URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Босс В. Лекции по математике: Вероятность, информация, статистика Обложка Босс В. Лекции по математике: Вероятность, информация, статистика
Id: 317570
629 р.

Лекции по математике:
ВЕРОЯТНОСТЬ, ИНФОРМАЦИЯ, СТАТИСТИКА. Т.04. Изд. стер.

Лекции по математике: Вероятность, информация, статистика URSS. 2024. 224 с. ISBN 978-5-9519-4618-8.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В настоящем томе лекций помимо классических разделов теории вероятностей освещается ряд новых направлений, в частности нелинейный закон больших чисел и асимптотическое агрегирование. Изложение сопровождается большим количеством примеров и парадоксов, способствующих рельефному восприятию материала. Затрагиваются многие прикладные области: управление запасами, биржевые игры, массовое обслуживание, страховое дело, стохастическая аппроксимация, обработка... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к «Лекциям»7
Предисловие к тому9
Глава 1. Основы в задачах и парадоксах10
1.1. Что такое вероятность10
1.2. Подводные рифы статистики14
1.3. Комбинаторика15
1.4. Условная вероятность17
1.5. Случайные величины20
1.6. Континуальные пространства23
1.7. Независимость29
1.8. Дисперсия и ковариация30
1.9. Неравенства32
1.10. Случайные векторы35
1.11. Вероятностные алгоритмы37
1.12. Об истоках38
1.13. Задачи и дополнения41
Глава 2. Функции распределения44
2.1. Основные стандарты44
2.2. Дельта-функция48
2.3. Функции случайных величин51
2.4. Условные плотности52
2.5. Характеристические функции55
2.6. Производящие функции59
2.7. Нормальный закон распределения61
2.8. Пуассоновские потоки64
2.9. Статистики размещений66
2.10. Распределение простых чисел68
2.11. Задачи и дополнения69
Глава 3. Законы больших чисел73
3.1. Простейшие варианты73
3.2. Усиленный закон больших чисел75
3.3. Нелинейный закон больших чисел77
3.4. Оценки дисперсии79
3.5. Доказательство леммы 3.4.182
3.6. Задачи и дополнения83
Глава 4. Сходимость86
4.1. Разновидности86
4.2. Сходимость по распределению89
4.3. Комментарии90
4.4. Закон «нуля или единицы»92
4.5. Случайное блуждание93
4.6. Сходимость рядов96
4.7. Предельные распределения97
4.8. Задачи и дополнения98
Глава 5. Марковские процессы102
5.1. Цепи Маркова102
5.2. Стохастические матрицы105
5.3. Процессы с непрерывным временем106
5.4. О приложениях109
Глава 6. Случайные функции111
6.1. Определения и характеристики111
6.2. Эргодичность113
6.3. Спектральная плотность116
6.4. Белый шум118
6.5. Броуновское движение118
6.6. Дифференцирование и интегрирование120
6.7. Системы регулирования122
6.8. Задачи и дополнения123
Глава 7. Прикладные области125
7.1. Управление запасами125
7.2. Страховое дело126
7.3. Закон арксинуса127
7.4. Задача о разорении129
7.5. Игра на бирже и смешанные стратегии131
7.6. Процессы восстановления134
7.7. Стохастическое агрегирование135
7.8. Агрегирование и СМО139
7.9. Принцип максимума энтропии140
7.10. Ветвящиеся процессы142
7.11. Стохастическая аппроксимация144
Глава 8. Теория информации147
8.1. Энтропия147
8.2. Простейшие свойства150
8.3. Информационная точка зрения152
8.4. Частотная интерпретация153
8.5. Кодирование при отсутствии помех155
8.6. Проблема нетривиальных кодов158
8.7. Канал с шумом160
8.8. Укрупнение состояний163
8.9. Энтропия непрерывных распределений164
8.10. Передача непрерывных сигналов166
8.11. Оптимизация и термодинамика169
8.12. Задачи и дополнения172
Глава 9. Статистика175
9.1. Оценки и характеристики176
9.2. Теория и практика179
9.3. Большие отклонения181
9.4. От «хи-квадрат» до Стьюдента182
9.5. Максимальное правдоподобие184
9.6. Парадоксы186
Глава 10. Сводка основных определений и результатов189
10.1. Основные понятия189
10.2. Распределения193
10.3. Законы больших чисел197
10.4. Сходимость198
10.5. Марковские процессы201
10.6. Случайные функции и процессы202
10.7. Теория информации205
10.8. Статистика210
Сокращения и обозначения213
Литература215
Предметный указатель217

Предисловие к "Лекциям"
top
Самолеты позволяют летать, но добираться до аэропорта приходится самому.

Для нормального изучения любого математического предмета необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:

1) живой учитель

2) обыкновенный подробный учебник;

3) рядовой задачник;

4) учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем";.

До четвертого пункта у системы образования руки не доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев – при параллельном исполнении функций обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.

