URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: Римановская теория интегрирования. Дескриптивные характеристики интегралов. Интегрирование вектор-функций Обложка Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: Римановская теория интегрирования. Дескриптивные характеристики интегралов. Интегрирование вектор-функций
Id: 317428
879 р.

ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ:
Римановская теория интегрирования. Дескриптивные характеристики интегралов. Интегрирование вектор-функций. Изд. 3, испр. и доп.

URSS. 2024. 320 с. ISBN 978-5-9519-4596-9.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В настоящей книге излагаются основы современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. Представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов, полученных авторами книги. Основное внимание уделено конструкции Хенстока—Курцвейля, позволяющей определить интеграл Лебега и ряд других интегралов в терминах обобщенных сумм Римана. Представлена также теория интегрирования... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к третьему изданию6
Предисловие к первому изданию7
Часть I Римановская теория интегрирования11
Глава 1. Предел функции по базе12
§1. Предварительные сведения и определения12
§2. Свойства пределов по базе13
Глава 2. Определенные интегралы римановского типа21
§1. Определенные интегралы Римана, Мак-Шейна и Хенстока–Курцвейля21
§2. Внешняя мера Лебега и другие сведения из теории меры35
§3. Классы интегрируемых функций44
Глава 3. Неопределенные интегралы55
§1. Определения и простейшие свойства55
§2. Неопределенные интегралы Мак-Шейна и Хенстока–Курцвейля58
§3. Абсолютная интегрируемость65
Глава 4. Интегралы Стилтьеса70
§1. Интегралы Римана–Стилтьеса, Мак-Шейна–Стилтьеса и Хенстока–Курцвейля–Стилтьеса70
§2. Классы интегрируемых функций78
§3. Неопределенные интегралы Стилтьеса84
Глава 5. Предельные переходы под знаком интеграла89
§1. Предельный переход в последовательностях измеримых функций89
§2. Монотонный предельный переход под знаком интеграла93
§3. Интегралы Мак-Шейна и Хенстока–Курцвейля от неотрицательных функций97
§4. Ограниченные предельные переходы под знаком интеграла Мак-Шейна98
§5. Пространства Лебега и их свойства102
Часть II Дескриптивные характеристики интегралов109
Глава 6. Класс неопределенных интегралов Мак-Шейна110
§1. Абсолютно непрерывные функции110
§2. Дифференцируемость почти всюду113
§3. AC-функции — неопределенные интегралы Мак-Шейна. Интеграл Лебега119
Глава 7. Дополнительные сведения из теории меры. Вариационная мера123
§1. Внешняя мера и измеримость в смысле Каратеодори123
§2. Метрическая внешняя мера130
§3. Вариационная мера133
Глава 8. Дескриптивные определения интегралов140
§1. Дескриптивное определение интеграла Хенстока–Курцвейля на основе вариационной меры140
§2. Класс ACG δ142
§3. Класс VBG∗146
§4. Класс ACG∗ . Свойство N Лузина. Узкий интеграл Данжуа152
§5. Эквивалентность узкого интеграла Данжуа интегралу Хенстока–Курцвейля161
Глава 9. Интеграл Перрона165
§1. Общность P-интеграла170
§2. βδ -вариация и P0 -интеграл173
Часть III Интегрирование вектор-функций181
Глава 10. Интегралы Римана и Дарбу182
§1. Интеграл Римана182
§2. Интеграл Дарбу191
§3. Взаимоотношение интегралов Римана и Дарбу195
Глава 11. Измеримые функции200
§1. Сходимость по мере200
§2. Простейшие свойства измеримых функций202
§3. Почти равномерная сходимость203
§4. Теорема Егорова206
§5. Критерий измеримости207
§6. Теорема Петтиса об измеримости210
Глава 12. Интегралы Бохнера и Мак-Шейна212
§1. Понятие интеграла для простых функций212
§2. Распространение интеграла на измеримые функции215
§3. Простейшие свойства интеграла Бохнера218
§4. Интеграл Мак-Шейна220
§5. Вариационный интеграл Мак-Шейна226
§6. Эквивалентность интеграла Бохнера и вариационного интеграла Мак-Шейна228
Глава 13. Свойства интеграла Лебега для банаховозначных функций236
§1. Критерий интегрируемости236
§2. Абсолютная интегрируемость238
§3. Свойства неопределенного интеграла239
§4. Предельные теоремы241
§5. Пространство L ([a, b], X)246
Глава 14. Интегралы Данжуа и Хенстока–Курцвейля249
§1. Интеграл Хенстока–Курцвейля249
§2. Вариационный интеграл Хенстока–Курцвейля252
§3. Интеграл Данжуа253
§4. Дескриптивное определение интеграла Лебега262
§5. О лемме Колмогорова–Хенстока264
§6. Теорема о равномерной интегрируемости273
Приложение279
§1. Банаховы пространства279
§2. Линейные отображения банаховых пространств281
§3. Специальные пространства281
Комментарии к первому изданию283
Дополнительные комментарии к третьему изданию291
Список литературы294
Дополнительный список литературы к третьему изданию306
Предметный указатель312

Предисловие к третьему изданию *
top

За годы, прошедшие со времени первого издания, появилось много новых публикаций по теории обобщенных интегралов, посвященных, в частности, интегрированию банаховозначных функций и функций со значениями в векторных решетках. Изучались также вопросы интегрирования мультифункций. Эти публикации нашли свое отражение в дополнительном списке литературы и в дополнительных комментариях к соответствующим главам данной книги.

Основной текст книги остался без изменений.

Авторы выражают благодарность Алферовой Елене Дмитриевне за помощь в подготовке к печати материалов к третьему изданию.

