URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Маркочев В.М. Гибридные функции в математическом анализе Обложка Маркочев В.М. Гибридные функции в математическом анализе
Id: 315247
439 р.

Гибридные функции в математическом анализе

URSS. 2024. 136 с. ISBN 978-5-9519-4715-4.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В книге предложен и описан новый раздел высшей математики, базирующийся на введении в математику гибридных функций, которые базируются на управляемом операторе перехода от одной математической функции к другой.

Нововведение касается в основном теории функций и обратных задач аналитической геометрии на инженерно-физическом уровне строгости. Многочисленные примеры показывают, что гибридные функции, оставаясь гладкими, реально способствуют... (Подробнее)


Содержание
top
Оглавление5
Предисловие7
Введение9
1. Гибридные функции11
2. Приложения гибридных функций14
2.1. Геометрические образы гибридных функций14
2.2. Гибридные функции в задачах моделирования16
2.2.1. Диаграмма деформирования материалов16
2.2.2. Многослойные среды20
2.3. Устранение сингулярности23
2.4. Инженерные финитные функции26
2.4.1. «Препарирование» функций и «пересадка» ФОЛов27
2.5. Формирование локальных максимумов и минимумов28
2.6. Моделирование перехода системы в аварийное состояние29
3. Обратные задачи аналитической геометрии31
3.1. Математическое задание треугольника31
3.2. Математическое описание треугольника в полярной системе координат32
3.3. Параметрическое описание треугольника35
3.4. Геометрические фигуры и антифигуры36
3.5. Переход окружности в антитреугольник40
4. Гибридные функции двух переменных43
4.1. Переходы с плоскости на плоскость43
4.2. Переход с плоскости на плоскость по окружности44
4.3. Переход с плоскости на плоскость по углу45
4.4. Переходы между координатными плоскостями46
5. Гибридные поверхности вращения50
5.1. Конус50
5.2. Конус с вырезом51
5.3. Конус с окружным вырезом53
5.4. Усеченная коническая поверхность54
5.5. Ступенчатый конус55
5.6. Гибридная поверхность из конуса и цилиндра57
5.7. Самопересекающаяся цилиндрическая поверхность58
5.8. Треугольная пирамида60
5.9. Классическая прямоугольная пирамида62
5.10. Пирамида ступенчатая64
6. Статистика и теория вероятностей66
6.1. Гибридные функции распределения вероятностей67
6.2. Конструирование функции распределения вероятностей69
6.3. Гладкий аналог равномерного распределения71
6.4. Гладкий аналог распределения Симпсона74
6.5. Стробирующий импульс и усечение функции вероятностей76
7. Аппроксимация численных решений дифференциальных уравнений80
8. Гибридные функции в задачах о приближении функций83
9. Гибридные функции в дискретной и непрерывной математике87
9.1. Алгебра логики. Булевы функции88
9.2. Гибридные функции Хэвисайда и Дирака93
9.3. Дифференциальное уравнение для гибридной функции97
10. Графы и фракталы100
10.1. Графы100
10.2. Фракталы104
11. Гибридные функции в программировании116
12. Задачи для самостоятельного решения122
Литература130

Предисловие
top

Предлагаемая Вашему вниманию книга профессора НИЯУ МИФИ В. М. Маркочева является итоговым трудом, написанным на основе его ранних работ. В этих публикациях автор выдвинул идею конструирования гибридных функций (ГФ) для исследования переходных процессов и продемонстрировал работоспособность этой идеи в сочетании с компьютерным комплексом Mathcad при решении различных математических и физических задач. По сути автором предложен новый эффективный метод прикладной математики, позволяющий осуществлять гладкие и сколь угодно быстрые переходы от одних математических зависимостей, включая функции, описывающие геометрические объекты (треугольник и т. п.) к другим. Например, задача аппроксимации непрерывной функции, сшитой из нескольких элементарных функций, но не дифференцируемой в точках сшивки, другой функцией, гладкой на всем заданном интервале ее определения, сводится к конструированию цепной ГФ с использованием исходных элементарных функций. Подобная задача может быть решена известным в прикладной математике методом сплайнов, в котором для аналогичных целей применяются полиномы, что по понятным причинам ухудшает сходимость аппроксимации по сравнению с применением ГФ.

Или еще один красивый пример — дифференцирование сглаженного с помощью ГФ аналога функции Хэвисайда и получение в результате этого наглядного представления дельта-функции Дирака с достаточно точным в физическом смысле приближением. То есть данная процедура позволяет обойтись обычным математическим анализом без привлечения строгой теории обобщенных функций.

Возможно, что конструкции формул ГФ были известны математикам прошлого. Однако их свойства не были исследовании и опубликованы в силу отсутствия соответствующих вычислительных возможностей.

Гибридные функции появились всего несколько лет тому назад. Поэтому их возможности и ограничения еще не изучены. Например, как соотносятся ГФ с чистой математикой?

Следует отметить что ГФ как переключатель работает при больших значениях степени n. При малых n имеет место асимптотический переход. Две входящие функции становятся асимптотами (с уменьшением аргумента для первой и с ростом значения аргумента для второй функции).

Не сформулированы ограничения на применение ГФ. Когда могут использоваться ГФ при отрицательных значениях аргумента?

Как соотносятся ГФ с теорией систем и синергетикой? Они способствуют созданию и описанию теории систем?

Пользователю гибридными функциями ГФ с необходимостью потребуется компьютер для вычислений и визуализации результатов (графики). Это лежит в русле наблюдаемого сегодня сочетания символьной математики с компьютерной информатикой.

Виктор Михайлович Маркочев, один из известных специалистов в области механики разрушения, много лет возглавлявший кафедру «Физика прочности» МИФИ, в октябре 2023 года отметил свой 90-летний юбилей. И своими работами по гибридным функциям профессор В. М. Маркочев доказывает, что для настоящего ученого ни возраст, ни тематика, казалось бы лежащая вдали от его основных научных интересов, не являются помехами для высокопродуктивной научной деятельности.

Кандидат технических наук,

выпускник МИФИ А. В. Кузнецов

Ноябрь 2023 г.


Об авторе
top
photoМаркочев Виктор Михайлович
Доктор технических наук, профессор. Выпускник физического факультета Московского государственного университета 1958 года. Автор свыше 250 печатных работ, включая изобретения, книги и учебные пособия.