т. е. предельная отвлеченность свойственна всей математике, начиная с ее основных понятий. Так, в арифметике мы оперируем абстрактным понятием числа, в геометрии — прямой линии («длина без ширины») и геометрической фигуры (понятие, предполагающее отвлечение от всех реальных свойств предмета, кроме пространственной формы и размера). Далее следуют еще более отвлеченные понятия — комплексные числа, дифференциалы, интегралы, n-мерные и даже бесконечномерные пространства, для которых реальное пространство является только прообразом.

Абстрактность присутствует и в других науках, но математике свойственна самая высокая степень отвлеченности:

• математика абстрагируется от всего, кроме количественных отношений и пространственных форм;

• рассматриваются только абстрактные понятия и их связи;

• абстрактные не только математические понятия, но и ее метод — логическое доказательство;

• в математическом рассуждении опыт (эксперимент) не считается аргументом; например, можно измерить углы многих реальных треугольников и показать, что в них сумма углов равна 180°, но без доказательства это не является истиной.

Ярким свидетельством абстрактности математики является то, что в этой науке замечательные результаты смогли получить незрячие ученые, например, академик Лев Семенович Понтрягин (1908–1988) и член-корреспондент Академии наук Владимир Иванович Зубов (1930–2000).

2. Бесспорность утверждений обеспечивается логической строгостью их доказательств. Так, нельзя усомниться в истинности теоремы Пифагора.

3. Универсальность применения результатов математических рассуждений находит подтверждение не только во всех областях человеческой практики, в быту, технике, но и в науке. В механике, физике, астрономии широко применяются математические методы исследования.

Более того, еще Галилео Галилей (1564–1642) утверждал, что законы природы выражаются языком математики. Ту же мысль в XX веке высказал Нильс Бор (1885–1962), заявивший, что «математика — это больше, чем наука, это — язык». На нем может говорить любая естественная наука, нужно только уметь перевести задачу на язык математики. Например, записать ее в виде дифференциального уравнения, а затем найти метод его решения. Таким образом, в настоящее время наблюдается математизация естествознания.

С течением времени запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширялся в связи с запросами техники и естествознания. Учитывая сказанное выше о современной математике, вернемся к приведенному выше определению этой науки, в котором подчеркивается ее непосредственная связь с действительным миром. Ясно, что в настоящее время требуется его уточнение.

Новое определение, которое дал известный геометр и философ академик Александр Данилович Александров (1912–1999), звучит так: «Математика — это наука об отношениях и формах, взятых в отвлечении от содержания». В нем ничего не говорится об отношении математики к действительному миру. Согласно этому определению, математика способна включить в себя любую аксиоматически построенную абстрактную теорию.

При изучении математики учащийся последовательно осваивает все разделы учебной программы и не в состоянии составить представление о науке «в целом». Средство для достижения этой цели дает история математики, которая изучает объективные закономерности развития математической науки. Она прослеживает, как возникли математические понятия, как развивались идеи и методы математики, какие периоды она прошла до современного состояния. История математики показывает:

• математика не является порождением чистого разума, а возникла из практики;

• математика развивалась от конкретного к абстрактному, и степень ее абстрактности менялась с течением времени;

• доказательство как основной метод математики появилось лишь на определенной стадии ее развития.

История математики — древняя наука. Она важна для математиков-ученых, так как позволяет им определить место, которое занимают в науке полученные ими результаты. Не случайно историками математики становятся такие крупные ученые, как Б. Ван дер Варден, А. Вейль, А. Н. Колмогоров, А. Д. Александров, Б. В. Гнеденко.

История математики нужна преподавателю и особенно школьному учителю. Она показывает, что ученик, изучающий математику, проходит весь путь, по которому шло ее развитие, и для него оказываются трудными именно те вопросы, которые вызывали затруднение в реальной истории. Поэтому учитель должен использовать генетический метод, избрав естественный путь обучения растущего ребенка.

История математики дает учителю дополнительное средство развития логического мышления учащихся.

Использование историко-математического материала — это надежный методический прием, вызывающий интерес к учебному предмету даже у тех учащихся, которые не имеют к нему особых способностей.


Об авторе
top
photoМатвиевская Галина Павловна
Доктор физико-математических наук, академик АН Узбекистана, действительный член Международной академии наук. Окончила математико-механический факультет Ленинградского университета в 1954 г. по специальности "Теория чисел", затем аспирантуру Ленинградского отделения Института истории естествознания и техники АН СССР. Под руководством академика В. И. Смирнова исследовала неопубликованные рукописи великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера, хранящиеся в Архиве Академии наук. С 1959 по 1994 гг. работала в Институте математики Академии наук Узбекистана, где занималась историей математики средневекового Ближнего и Среднего Востока на основе изучения арабских математических рукописей. С 1994 г. — профессор Оренбургского государственного педагогического университета.