Борзых Д. А. Математическая статистика в задачах Изд. стереотип.

---

Предисловие				5
Предисловие к первому изданию книги «Теория вероятностей и математическая статистика в задачах»				6
Список обозначений				8
Глава 1. Основные способы получения точечных оценок				12
1. Элементы теории				12
2. Задачи				20
Глава 2. Несмещенность оценок				56
Глава 3. Информация Фишера. Неравенство Рао—Крамера. Эффективность оценок				73
Глава 4. Сходимость по вероятности. Состоятельность оценок. Неравенство Чебышева				88
Глава 5. Доверительные интервалы				111
1. Элементы теории				111
2. Доверительный интервал для неизвестного параметра mu при известном параметре sigma2 (случай нормальной случайной выборки)				112
3. Доверительный интервал для неизвестного параметра mu при неизвестном параметре sigma2				114
4. Доверительный интервал для неизвестного параметра sigma2 при известном параметре mu				117
5. Доверительный интервал для неизвестного параметра sigma2 при неизвестном параметре mu				120
6. Асимптотический доверительный интервал для вероятности успеха в схеме испытаний Бернулли				123
Глава 6. Проверка статистических гипотез				126
1. Тестирование гипотез о параметре mu при известном параметре sigma2				126
2. Тестирование гипотез о параметре mu при неизвестном параметре sigma2				129
3. Тестирование гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых случайных выборок при условии, что дисперсии этих выборок известны				133
4. Тестирование гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых случайных выборок при условии, что дисперсии этих выборок неизвестны, но равны между собой				137
5. Тестирование гипотезы о равенстве дисперсий двух независимых случайных выборок при условии, что математические ожидания этих выборок известны				142
6. Тестирование гипотезы о равенстве дисперсий двух независимых случайных выборок при условии, что математические ожидания этих выборок неизвестны				146
Глава 7. chi2-критерии Пирсона				150
1. Хи-квадрат критерий Пирсона на согласованность распределения				150
2. Задачи				151
3. Хи-квадрат критерий Пирсона на независимость признаков				167
4. Задачи				169
Глава 8. Тест отношения правдоподобия. Тест Вальда.Тест множителей Лагранжа				174
1. Элементы теории				174
2. Задачи				177
Список литературы				203

---

Настоящее пособие стало итогом работы автора над очередным изданием своей книги «Теория вероятностей и математическая статистика в задачах» (М.: URSS, 2016–2020). В результате существенной переработки пособия и добавления большого количества материала (теоретических сведений, задач с решениями и решений к уже имевшимся задачам) получилась новая книга, в двух частях: «Теория вероятностей в задачах» и «Математическая статистика в задачах». Вы, уважаемый читатель, держите в руках вторую часть пособия.

Большинство глав теперь имеют раздел, который называется «Элементы теории». В нем в сжатом виде сообщается вся основная информация, которая необходима для решения задач данной главы.

Автор искренне надеется, что новая книга, содержащая множество подробно решенных задач, поможет студентам научиться самостоятельно решать задачи и успешно освоить курс «Теория вероятностей и математическая статистика».

Я также хочу выразить огромную благодарность Павлу Константиновичу Катышеву и Елене Владимировне Коссовой за то, что они любезно согласились быть рецензентами данного пособия.

Д. А. Борзых,

Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

15.01.2021

---

Данное пособие возникло в результате проведения семинарских занятий по курсу теории вероятностей и математической статистики на экономическом факультете и факультете бизнесинформатики в НИУ ВШЭ.

В качестве учебников по курсу теории вероятностей и математической статистики (на которые ориентирован данный сборник задач) автор рекомендует следующие. По теории вероятностей в первую очередь можно горячо рекомендовать учебное пособие Н. И. Черновой [1], также могут быть очень полезны учебник Е. С. Кочеткова, С. О. Смерчинской, В. В. Соколова [2] и учебник А. Н. Бородина [3]. По той части курса, которая относится к математической статистике, можно посоветовать учебные пособия А. С. Шведова [5] и Н. И. Черновой [8].

Большая часть задач предлагаемого пособия была составлена автором специально для данной книги, при разработке некоторых заданий был использован материал из ранее вышедших сборников задач других авторов: [10, 11, 12, 13, 14, 15].

Перечислим основные особенности предлагаемого пособия.

Автор считает, что основным объектом в курсе должны быть случайные величины, их распределения и характеристики. Данная позиция подкреплена нуждами математической статистики. Поэтому в нашем пособии случайные величины вводятся сразу же в первой главе. По этой же причине задачи на комбинаторику и на подсчет вероятностей тех или иных событий отодвинуты на задний план (они помещены в четвертую главу).

Еще одной отличительной особенностью данного сборника задач является то, что автор предлагает работать со случайными величинами не только в терминах их распределений, но и непосредственно со случайными величинами, как функциями от элементарного события.

Существенное внимание отведено понятию независимости случайных величин. Так, например, решая задачи из главы 2, учащийся может понять, каким образом можно построить любой конечный набор независимых бернуллиевских случайных величин. Более того, в данной главе обсуждаются даже два способа такого построения: с использованием функций Радемахера (см. [6], т. 1, стр. 377), а также с использованием более универсальной идеи прямого произведения вероятностных пространств.

Тестирование гипотез о параметрах распределения дается не только традиционным способом — с использованием критерия Неймана—Пирсона (см. [7], стр. 211–221), но и с использованием тестов, основанных на методе максимального правдоподобия: теста отношения правдоподобия, теста Вальда и теста множителей Лагранжа (см., например, W. H. Greene [9], стр. 526–530).

В дополнении 1 приведены с доказательствами основные свойства вероятности, а в дополнении 2 обсуждаются два вида сходимости последовательности случайных величин: по вероятности и по распределению.

---