|
Оглавление
Предисловие к пятому изданию
Курс дифференциальных уравнений в объеме нашей университетской программы по необходимости слагается из глав, соответствующих различным отделам научной теории этой ветви математического анализа. Элементарные методы интеграции, теоремы существования, особые решения, общая теория линейных уравнений – эти главы в современном состоянии науки связаны с теорией групп Ли, с применением методов теории функций действительного и комплексного переменного, с методами линейной алгебры и т.п. Современное понятие о математической строгости, постепенно внедряющейся в курсы анализа, не позволяет строить учебник дифференциальных уравнений с невыясненной точки зрения на взаимную связь отделов – например, элементарных методов интегрирования и теорем существования. Далее, развитие самой теории и современных ее приложений требует введения в университетский курс новых отделов, связанных, с одной стороны, с развитием качественных методов, с другой стороны, с теоремами колебания для линейных дифференциальных уравнений. Настоящий курс построен целиком в области действительного переменного; это обусловливается как положением курса в плане университетского преподавания (он начинается раньше теории аналитических функций), так и указанной выше необходимостью дать курс, объединенный общей идеей. Вопросы существования и единственности решений ставятся уже при изложении элементарных методов интеграции. В связи с общей структурой курса теорема существования решения уравнения первого порядка появляется близко от начала курса. Классические понятия общего решения, интегрирующего множителя, первого интеграла удается, по нашему мнению, обосновать достаточно строго и не слишком громоздко, если ограничиться локальной точкой зрения. В связи с этим в курсе дается (мелким шрифтом) достаточно развернутая качественная теория распределения интегральных кривых в окрестности особой точки и оставляется в стороне исследование общего течения интегральных кривых. К сожалению, отмеченная выше строгость основывается на теореме о дифференцируемости решения по параметру; эта теорема ввиду ее сложности приведена лишь в мелком шрифте главы VII. С принятой здесь точки зрения особое решение определяется как решение, в каждой точке которого нарушается единственность; теория особых решений для уравнений степени выше первой относительно производной, конечно, не может быть достаточно систематически изложена в действительной области. В связи с уравнениями второго порядка дано механическое приложение – периодические движения. В теории линейных уравнений даны "нетрадиционные" теоремы – Штурма и теорема сравнения. Краевые задачи не вошли в рассматриваемый курс, их место – при изучении уравнений математической физики, так как постановка задачи с параметром и его собственными значениями непонятна без обращения к первоисточнику – уравнению с частными производными второго порядка. Параграф об интегрировании с помощью степенных рядов, важный для приложений, конечно, не может быть сколько-нибудь полным без обращения к аналитическим функциям; он является в курсе эпизодическим и не содержит, например, уравнений Бесселя и Лежандра, относимых нами к курсу уравнений математической физики. Новым является параграф о применении тригонометрических рядов к линейным уравнениям. Другие отступления от традиций легко обнаружатся при сравнении настоящего курса с другими руководствами. Вопросы, не входящие в университетскую программу, но тесно примыкающие к ее темам, даны мелким шрифтом. От изучающего настоящий курс требуется знание университетского курса анализа в достаточно строгом и углубленном изложении, основные сведения из теории определителей, высшей алгебры и дифференциальной геометрии. Об авторе
 Степанов Вячеслав Васильевич Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР. Родился в Смоленске, в семье учителей. После окончания Московского университета продолжил обучение в Геттингене (Германия). Всю жизнь работал в Московском университете, где многие годы заведовал кафедрой дифференциальных уравнений механико-математического факультета, руководил Институтом механики. Доктор физико-математических наук, профессор, вице-президент Московского математического общества. Лауреат Государственной премии СССР.
В. В. Степановым получен ряд важнейших результатов в различных разделах математики, но наиболее велики его заслуги в развитии теории и приложений дифференциальных уравнений. Он является одним из основоположников советской школы в области качественной теории дифференциальных уравнений. Его книга «Качественная теория дифференциальных уравнений» (в соавт. с В. В. Немыцким; переизд. в URSS) была переведена на английский язык и издана в США. Классический труд В. В. Степанова — «Курс дифференциальных уравнений» — многократно переиздавался и в наши дни является одним из лучших учебников в этой области математики. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
