|
Оглавление
Предисловие к третьему изданию *
За годы, прошедшие со времени первого издания, появилось много новых публикаций по теории обобщенных интегралов, посвященных, в частности, интегрированию банаховозначных функций и функций со значениями в векторных решетках. Изучались также вопросы интегрирования мультифункций. Эти публикации нашли свое отражение в дополнительном списке литературы и в дополнительных комментариях к соответствующим главам данной книги. Основной текст книги остался без изменений. Авторы выражают благодарность Алферовой Елене Дмитриевне за помощь в подготовке к печати материалов к третьему изданию. * Третье издание книги подготовлено при поддержке Минобрнауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2022-284. Предисловие к первому изданию
Теория интеграла является одним из фундаментальных разделов анализа и служит основой применения методов анализа в теории вероятностей, математической физике и других смежных математических дисциплинах.
При этом широкий круг задач обслуживается интегралом Лебега. Однако, как для некоторых внутренних задач теории функций действительного переменного, так и для отдельных задач комплексного анализа, гармонического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей потребовалось ввести различные обобщения интеграла Лебега. Эта потребность связана с тем, что интеграл Лебега является так называемым абсолютным интегралом, в то время как некоторые из упомянутых задач требуют процесса интегрирования, при котором интегрируемость функции может быть обеспечена за счет интерференции положительных и отрицательных значений функции, как это имеет место, например, в случае несобственного интеграла Римана. Другими словами, для этих задач требуется интегрирование, являющееся непрерывным аналогом условной сходимости ряда или суммирования расходящегося ряда каким-нибудь регулярным методом.
Наиболее известными из такого рода обобщений интеграла Лебега являются интегралы Данжуа и интеграл Перрона. Эти интегралы были введены прежде всего для решения одной из основных задач классического интегрального исчисления – задачи восстановления первообразной по точной конечной производной (как известно, интеграл Лебега решает эту задачу лишь при условии суммируемости производной). Тем самым эти интегралы были призваны завершить согласование двух классических подходов к интегрированию, один из которых рассматривает интегрирование как обращение операции дифференцирования, а другой – как конструктивный процесс вычисления, включающий суммирование и предельные переходы, как это имеет место, например, при вычислении площади криволинейной трапеции.
Теория интегралов Данжуа–Перрона была изложена в хорошо известной специалистам монографии С.Сакса "Теория интеграла", вышедшей в русском переводе в 1949 году и отразившей состояние теории к моменту своей публикации. Во второй половине XX века теория интеграла бурно развивалась. При этом в исследованиях последних десятилетий все более заметное место стала занимать предложенная в начале 60-х годов конструкция Хенстока–Курцвейля, определяющая интеграл в терминах обобщенных сумм Римана. Конструкция оказалась перспективной как в отношении возможностей ее обобшения на случай абстрактных пространств, так и по части приложений. Несколько позже Мак-Шейн показал, что и интеграл Лебега в Rn может быть определен с помощью варианта этой конструкции. Тем самым подход Хенстока–Курцвейля приобрел и методичекий интерес, позволяя в университетских курсах математического анализа определять интеграл Римана и Лебега одновременно как два частных случая одной и той же конструкции.
Теории интеграла Хенстока–Курцвейля посвящена обширная литература на английском языке, в том числе ряд монографий. Однако на русском языке эта тематика представлена лишь журнальными публикациями и небольшой книгой С.Ф. Лукомского "Интегральное исчисление", выпущенной в 2005 году издательством Саратовского университета и представляющей собой введение в теорию.
Целью настоящей книги является систематическое изложение современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. В ней представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов авторов книги.
В первой части книги представлены основы римановской теории интегрирования. Свойства интегралов Римана, Мак-Шейна и Хенстока–Курцвейля изучаются параллельно. Рассматриваются стилтьесовские варианты этих интегралов. Первая часть заканчивается теоремами о предельном переходе под знаком интеграла. Вторая часть посвящена, в основном, изучению характеристических свойств неопределенных интегралов, на основании которых можно получить различные дескриптивные определения рассматриваемых интегралов. В частности, здесь доказывается, что интеграл Мак-Шейна на отрезке действительной прямой эквивалентен дескриптивно определенному интегралу Лебега, а интеграл Хенстока–Курцвейля эквивалентен интегралу Данжуа–Перрона. Третья часть книги является введением в интенсивно развивающуюся область исследований, касающихся интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах. Некоторые сведения по истории развития изложенной здесь теории обобщенных интегралов приведены в помещенных в конце книги комментариях к каждой главе.
В книге использованы материалы спецкурсов, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, а третья часть книги существенно опирается на материалы кандидатской диссертации одного из соавторов, А.П.Солодова.
Книга предназначена студентам и аспирантам математических факультетов университетов и всем интересующимся теорией интегралов и их применением.
Авторы выражают сердечную благодарность Т.А.Своровской(Жеребьевой), которая взяла на себя труд редактирования и подготовки рукописи к печати.
Об авторах
 Лукашенко Тарас Павлович Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, лауреат Ломоносовской премии за педагогическую деятельность. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1970 г. Свою научную работу начал под руководством В. А. Скворцова. Автор более 120 научных работ по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, теории функций. Основное направление научных исследований в настоящее время — обобщенные интегралы, ряды Фурье и их обобщения.
 Скворцов Валентин Анатольевич Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. В 1958 г. окончил механико-математический факультет МГУ, где начал научную работу под руководством Д. Е. Меньшова. Автор более 200 научных работ по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, действительному анализу. Наиболее известные научные результаты связаны с построением обобщенных интегралов, решающих задачу восстановления коэффициентов ортогональных рядов по их суммам с помощью обобщенных формул Фурье.
 Солодов Алексей Петрович Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, лауреат Ломоносовской премии за педагогическую деятельность. В 1996 г. окончил механико-математический факультет МГУ. Свою научную деятельность начал под руководством В. А. Скворцова. Автор более 40 работ по теории обобщенных интегралов, теории ортогональных рядов, теории функций. Основное направление научных исследований в настоящее время — интегрирование функций в банаховых пространствах, ряды по общим ортогональным системам, тригонометрические ряды, геометрическая теория функций комплексного переменного.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