"Лекции" ставят 4Нй пункт своей главной целью. Сопутствующая идея – экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.

Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств, – такого сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих "короткие дороги" тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими путями.

В вопросе "на кого рассчитано", – есть и другой аспект. На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит "на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.

Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему – надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший – покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, – но по-другому.


Предисловие к тому
top
Без пассивной части словарного запаса – активная не работает.

Жизнь уходит на заделывание мелких трещин. Типографская краска – на уточнения. В теории вероятностей (ТВ) это особенно заметно из-за контраста простых выводов и сложных объяснений. Сложность, в свою очередь, проистекает из-за максималистских устремлений, согревающих профессионалов и убийственных для остальной части населения.

Учитывая, что профессионалы теорию вероятностей и так хорошо знают, нижеследующий текст ориентируется на умеренные аппетиты к строгости и детализации. Разумеется, обоснование того, что более-менее "и так ясно", имеет свою цену. Но в ТВ на первом этапе гораздо важнее разобраться в том, что не ясно на самом элементарном уровне. Интуиция и здравый смысл настолько путаются в статистике и оценках вероятности, что многие тонкости вполне естественно отодвинуть на второй план.


О загадке бестселлеров В.Босса
top

Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом еще раз, чтобы разобраться, в чем дело, но скрытых пружин так и не нашел. Конечно, великолепный подбор миниатюр, точный язык, мягкий юмор, располагающая интонация, – но все это вместе взятое не объясняет результат даже наполовину. Сын моего приятеля – парню 14 лет – выучил "Интуицию" почти наизусть. Измучил родителей вопросами, прочел гору дополнительной литературы. Понятно – особый случай, но показательный! В целом ситуация, безусловно, мягче. Однако отзывы все положительные, а процент восторженных – удивителен и необъясним.

"Лекции по математике" того же автора – другое дело. Кое-кто из моих коллег принял их в штыки, поскольку система образования, естественно, противится нововведениям. Лишняя головная боль для преподавателя. Тем не менее, в результате итогового обсуждения – первые два тома "Лекций" пришли к нам на отзыв – В.Босс получил высший бал.

Лично мне "Лекции" нравятся даже больше, чем "Интуиция". Ясное и продуманное изложение предмета. Лаконичное до неправдоподобия, но без ущерба для содержания. Вот что по этому поводу пишет сам автор: "Первая часть книги – сжатый курс матанализа. Чушь более сотни страниц, но "все есть". Некоторые детали, конечно, опускаются, но это не потери, а приобретения. Сбросив десяток лишних килограмм, человек выглядит лучше, живет интереснее. Так и здесь. Многие подробности мешают видеть суть. И освобождение от балласта, как ни странно, позволяет обсуждать принципиальные вопросы, на которые в толстых учебниках не хватает места".

Первый опыт показывает, что студенты – и сильные, и слабые – благосклонно принимают "Лекции". В этом еще одна удивительная, хотя и понятная особенность изложения. Короткий и ясный взгляд на предмет, обсуждение мотивов, общая картина, – нужны всем.

Наконец, я бы не писал в газету, если бы речь шла просто о хороших и даже очень хороших книгах. "Лекции" В.Босса, на мой взгляд, явление неординарное. Дело в том, что информационная лавина сейчас многое меняет. В результате, сложившаяся система образования подходит к критической точке. Конечно, как в доме накапливаются ненужные вещи, так и в образовании со временем укореняется масса атавизмов. Но хуже другое. То, без чего вроде бы нельзя обойтись, перестает помещаться в рамки. Поэтому необходимы новые подходы и принципы. "Лекции" обеспечивают прорыв в этом направлении.

Профессор МФТИ А.П.Афанасьев

Из интервью с В.Боссом
top
dop

Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?

– Диалектика обучения – во взаимодействии сторон. Понимание – умение. Суть – детали. "Лекции" добиваются понимания.

Как?

– Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему "целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".

Объяснениями на пальцах?

– Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное – обнажение сути.

А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?

– Таблетку димедрола.


В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший – покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, – но по-другому.

В.Босс

Чтобы усвоить предмет, надо освободить его от деталей, обнажить центральные конструкции, понять, как до теорем можно было додуматься. Это тяжелая работа, на которую не всегда хватает сил и времени. В "Лекциях" такая работа проделывается автором.

Популярность книг В. Босса среди преподавателей легко объяснима. Дается то, чего недостает. Общая картина, мотивация, взаимосвязи. И самое главное – легкость вхождения в любую тему.

Содержание продумано и хорошо увязано. Громоздкие доказательства ужаты до нескольких строчек. Виртуозное владение языком. Что касается замысла изложить всю математику в 20 томах, с трудом верится, что это по силам одному человеку.

Лекции В. Босса – замечательные математические книги. Как учебные пособия, они не всегда отвечают канонам преподавания, но студентам это почему-то нравится.


Об авторе
top
photoБосс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».