*

Третье издание книги подготовлено при поддержке Минобрнауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2022-284.


Предисловие к первому изданию
top

Теория интеграла является одним из фундаментальных разделов анализа и служит основой применения методов анализа в теории вероятностей, математической физике и других смежных математических дисциплинах.

При этом широкий круг задач обслуживается интегралом Лебега. Однако, как для некоторых внутренних задач теории функций действительного переменного, так и для отдельных задач комплексного анализа, гармонического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей потребовалось ввести различные обобщения интеграла Лебега. Эта потребность связана с тем, что интеграл Лебега является так называемым абсолютным интегралом, в то время как некоторые из упомянутых задач требуют процесса интегрирования, при котором интегрируемость функции может быть обеспечена за счет интерференции положительных и отрицательных значений функции, как это имеет место, например, в случае несобственного интеграла Римана. Другими словами, для этих задач требуется интегрирование, являющееся непрерывным аналогом условной сходимости ряда или суммирования расходящегося ряда каким-нибудь регулярным методом.

Наиболее известными из такого рода обобщений интеграла Лебега являются интегралы Данжуа и интеграл Перрона. Эти интегралы были введены прежде всего для решения одной из основных задач классического интегрального исчисления – задачи восстановления первообразной по точной конечной производной (как известно, интеграл Лебега решает эту задачу лишь при условии суммируемости производной). Тем самым эти интегралы были призваны завершить согласование двух классических подходов к интегрированию, один из которых рассматривает интегрирование как обращение операции дифференцирования, а другой – как конструктивный процесс вычисления, включающий суммирование и предельные переходы, как это имеет место, например, при вычислении площади криволинейной трапеции.

Теория интегралов Данжуа–Перрона была изложена в хорошо известной специалистам монографии С.Сакса "Теория интеграла", вышедшей в русском переводе в 1949 году и отразившей состояние теории к моменту своей публикации. Во второй половине XX века теория интеграла бурно развивалась. При этом в исследованиях последних десятилетий все более заметное место стала занимать предложенная в начале 60-х годов конструкция Хенстока–Курцвейля, определяющая интеграл в терминах обобщенных сумм Римана. Конструкция оказалась перспективной как в отношении возможностей ее обобшения на случай абстрактных пространств, так и по части приложений. Несколько позже Мак-Шейн показал, что и интеграл Лебега в Rn может быть определен с помощью варианта этой конструкции. Тем самым подход

Хенстока–Курцвейля приобрел и методичекий интерес, позволяя в университетских курсах математического анализа определять интеграл Римана и Лебега одновременно как два частных случая одной и той же конструкции.

Теории интеграла Хенстока–Курцвейля посвящена обширная литература на английском языке, в том числе ряд монографий. Однако на русском языке эта тематика представлена лишь журнальными публикациями и небольшой книгой С.Ф. Лукомского "Интегральное исчисление", выпущенной в 2005 году издательством Саратовского университета и представляющей собой введение в теорию.

Целью настоящей книги является систематическое изложение современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. В ней представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов авторов книги.

В первой части книги представлены основы римановской теории интегрирования.

Свойства интегралов Римана, Мак-Шейна и Хенстока–Курцвейля изучаются параллельно. Рассматриваются стилтьесовские варианты этих интегралов. Первая часть заканчивается теоремами о предельном переходе под знаком интеграла.

Вторая часть посвящена, в основном, изучению характеристических свойств неопределенных интегралов, на основании которых можно получить различные дескриптивные определения рассматриваемых интегралов. В частности, здесь доказывается, что интеграл Мак-Шейна на отрезке действительной прямой эквивалентен дескриптивно определенному интегралу Лебега, а интеграл Хенстока–Курцвейля эквивалентен интегралу Данжуа–Перрона. Третья часть книги является введением в интенсивно развивающуюся область исследований, касающихся интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

Некоторые сведения по истории развития изложенной здесь теории обобщенных интегралов приведены в помещенных в конце книги комментариях к каждой главе.

В книге использованы материалы спецкурсов, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, а третья часть книги существенно опирается на материалы кандидатской диссертации одного из соавторов, А.П.Солодова.

Книга предназначена студентам и аспирантам математических факультетов университетов и всем интересующимся теорией интегралов и их применением.

Авторы выражают сердечную благодарность Т.А.Своровской(Жеребьевой), которая взяла на себя труд редактирования и подготовки рукописи к печати.


Об авторах
top
photoЛукашенко Тарас Павлович
Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, лауреат Ломоносовской премии за педагогическую деятельность. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1970 г. Свою научную работу начал под руководством В. А. Скворцова. Автор более 120 научных работ по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, теории функций. Основное направление научных исследований в настоящее время — обобщенные интегралы, ряды Фурье и их обобщения.
photoСкворцов Валентин Анатольевич
Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. В 1958 г. окончил механико-математический факультет МГУ, где начал научную работу под руководством Д. Е. Меньшова. Автор более 200 научных работ по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, действительному анализу. Наиболее известные научные результаты связаны с построением обобщенных интегралов, решающих задачу восстановления коэффициентов ортогональных рядов по их суммам с помощью обобщенных формул Фурье.
photoСолодов Алексей Петрович
Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, лауреат Ломоносовской премии за педагогическую деятельность. В 1996 г. окончил механико-математический факультет МГУ. Свою научную деятельность начал под руководством В. А. Скворцова. Автор более 40 работ по теории обобщенных интегралов, теории ортогональных рядов, теории функций. Основное направление научных исследований в настоящее время — интегрирование функций в банаховых пространствах, ряды по общим ортогональным системам, тригонометрические ряды, геометрическая теория функций комплексного переменного.